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1. 下列尺规作图中,是作线段的垂直平分线的是 (
C
) 答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆常见基本尺规作图的操作步骤，明确线段垂直平分线的作法，再逐一判断每个选项对应的作图类型，即可选出正确答案。线段垂直平分线的核心作法是：分别以线段两个端点为圆心，取大于线段一半的长度为半径画弧，两弧在线段上下侧各有一个交点，过两个交点作的直线就是该线段的垂直平分线。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：该作图是作一个角的角平分线，不符合线段垂直平分线的作法，排除；
选项B：该作图是过直线外一点作已知直线的垂线，不符合要求，排除；
选项C：该作图先取一条线段，分别以线段两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，得到上下两个交点，过两交点作直线，完全符合线段垂直平分线的作法，符合题意；
选项D：该作图是过直线上一点作已知直线的垂线，不符合线段垂直平分线的作法，排除。
【答案】
C
【知识点】
尺规作图识别；线段垂直平分线的作法
【点评】
本题考查基本尺规作图的辨析，解题关键是熟练掌握各类常见基本尺规作图的操作步骤，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆常见基本尺规作图的操作步骤，明确线段垂直平分线的作法，再逐一判断每个选项对应的作图类型，即可选出正确答案。线段垂直平分线的核心作法是：分别以线段两个端点为圆心，取大于线段一半的长度为半径画弧，两弧在线段上下侧各有一个交点，过两个交点作的直线就是该线段的垂直平分线。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：该作图是作一个角的角平分线，不符合线段垂直平分线的作法，排除；
选项B：该作图是过直线外一点作已知直线的垂线，不符合要求，排除；
选项C：该作图先取一条线段，分别以线段两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，得到上下两个交点，过两交点作直线，完全符合线段垂直平分线的作法，符合题意；
选项D：该作图是过直线上一点作已知直线的垂线，不符合线段垂直平分线的作法，排除。
【答案】
C
【知识点】
尺规作图识别；线段垂直平分线的作法
【点评】
本题考查基本尺规作图的辨析，解题关键是熟练掌握各类常见基本尺规作图的操作步骤，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
2.已知线段AB，用尺规作它的垂直平分线.步骤如下：
第一步:分别以A和B为圆心，以a的长度为半径作弧，两弧相交于点C和点D；
第二步:作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线.
下列说法正确的是（
A.a无限制
B.$a＞\frac{1}{2}AB$
C.$a＜\frac{1}{2}AB$
D.$a=\frac{1}{2}AB$
第一步:分别以A和B为圆心，以a的长度为半径作弧，两弧相交于点C和点D；
第二步:作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线.
下列说法正确的是（
B
）A.a无限制
B.$a＞\frac{1}{2}AB$
C.$a＜\frac{1}{2}AB$
D.$a=\frac{1}{2}AB$
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确尺规作线段垂直平分线的原理：我们需要得到分别以A、B为圆心的两段弧的两个交点C、D，利用两点确定一条直线画出垂直平分线。若半径过小，两弧无法相交；若半径刚好等于AB的一半，两弧仅交于AB的中点，只有1个交点，无法确定直线。因此只有半径足够大时，才能得到两个交点，据此判断半径a的取值即可。
【解析】
根据尺规作线段垂直平分线的要求分析半径的取值：
1. 若$a＜\frac{1}{2}AB$，分别以A、B为圆心作弧，两弧没有交点，无法得到点C和D，不能完成作图；
2. 若$a=\frac{1}{2}AB$，两弧仅交于线段AB的中点，只有1个交点，无法确定一条直线，也不能作出垂直平分线；
3. 只有当$a＞\frac{1}{2}AB$时，两弧才会在线段AB的两侧各交于一点，得到C、D两个交点，连接CD即可得到AB的垂直平分线。
因此B选项正确。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的尺规作法；两圆相交的条件；两点确定一条直线
【点评】
本题考查线段垂直平分线尺规作图的细节要求，核心是理解作图的原理，而非机械记忆步骤，明确只有半径大于线段长度的一半才能得到两个交点，进而作出垂直平分线。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确尺规作线段垂直平分线的原理：我们需要得到分别以A、B为圆心的两段弧的两个交点C、D，利用两点确定一条直线画出垂直平分线。若半径过小，两弧无法相交；若半径刚好等于AB的一半，两弧仅交于AB的中点，只有1个交点，无法确定直线。因此只有半径足够大时，才能得到两个交点，据此判断半径a的取值即可。
【解析】
根据尺规作线段垂直平分线的要求分析半径的取值：
1. 若$a＜\frac{1}{2}AB$，分别以A、B为圆心作弧，两弧没有交点，无法得到点C和D，不能完成作图；
2. 若$a=\frac{1}{2}AB$，两弧仅交于线段AB的中点，只有1个交点，无法确定一条直线，也不能作出垂直平分线；
3. 只有当$a＞\frac{1}{2}AB$时，两弧才会在线段AB的两侧各交于一点，得到C、D两个交点，连接CD即可得到AB的垂直平分线。
因此B选项正确。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的尺规作法；两圆相交的条件；两点确定一条直线
【点评】
本题考查线段垂直平分线尺规作图的细节要求，核心是理解作图的原理，而非机械记忆步骤，明确只有半径大于线段长度的一半才能得到两个交点，进而作出垂直平分线。
【难度系数】
0.8
3. 如图,已知线段AB.求作:线段AB的中点.
(保留作图痕迹,不要求写出作法)
A B
(保留作图痕迹,不要求写出作法)
A B
答案
3.解:如图,点O即为所求.
解析
【分析】
要作线段AB的中点，可利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线与线段的交点就是线段的中点，该点到A、B两点的距离相等。具体思考路径：首先我们需要用尺规作出线段AB的垂直平分线，作垂直平分线时要分别以A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，保证两弧能在AB上下两侧各交于一点，过这两个交点作直线就是AB的垂直平分线，它和AB的交点就是所求的中点。
【解析】
作图仅需保留对应痕迹即可，作图逻辑如下：
1. 分别以点A、点B为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧在线段AB的上方、下方各形成一个交点；
2. 过上述两个交点作直线，该直线与线段AB的交点就是线段AB的中点。
【答案】
点O即为所求。
【知识点】
垂直平分线的作法，垂直平分线的性质，中点的定义
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心是对线段垂直平分线作法及性质的应用，熟练掌握基本尺规作图的操作要求就能顺利完成。
【难度系数】
0.9
要作线段AB的中点，可利用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线与线段的交点就是线段的中点，该点到A、B两点的距离相等。具体思考路径：首先我们需要用尺规作出线段AB的垂直平分线，作垂直平分线时要分别以A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，保证两弧能在AB上下两侧各交于一点，过这两个交点作直线就是AB的垂直平分线，它和AB的交点就是所求的中点。
【解析】
作图仅需保留对应痕迹即可，作图逻辑如下：
1. 分别以点A、点B为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧在线段AB的上方、下方各形成一个交点；
2. 过上述两个交点作直线，该直线与线段AB的交点就是线段AB的中点。
【答案】
点O即为所求。
【知识点】
垂直平分线的作法，垂直平分线的性质，中点的定义
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心是对线段垂直平分线作法及性质的应用，熟练掌握基本尺规作图的操作要求就能顺利完成。
【难度系数】
0.9
4.如图，某小区的三栋单元楼分别位于$△ ABC$的三个顶点处，要在$△ ABC$内建一个快递站，并使快递站到每一栋单元楼的距离相等，则快递站应建在$△ ABC$的（
A.三条角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条高所在直线的交点
D.三条中线的交点
B
）A.三条角平分线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条高所在直线的交点
D.三条中线的交点
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先明确题目的核心要求：快递站到△ABC三个顶点的距离相等。首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可知到任意两个顶点距离相等的点在这两点所连边的垂直平分线上，要同时满足到三个顶点距离相等，就需要找三条边垂直平分线的公共交点。再逐一排除其他选项对应的交点性质，即可得到正确答案。
【解析】
题目要求快递站到A、B、C三个顶点的距离相等：
1. 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
到A、B两点距离相等的点，在AB边的垂直平分线上；
到B、C两点距离相等的点，在BC边的垂直平分线上；
到A、C两点距离相等的点，在AC边的垂直平分线上。
因此同时满足到三个顶点距离相等的点，是△ABC三边垂直平分线的交点。
2. 分析其他选项：
A选项：三条角平分线的交点是三角形的内心，特点是到三角形三边的距离相等，不符合要求；
C选项：三条高所在直线的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质；
D选项：三条中线的交点是三角形的重心，特点是到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 三角形特殊点的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是区分三角形不同特殊交点的性质，解题时要注意区分“到三个顶点距离相等”和“到三条边距离相等”对应的不同交点，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
解题时先明确题目的核心要求：快递站到△ABC三个顶点的距离相等。首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可知到任意两个顶点距离相等的点在这两点所连边的垂直平分线上，要同时满足到三个顶点距离相等，就需要找三条边垂直平分线的公共交点。再逐一排除其他选项对应的交点性质，即可得到正确答案。
【解析】
题目要求快递站到A、B、C三个顶点的距离相等：
1. 根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
到A、B两点距离相等的点，在AB边的垂直平分线上；
到B、C两点距离相等的点，在BC边的垂直平分线上；
到A、C两点距离相等的点，在AC边的垂直平分线上。
因此同时满足到三个顶点距离相等的点，是△ABC三边垂直平分线的交点。
2. 分析其他选项：
A选项：三条角平分线的交点是三角形的内心，特点是到三角形三边的距离相等，不符合要求；
C选项：三条高所在直线的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质；
D选项：三条中线的交点是三角形的重心，特点是到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 三角形特殊点的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是区分三角形不同特殊交点的性质，解题时要注意区分“到三个顶点距离相等”和“到三条边距离相等”对应的不同交点，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
5.如图，P是△ABC内的一点，若PB=PC，则下列说法正确的是（
A.点P在∠ABC的平分线上
B.点P在∠ACB的平分线上
C.点P在边AB的垂直平分线上
D.点P在边BC的垂直平分线上
D
）A.点P在∠ABC的平分线上
B.点P在∠ACB的平分线上
C.点P在边AB的垂直平分线上
D.点P在边BC的垂直平分线上
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先回忆相关判定定理：1.线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；2.角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。结合题干给出的条件PB=PC，可知是点P到点B、C两个端点的距离相等，对应线段垂直平分线的判定，再逐一比对选项排除错误选项即可得到答案。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
已知PB=PC，即点P到线段BC的两个端点B、C的距离相等，因此点P在边BC的垂直平分线上。
对其他选项分析如下：
A、B选项：角平分线的判定要求点到角的两条边的距离相等，题干仅给出点到端点的距离相等，无法证明点P在角平分线上，故A、B错误；
C选项：若点P在AB的垂直平分线上，需满足PA=PB，题干未给出该条件，故C错误。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是明确区分线段垂直平分线判定和角平分线判定的不同适用条件，避免混淆两类判定的前提要求。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相关判定定理：1.线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；2.角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。结合题干给出的条件PB=PC，可知是点P到点B、C两个端点的距离相等，对应线段垂直平分线的判定，再逐一比对选项排除错误选项即可得到答案。
【解析】
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
已知PB=PC，即点P到线段BC的两个端点B、C的距离相等，因此点P在边BC的垂直平分线上。
对其他选项分析如下：
A、B选项：角平分线的判定要求点到角的两条边的距离相等，题干仅给出点到端点的距离相等，无法证明点P在角平分线上，故A、B错误；
C选项：若点P在AB的垂直平分线上，需满足PA=PB，题干未给出该条件，故C错误。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的判定；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是明确区分线段垂直平分线判定和角平分线判定的不同适用条件，避免混淆两类判定的前提要求。
【难度系数】
0.9
6.在△ABC内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段AC的长。
答案
6.解:由题意得,点P是线段AB的垂直平分线与以点C为圆心、CA长为半径画弧的交点.
解析
【分析】
解题时可将题目中的两个条件分别转化为点的轨迹来确定点P的位置：①要使点P到A、B两点的距离相等，根据线段垂直平分线的判定，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此点P必定在线段AB的垂直平分线上；②要使点P到点C的距离等于AC的长，根据圆的定义，到定点距离等于定长的点在以定点为圆心、定长为半径的圆上，因此点P必定在以C为圆心、AC长为半径的弧上。两个轨迹的交点（位于△ABC内的）即为所求的点P。
【解析】
第一步：利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线；
第二步：以点C为圆心，AC的长度为半径画弧，该弧与AB的垂直平分线的交点中，处于△ABC内部的点即为所求作的点P。
【答案】
由题意得,点P是线段AB的垂直平分线与以点C为圆心、CA长为半径画弧的交点.
【知识点】
线段垂直平分线的判定、圆的定义、尺规作图
【点评】
本题是基础的作图类题目，核心解题思路是轨迹法，将独立的几何条件转化为对应的点的轨迹，通过求轨迹交点确定目标点，能够考查学生对基础几何定义、定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时可将题目中的两个条件分别转化为点的轨迹来确定点P的位置：①要使点P到A、B两点的距离相等，根据线段垂直平分线的判定，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此点P必定在线段AB的垂直平分线上；②要使点P到点C的距离等于AC的长，根据圆的定义，到定点距离等于定长的点在以定点为圆心、定长为半径的圆上，因此点P必定在以C为圆心、AC长为半径的弧上。两个轨迹的交点（位于△ABC内的）即为所求的点P。
【解析】
第一步：利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线；
第二步：以点C为圆心，AC的长度为半径画弧，该弧与AB的垂直平分线的交点中，处于△ABC内部的点即为所求作的点P。
【答案】
由题意得,点P是线段AB的垂直平分线与以点C为圆心、CA长为半径画弧的交点.
【知识点】
线段垂直平分线的判定、圆的定义、尺规作图
【点评】
本题是基础的作图类题目，核心解题思路是轨迹法，将独立的几何条件转化为对应的点的轨迹，通过求轨迹交点确定目标点，能够考查学生对基础几何定义、定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
7.（教材P135练习T2变式）如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄.当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等？（保留作图痕迹，不写作法）
答案
7.解:如图,点C即为所求.
解析
【分析】
要找到公路AB上到村庄M、N距离相等的点，首先回忆相关几何结论：到两个点距离相等的点，在这两点所连线段的垂直平分线上。因此我们要找的点需要同时满足两个条件：①在直线AB上；②在线段MN的垂直平分线上。两个直线的交点同时满足这两个条件，因此我们只需要作出MN的垂直平分线，找到它和AB的交点，就是所求的位置。
【解析】
根据线段垂直平分线的性质与判定：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
1. 连接MN；
2. 用尺规作线段MN的垂直平分线，该垂直平分线与直线AB交于点C；
点C既在AB上，又在MN的垂直平分线上，因此点C到M、N的距离相等，即为所求位置。
【答案】
如图，点C即为所求。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、尺规作图、实际问题建模
【点评】
本题将生活中的实际问题转化为几何作图问题，核心考查对线段垂直平分线相关性质的理解，以及垂直平分线的尺规作图方法，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
要找到公路AB上到村庄M、N距离相等的点，首先回忆相关几何结论：到两个点距离相等的点，在这两点所连线段的垂直平分线上。因此我们要找的点需要同时满足两个条件：①在直线AB上；②在线段MN的垂直平分线上。两个直线的交点同时满足这两个条件，因此我们只需要作出MN的垂直平分线，找到它和AB的交点，就是所求的位置。
【解析】
根据线段垂直平分线的性质与判定：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
1. 连接MN；
2. 用尺规作线段MN的垂直平分线，该垂直平分线与直线AB交于点C；
点C既在AB上，又在MN的垂直平分线上，因此点C到M、N的距离相等，即为所求位置。
【答案】
如图，点C即为所求。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、尺规作图、实际问题建模
【点评】
本题将生活中的实际问题转化为几何作图问题，核心考查对线段垂直平分线相关性质的理解，以及垂直平分线的尺规作图方法，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
