9.如图，在$△ ABC$中，$∠ A=40°$，$∠ C=90°$，线段$AB$的垂直平分线交$AB$于点$D$，交$AC$于点$E$，连接$BE$，则$∠ EBC$的度数为。
（第9题图） （第10题图）

9.10°

【分析】
解题时先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再利用线段垂直平分线的性质得到EA=EB，进而推出∠EBA=∠A，最后用∠ABC减去∠EBA即可得到∠EBC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ABC = 180° - ∠ C - ∠ A = 180° - 90° - 40° = 50°$，
∵DE是线段AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴$EA = EB$（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴$∠ EBA = ∠ A = 40°$，
∴$∠ EBC = ∠ ABC - ∠ EBA = 50° - 40° = 10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形等边对等角
【点评】
本题是基础的角度计算题，核心是利用线段垂直平分线的性质得到相等的线段，进而转化为相等的角，结合三角形内角和即可求解，熟练掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8

10.如图，在四边形ABCD中，DE垂直平分AB，DF垂直平分BC。若AD=7，则CD的长为。

10.7

【分析】
解题需运用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。首先，点D在AB的垂直平分线DE上，可推出AD与BD相等；再看点D同时在BC的垂直平分线DF上，可推出BD与CD相等，通过等量代换即可得到AD与CD的等量关系，代入已知AD的长度就能求出CD的长。
【解析】
∵DE垂直平分AB，点D在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD
∵AD=7，
∴BD=7
又
∵DF垂直平分BC，点D在DF上
∴同理可得BD=CD
∴CD=BD=7
【答案】
7
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题是基础应用题，核心考查线段垂直平分线性质的灵活运用，解题的关键是借助公共线段BD建立AD和CD的等量关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

11. 如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$于点$D$，$EF$垂直平分$AC$，交$AC$于点$F$，交$BC$于点$E$，且$BD=DE$，连接$AE$。
(1) 求证：$AB=CE$；
(2) 若$△ ABC$的周长为18 cm，$AC=8$ cm，求$CD$的长。

11.(1)证明:
∵EF垂直平分AC,
∴AE=CE.
∵AD⊥BC,BD=DE,
∴AD垂直平分BE.
∴AB=AE.
∴AB=CE.(2)解:
∵△ABC的周长为18 cm,AC=8 cm,
∴AB+BC=18-AC=10 cm,即AB+BD+DE+CE=10 cm.
∵AB=CE,BD=DE,
∴2(DE+CE)=10 cm,
∴DE+CE=5 cm,
∴CD=5 cm.

【分析】
(1) 要证明AB=CE，可通过中间量AE等量代换：首先根据EF是AC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AE=CE；再结合AD⊥BC且BD=DE，可知AD是BE的垂直平分线，同理可得AB=AE，通过等量代换即可推出结论。
(2) 先根据△ABC的周长和AC的长度求出AB+BC的长，再将BC拆分为BD+DE+CE，结合(1)的结论AB=CE、已知BD=DE，将AB+BC转化为2(DE+CE)，而DE+CE恰好是CD的长度，代入计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明:
∵EF垂直平分AC,
∴AE=CE.
∵AD⊥BC,BD=DE,
∴AD垂直平分BE.
∴AB=AE.
∴AB=CE.
(2) 解:
∵△ABC的周长为18 cm,AC=8 cm,
∴AB+BC=18-AC=10 cm,即AB+BD+DE+CE=10 cm.
∵AB=CE,BD=DE,
∴2(DE+CE)=10 cm,
∴DE+CE=5 cm,
∴CD=DE+CE=5 cm.
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，等量代换
【点评】
本题是线段垂直平分线相关的基础典型题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质得到相等线段，再结合周长条件通过等量代换完成求解，能很好地考查对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7

12. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$, $D$ 是 $AB$ 上一点, $BD=BC$, 过点 $D$ 作 $AB$ 的垂线, 交 $AC$ 于点 $E$, 连接 $CD$, $BE$, $CD$ 交 $BE$ 于点 $F$.
求证: $BE$ 垂直平分 $CD$.

12. 证明:
∵ED⊥AB,∠ACB=90°,
∴∠EDB=90°=∠ACB.在Rt△BDE和Rt△BCE中,
∵$\begin{cases} BE=BE, \\ BD=BC, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL).
∴ED=EC.
∴点E在线段CD的垂直平分线上.
∵BD=BC,
∴点B在线段CD的垂直平分线上.
∴BE垂直平分CD.

【分析】
要证明BE垂直平分CD，可依据线段垂直平分线的判定思路：若一条直线上有两个点都到某线段两端点的距离相等，则这条直线就是该线段的垂直平分线。首先由已知BD=BC，可直接得到点B在CD的垂直平分线上；接下来只需证明点E也在CD的垂直平分线上，即证ED=EC，可通过证明Rt△BDE和Rt△BCE全等推导：两个三角形均为直角三角形，有公共斜边BE，且直角边BD=BC，符合HL全等判定条件，全等后对应边相等即可得ED=EC，最后结合两点确定一条直线，就能推出BE垂直平分CD。
【解析】
证明：
∵ED⊥AB，∠ACB=90°，
∴∠EDB=90°=∠ACB，即△BDE和△BCE都是直角三角形。
在Rt△BDE和Rt△BCE中，
$\begin{cases} BE=BE \\ BD=BC \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），
∴ED=EC，
∴点E在线段CD的垂直平分线上。
又
∵BD=BC，
∴点B在线段CD的垂直平分线上。
∵两点确定一条直线，
∴BE垂直平分CD。
【答案】
证明:
∵ED⊥AB,∠ACB=90°,
∴∠EDB=90°=∠ACB.在Rt△BDE和Rt△BCE中,
∵$\begin{cases} BE=BE, \\ BD=BC, \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL).
∴ED=EC.
∴点E在线段CD的垂直平分线上.
∵BD=BC,
∴点B在线段CD的垂直平分线上.
∴BE垂直平分CD.
【知识点】
HL判定直角三角形全等、线段垂直平分线的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考查对线段垂直平分线判定逻辑的理解，要注意不能仅证明直线上一个点在垂直平分线上就直接得出结论，需找到两个满足条件的点，结合两点确定一条直线完成证明。
【难度系数】
0.75

13.如图,在$△ ABC$中,AB边的垂直平分线$l_1$交BC于点D,AC边的垂直平分线$l_2$交BC于点E,$l_1$与$l_2$相交于点O,连接AD,AE,$△ ADE$的周长为12 cm.
(1)求BC的长;
(2)连接OA,OB,OC,若$△ OBC$的周长为26 cm,求OA的长.
【延伸问】试判断点O是否在BC边的垂直平分线上,并说明理由.

13. 解:(1)
∵$l_1$垂直平分AB,$l_2$垂直平分AC,
∴DB=DA,EA=EC.
∵△ADE的周长为12 cm,
∴BC=DB+DE+EC=DA+DE+EA=12 cm.(2)
∵$l_1$垂直平分AB,$l_2$垂直平分AC,
∴OB=OA,OA=OC.
∴OA=OB=OC.
∵△OBC的周长为26 cm,BC=12 cm,
∴OB+OC=26-BC=14 cm.
∴OB=OC=7 cm.
∴OA=7 cm.【延伸问】点O在BC边的垂直平分线上.理由如下:由(2),知OB=OC,
∴点O在BC边的垂直平分线上.

【分析】
(1) 解题时先调用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。由$l_1$是AB的垂直平分线可得$DA=DB$，$l_2$是AC的垂直平分线可得$EA=EC$。观察$△ ADE$的周长构成$AD+DE+AE$，将$AD$替换为$DB$、$AE$替换为$EC$，可发现$△ ADE$的周长与$BC$长度相等，代入已知周长即可求出$BC$的长。
(2) 继续用线段垂直平分线的性质，点O在AB的垂直平分线$l_1$上可得$OB=OA$，点O在AC的垂直平分线$l_2$上可得$OC=OA$，因此$OA=OB=OC$。结合$△ OBC$的周长和已求出的$BC$长度，先算出$OB+OC$的和，再利用$OB=OC$的关系求出$OB$的长度，即可得到$OA$的长。
延伸问：判断点是否在线段的垂直平分线上，只需证明该点到线段两端点的距离相等即可，由第(2)问已得出$OB=OC$，直接利用线段垂直平分线的判定即可得到结论。
【解析】
(1) $\because l_1$垂直平分$AB$，$l_2$垂直平分$AC$，
$\therefore DB=DA$，$EA=EC$。
$\because △ ADE$的周长为$12\ \mathrm{cm}$，即$DA+DE+EA=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BC=DB+DE+EC=DA+DE+EA=12\ \mathrm{cm}$。
(2) $\because l_1$垂直平分$AB$，$l_2$垂直平分$AC$，
$\therefore OB=OA$，$OA=OC$，
$\therefore OA=OB=OC$。
$\because △ OBC$的周长为$26\ \mathrm{cm}$，$BC=12\ \mathrm{cm}$，
$\therefore OB+OC=26-BC=26-12=14\ \mathrm{cm}$，
$\therefore OB=OC=7\ \mathrm{cm}$，
$\therefore OA=7\ \mathrm{cm}$。
【延伸问】点O在BC边的垂直平分线上，理由如下：
由(2)可知$OB=OC$，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可得点O在BC边的垂直平分线上。
【答案】
(1) $BC$的长为$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$；
(2) $OA$的长为$\boldsymbol{7\ \mathrm{cm}}$；
延伸问：点O在BC边的垂直平分线上，理由见解析。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形周长计算
【点评】
本题是线段垂直平分线相关知识的典型基础题，核心考查性质与判定的应用，解题关键是通过垂直平分线的性质完成线段等量代换，将未知线段转化为已知周长相关的线段求解，逻辑清晰，能很好地巩固相关基础知识点。
【难度系数】
0.8