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12 已知 $x=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$y=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，求：(1)$x^2 - xy + y^2$；(2)$x^3y + xy^3$的值。
答案
(1) $x^2 - xy + y^2 = (x - y)^2 + xy = 8 + 1 = 9$ (2) $x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2) = 10$
解析
【分析】
已知x、y为共轭二次根式，直接代入求值运算量较大，我们可以先计算x+y、x-y、xy三个整体的值，再将所求代数式通过公式变形、因式分解转化为含这三个整体的形式，最后整体代入计算，可大幅简化运算过程，降低出错率。
【解析】
首先计算x+y、x-y、xy的值：
$x+y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}$
$x-y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$
$xy=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$
(1) 计算$x^2 - xy + y^2$：
利用完全平方公式变形：$x^2 - xy + y^2 = (x-y)^2 + xy$
将$x-y=2\sqrt{2}$，$xy=1$代入得：
原式$=(2\sqrt{2})^2 +1=8+1=9$
(2) 计算$x^3y + xy^3$：
先提取公因式$xy$，再变形：$x^3y + xy^3 = xy(x^2+y^2)=xy[(x+y)^2-2xy]$
将$xy=1$，$x+y=2\sqrt{3}$代入得：
原式$=1×[(2\sqrt{3})^2 -2×1]=1×(12-2)=10$
【答案】
(1) $\boxed{9}$；(2) $\boxed{10}$
【知识点】
二次根式运算，完全平方公式，因式分解应用
【点评】
本题是二次根式混合运算的常考题型，核心考查整体代入思想，解题关键是熟练运用乘法公式对代数式变形，通过整体代入避免繁琐的直接计算，提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
已知x、y为共轭二次根式，直接代入求值运算量较大，我们可以先计算x+y、x-y、xy三个整体的值，再将所求代数式通过公式变形、因式分解转化为含这三个整体的形式，最后整体代入计算，可大幅简化运算过程，降低出错率。
【解析】
首先计算x+y、x-y、xy的值：
$x+y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{3}$
$x-y=(\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$
$xy=(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1$
(1) 计算$x^2 - xy + y^2$：
利用完全平方公式变形：$x^2 - xy + y^2 = (x-y)^2 + xy$
将$x-y=2\sqrt{2}$，$xy=1$代入得：
原式$=(2\sqrt{2})^2 +1=8+1=9$
(2) 计算$x^3y + xy^3$：
先提取公因式$xy$，再变形：$x^3y + xy^3 = xy(x^2+y^2)=xy[(x+y)^2-2xy]$
将$xy=1$，$x+y=2\sqrt{3}$代入得：
原式$=1×[(2\sqrt{3})^2 -2×1]=1×(12-2)=10$
【答案】
(1) $\boxed{9}$；(2) $\boxed{10}$
【知识点】
二次根式运算，完全平方公式，因式分解应用
【点评】
本题是二次根式混合运算的常考题型，核心考查整体代入思想，解题关键是熟练运用乘法公式对代数式变形，通过整体代入避免繁琐的直接计算，提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
13 定义:已知a、b都是实数,若$a+b=3$,则称a与b是关于3的“实验数”。
(1)4与
(2)若$m=(1+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$,判断m与$4-\sqrt{3}$是否是关于3的“实验数”,并说明理由。
(1)4与
$-1$
是关于3的“实验数”,$\sqrt{2}$与$3-\sqrt{2}$
是关于3的“实验数”;(2)若$m=(1+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$,判断m与$4-\sqrt{3}$是否是关于3的“实验数”,并说明理由。
答案
(1) $-1$, $3-\sqrt{2}$ (2) $m$与$4-\sqrt{3}$是关于3的“实验数”,理由如下:因为$m=(1+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$,所以$m+4-\sqrt{3}=(1+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})+4-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3+4-\sqrt{3}=3$,所以$m$与$4-\sqrt{3}$是关于3的“实验数”。
解析
【分析】
本题首先要准确理解“关于3的实验数”的新定义：若两个实数的和为3，则这两个数是关于3的“实验数”。第(1)问已知其中一个数，根据定义，用3减去已知数即可求出对应的另一个数；第(2)问只需计算m与$4-\sqrt{3}$的和，验证和是否等于3，若等于3则符合定义，反之不符合。
【解析】
(1) 根据“实验数”的定义计算：
求4对应的实验数：$3-4=-1$；
求$\sqrt{2}$对应的实验数：$3-\sqrt{2}$。
(2) 验证两数之和是否为3：
先计算m与$4-\sqrt{3}$的和：
$\begin{aligned}m+(4-\sqrt{3})&=(1+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})+4-\sqrt{3}\\&=2-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3+4-\sqrt{3}\\&=3\end{aligned}$
两数之和为3，符合“关于3的实验数”的定义。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{3-\sqrt{2}}$
(2) $m$与$4-\sqrt{3}$是关于3的“实验数”，理由如下：因为$m=(1+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$，所以$m+4-\sqrt{3}=(1+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})+4-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3+4-\sqrt{3}=3$，所以$m$与$4-\sqrt{3}$是关于3的“实验数”。
【知识点】
新定义运算，二次根式混合运算，代数式求值
【点评】
本题是新定义类基础题型，解题关键是准确理解新定义的运算规则，结合二次根式的运算方法计算验证即可，计算时注意二次根式乘法的符号处理，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
本题首先要准确理解“关于3的实验数”的新定义：若两个实数的和为3，则这两个数是关于3的“实验数”。第(1)问已知其中一个数，根据定义，用3减去已知数即可求出对应的另一个数；第(2)问只需计算m与$4-\sqrt{3}$的和，验证和是否等于3，若等于3则符合定义，反之不符合。
【解析】
(1) 根据“实验数”的定义计算：
求4对应的实验数：$3-4=-1$；
求$\sqrt{2}$对应的实验数：$3-\sqrt{2}$。
(2) 验证两数之和是否为3：
先计算m与$4-\sqrt{3}$的和：
$\begin{aligned}m+(4-\sqrt{3})&=(1+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})+4-\sqrt{3}\\&=2-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3+4-\sqrt{3}\\&=3\end{aligned}$
两数之和为3，符合“关于3的实验数”的定义。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{3-\sqrt{2}}$
(2) $m$与$4-\sqrt{3}$是关于3的“实验数”，理由如下：因为$m=(1+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$，所以$m+4-\sqrt{3}=(1+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})+4-\sqrt{3}=2-\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3+4-\sqrt{3}=3$，所以$m$与$4-\sqrt{3}$是关于3的“实验数”。
【知识点】
新定义运算，二次根式混合运算，代数式求值
【点评】
本题是新定义类基础题型，解题关键是准确理解新定义的运算规则，结合二次根式的运算方法计算验证即可，计算时注意二次根式乘法的符号处理，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
14 阅读下列解题过程：
$\frac{1}{6\sqrt{5} + 5\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6^2} · \sqrt{5} + \sqrt{5^2} · \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6} · \sqrt{5} · (\sqrt{6} + \sqrt{5})}$
$= \frac{1 · (\sqrt{6} - \sqrt{5})}{\sqrt{6} · \sqrt{5} · (\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{\sqrt{6} · \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6} · \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6} · \sqrt{5}}$
$= \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{6}}{6}。$
请仿照上面所提供的思路和解法，化简：
$\frac{1}{3\sqrt{1} + 1\sqrt{3}} + \frac{1}{5\sqrt{3} + 3\sqrt{5}} + \frac{1}{7\sqrt{5} + 5\sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{2025\sqrt{2023} + 2023\sqrt{2025}}。$
$\frac{1}{6\sqrt{5} + 5\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6^2} · \sqrt{5} + \sqrt{5^2} · \sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6} · \sqrt{5} · (\sqrt{6} + \sqrt{5})}$
$= \frac{1 · (\sqrt{6} - \sqrt{5})}{\sqrt{6} · \sqrt{5} · (\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{\sqrt{6} · \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6} · \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6} · \sqrt{5}}$
$= \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{6}}{6}。$
请仿照上面所提供的思路和解法，化简：
$\frac{1}{3\sqrt{1} + 1\sqrt{3}} + \frac{1}{5\sqrt{3} + 3\sqrt{5}} + \frac{1}{7\sqrt{5} + 5\sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{2025\sqrt{2023} + 2023\sqrt{2025}}。$
答案
原式 $= \dfrac{1}{\sqrt{1×3}(\sqrt{3}+1)} + \dfrac{1}{\sqrt{3×5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})} + \dfrac{1}{\sqrt{5×7}(\sqrt{7}+\sqrt{5})} + \dots + \dfrac{1}{\sqrt{2023×2025}(\sqrt{2025}+\sqrt{2023})} = \dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{1×3}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} + \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{3×5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} + \dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{5×7}(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})} + \dots + \dfrac{\sqrt{2025}-\sqrt{2023}}{\sqrt{2023×2025}(\sqrt{2025}+\sqrt{2023})(\sqrt{2025}-\sqrt{2023})} = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{1×3}} + \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2\sqrt{3×5}} + \dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2\sqrt{5×7}} + \dots + \dfrac{\sqrt{2025}-\sqrt{2023}}{2\sqrt{2025×2023}} = \dfrac{1}{2} × (1 - \dfrac{1}{\sqrt{3}} + \dfrac{1}{\sqrt{3}} - \dfrac{1}{\sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{5}} - \dfrac{1}{\sqrt{7}} + \dots + \dfrac{1}{\sqrt{2023}} - \dfrac{1}{\sqrt{2025}}) = \dfrac{1}{2} × (1 - \dfrac{1}{\sqrt{2025}}) = \dfrac{1}{2} × (1 - \dfrac{1}{45}) = \dfrac{22}{45}。$
解析
【分析】
解题时先观察题干给出的示例化简方法：第一步对分母提取公因式$\sqrt{ab}$，将分母改写为$\sqrt{ab}·(\sqrt{a}+\sqrt{b})$的形式；第二步利用平方差公式给分子分母同乘$(\sqrt{a}-\sqrt{b})$进行分母有理化；第三步将化简后的分式裂项为$\frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a}}$的形式，形成可以抵消的相邻项。本题中每一项的分母均符合示例的结构，先将每一项按示例方法拆分，再通过裂项相消抵消中间项，最后计算剩余项即可得到结果。
【解析】
原式按示例方法逐项变形：
$\begin{aligned}原式&= \frac{1}{\sqrt{1×3}(\sqrt{3}+1)} + \frac{1}{\sqrt{3×5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})} + \frac{1}{\sqrt{5×7}(\sqrt{7}+\sqrt{5})} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2023×2025}(\sqrt{2025}+\sqrt{2023})}\\&= \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{1×3}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{3×5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} + \dots + \frac{\sqrt{2025}-\sqrt{2023}}{\sqrt{2023×2025}(\sqrt{2025}+\sqrt{2023})(\sqrt{2025}-\sqrt{2023})}\\&= \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{1×3}} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2\sqrt{3×5}} + \dots + \frac{\sqrt{2025}-\sqrt{2023}}{2\sqrt{2025×2023}}\\&= \frac{1}{2} × (1 - \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2023}} - \frac{1}{\sqrt{2025}})\end{aligned}$
中间项全部抵消，剩余首尾项，且$\sqrt{2025}=45$，代入得：
$\begin{aligned}原式&= \frac{1}{2} × (1 - \frac{1}{45})\\&= \frac{1}{2}×\frac{44}{45}\\&=\frac{22}{45}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{22}{45}$
【知识点】
二次根式混合运算，分母有理化，裂项相消
【点评】
本题属于二次根式的规律化简题，核心是读懂题干给出的化简方法，准确拆分每一项，再利用裂项相消的规律简化运算，既考查二次根式的运算能力，也考查归纳推理和规律应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先观察题干给出的示例化简方法：第一步对分母提取公因式$\sqrt{ab}$，将分母改写为$\sqrt{ab}·(\sqrt{a}+\sqrt{b})$的形式；第二步利用平方差公式给分子分母同乘$(\sqrt{a}-\sqrt{b})$进行分母有理化；第三步将化简后的分式裂项为$\frac{1}{\sqrt{b}} - \frac{1}{\sqrt{a}}$的形式，形成可以抵消的相邻项。本题中每一项的分母均符合示例的结构，先将每一项按示例方法拆分，再通过裂项相消抵消中间项，最后计算剩余项即可得到结果。
【解析】
原式按示例方法逐项变形：
$\begin{aligned}原式&= \frac{1}{\sqrt{1×3}(\sqrt{3}+1)} + \frac{1}{\sqrt{3×5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})} + \frac{1}{\sqrt{5×7}(\sqrt{7}+\sqrt{5})} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2023×2025}(\sqrt{2025}+\sqrt{2023})}\\&= \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{1×3}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{3×5}(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} + \dots + \frac{\sqrt{2025}-\sqrt{2023}}{\sqrt{2023×2025}(\sqrt{2025}+\sqrt{2023})(\sqrt{2025}-\sqrt{2023})}\\&= \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{1×3}} + \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2\sqrt{3×5}} + \dots + \frac{\sqrt{2025}-\sqrt{2023}}{2\sqrt{2025×2023}}\\&= \frac{1}{2} × (1 - \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{7}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2023}} - \frac{1}{\sqrt{2025}})\end{aligned}$
中间项全部抵消，剩余首尾项，且$\sqrt{2025}=45$，代入得：
$\begin{aligned}原式&= \frac{1}{2} × (1 - \frac{1}{45})\\&= \frac{1}{2}×\frac{44}{45}\\&=\frac{22}{45}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{22}{45}$
【知识点】
二次根式混合运算，分母有理化，裂项相消
【点评】
本题属于二次根式的规律化简题，核心是读懂题干给出的化简方法，准确拆分每一项，再利用裂项相消的规律简化运算，既考查二次根式的运算能力，也考查归纳推理和规律应用能力。
【难度系数】
0.6
