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1.如图，P为线段AB的垂直平分线上的一点，若PB=3 cm，则PA的长为 （
A.6 cm
B.5 cm
C.4 cm
D.3 cm
（第1题图）
（第2题图）
D
）A.6 cm
B.5 cm
C.4 cm
D.3 cm
（第1题图）
（第2题图）
答案
1.D
解析
【分析】
解题时首先提取题目关键条件：点P是线段AB垂直平分线上的点，已知PB的长度要求PA的长度。首先回忆线段垂直平分线的相关性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得PA和PB长度相等，代入已知PB的长度即可求出PA的长度。
【解析】
∵点P在线段AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴PA = PB，
又
∵已知PB=3cm，
∴PA=3cm，故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，直接考察线段垂直平分线性质的应用，无需复杂推导和计算，熟记相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取题目关键条件：点P是线段AB垂直平分线上的点，已知PB的长度要求PA的长度。首先回忆线段垂直平分线的相关性质，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，由此可得PA和PB长度相等，代入已知PB的长度即可求出PA的长度。
【解析】
∵点P在线段AB的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∴PA = PB，
又
∵已知PB=3cm，
∴PA=3cm，故选D。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，直接考察线段垂直平分线性质的应用，无需复杂推导和计算，熟记相关性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.如图，在$△ ABC$中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，连接AE.若$AE=4$，$EC=2$，则BC的长是
6
.答案
2.6
解析
【分析】
解题时首先观察题目条件，出现了AB的垂直平分线，首先想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得到BE与AE的长度关系；再观察图形可知BC由BE和EC两段组成，将已知的AE、EC长度代入计算即可求出BC的长。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$BE=AE=4$，
又
∵$BC=BE+EC$，已知$EC=2$，
∴$BC=4+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题是基础应用题，核心考查线段垂直平分线性质的直接运用，解题时结合图形分析线段的和差关系即可快速得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察题目条件，出现了AB的垂直平分线，首先想到线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得到BE与AE的长度关系；再观察图形可知BC由BE和EC两段组成，将已知的AE、EC长度代入计算即可求出BC的长。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，点E在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$BE=AE=4$，
又
∵$BC=BE+EC$，已知$EC=2$，
∴$BC=4+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题是基础应用题，核心考查线段垂直平分线性质的直接运用，解题时结合图形分析线段的和差关系即可快速得出结果，难度较低。
【难度系数】
0.9
3. 如图，在$△ ABC$中，边AC的垂直平分线交边AB于点D，连接CD。若$∠ A=50°$，则$∠ BDC$的大小为
100°
。答案
3.100°
解析
【分析】
解题思路：首先看到题目中出现线段的垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得AD=CD，进而推出△ADC是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠A=∠DCA；再观察所求的∠BDC是△ADC的外角，根据三角形外角的性质即可计算出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵AC的垂直平分线交AB于点D
∴AD = CD
∴△ADC为等腰三角形，∠DCA = ∠A = 50°
又
∵∠BDC是△ADC的外角，三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠BDC = ∠A + ∠DCA = 50° + 50° = 100°
【答案】
100°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是熟练运用线段垂直平分线的性质得到边相等，进而推导角的关系，结合三角形外角性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先看到题目中出现线段的垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得AD=CD，进而推出△ADC是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠A=∠DCA；再观察所求的∠BDC是△ADC的外角，根据三角形外角的性质即可计算出∠BDC的度数。
【解析】
解：
∵AC的垂直平分线交AB于点D
∴AD = CD
∴△ADC为等腰三角形，∠DCA = ∠A = 50°
又
∵∠BDC是△ADC的外角，三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠BDC = ∠A + ∠DCA = 50° + 50° = 100°
【答案】
100°
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是熟练运用线段垂直平分线的性质得到边相等，进而推导角的关系，结合三角形外角性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
4.如图,直线l是线段AB的垂直平分线,C,D是直线l上的两点.求证:∠CAD=∠CBD.
答案
4. 证明:
∵直线l是线段AB的垂直平分线,
∴CA=CB,AD=BD.在△ACD和△BCD中,
∵$\begin{cases} AC=BC, \\ AD=BD, \\ CD=CD, \end{cases}$
∴△ACD≌△BCD(SSS).
∴∠CAD=∠CBD.
∵直线l是线段AB的垂直平分线,
∴CA=CB,AD=BD.在△ACD和△BCD中,
∵$\begin{cases} AC=BC, \\ AD=BD, \\ CD=CD, \end{cases}$
∴△ACD≌△BCD(SSS).
∴∠CAD=∠CBD.
解析
【分析】
要证明∠CAD=∠CBD，可通过证明两角所在的三角形全等来实现。首先结合已知条件：直线l是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得点C到A、B的距离相等即CA=CB，点D到A、B的距离相等即AD=BD。观察△ACD和△BCD，已有两组对应边相等，再加上公共边CD是两个三角形的共有边，满足三边对应相等的全等判定条件，可证△ACD≌△BCD，最后根据全等三角形对应角相等，即可得到∠CAD=∠CBD。
【解析】
证明：
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴CA=CB，AD=BD。
在△ACD和△BCD中，
$\begin{cases} AC=BC, \\ AD=BD, \\ CD=CD, \end{cases}$
∴△ACD≌△BCD（SSS）。
∴∠CAD=∠CBD。
【答案】
∠CAD=∠CBD
【知识点】
线段垂直平分线的性质，全等三角形SSS判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题的核心是熟练运用线段垂直平分线的性质得到等边条件，结合全等判定定理证明三角形全等，进而得到对应角相等，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
要证明∠CAD=∠CBD，可通过证明两角所在的三角形全等来实现。首先结合已知条件：直线l是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得点C到A、B的距离相等即CA=CB，点D到A、B的距离相等即AD=BD。观察△ACD和△BCD，已有两组对应边相等，再加上公共边CD是两个三角形的共有边，满足三边对应相等的全等判定条件，可证△ACD≌△BCD，最后根据全等三角形对应角相等，即可得到∠CAD=∠CBD。
【解析】
证明：
∵直线l是线段AB的垂直平分线，
∴CA=CB，AD=BD。
在△ACD和△BCD中，
$\begin{cases} AC=BC, \\ AD=BD, \\ CD=CD, \end{cases}$
∴△ACD≌△BCD（SSS）。
∴∠CAD=∠CBD。
【答案】
∠CAD=∠CBD
【知识点】
线段垂直平分线的性质，全等三角形SSS判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题的核心是熟练运用线段垂直平分线的性质得到等边条件，结合全等判定定理证明三角形全等，进而得到对应角相等，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
5. 如图，下列条件不能判定直线CD为线段AB的垂直平分线的是 （
A.$AB⊥CD$且$CE=DE$
B.$AC=BC$且$AD=BD$
C.$AB⊥CD$且$CD$平分$∠ACB$
D.$AB⊥CD$且$AE=BE$
A
）A.$AB⊥CD$且$CE=DE$
B.$AC=BC$且$AD=BD$
C.$AB⊥CD$且$CD$平分$∠ACB$
D.$AB⊥CD$且$AE=BE$
答案
5.A
解析
【分析】
要判断直线CD是否为线段AB的垂直平分线，需依据线段垂直平分线的判定规则：①直线同时满足垂直于线段AB、且平分线段AB；②若直线上存在两个不同的点到A、B两点的距离相等，则该直线是AB的垂直平分线。解题时逐一验证各选项是否满足上述判定条件，找出不能判定的选项即可。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
选项A：已知$AB⊥CD$且$CE=DE$，$CE=DE$仅能说明AB平分线段CD，无法证明CD平分AB（即无法得到$AE=BE$），不满足垂直平分线的判定条件，因此不能判定CD是AB的垂直平分线，符合题意。
选项B：$AC=BC$说明点C在AB的垂直平分线上，$AD=BD$说明点D在AB的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可判定CD是AB的垂直平分线，不符合题意。
选项C：$AB⊥CD$得$∠AEC=∠BEC=90°$，CD平分$∠ACB$得$∠ACE=∠BCE$，又$CE=CE$，可通过ASA证明$△ ACE≌△ BCE$，得到$AE=BE$，即CD既垂直AB又平分AB，可判定CD是AB的垂直平分线，不符合题意。
选项D：$AB⊥CD$且$AE=BE$，直接符合线段垂直平分线的定义，可判定CD是AB的垂直平分线，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题核心考查线段垂直平分线的判定，解题时要注意区分条件中是哪条线段被平分，避免混淆逻辑关系，结合全等三角形等知识逐一验证条件即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要判断直线CD是否为线段AB的垂直平分线，需依据线段垂直平分线的判定规则：①直线同时满足垂直于线段AB、且平分线段AB；②若直线上存在两个不同的点到A、B两点的距离相等，则该直线是AB的垂直平分线。解题时逐一验证各选项是否满足上述判定条件，找出不能判定的选项即可。
【解析】
我们对各选项逐一分析：
选项A：已知$AB⊥CD$且$CE=DE$，$CE=DE$仅能说明AB平分线段CD，无法证明CD平分AB（即无法得到$AE=BE$），不满足垂直平分线的判定条件，因此不能判定CD是AB的垂直平分线，符合题意。
选项B：$AC=BC$说明点C在AB的垂直平分线上，$AD=BD$说明点D在AB的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，可判定CD是AB的垂直平分线，不符合题意。
选项C：$AB⊥CD$得$∠AEC=∠BEC=90°$，CD平分$∠ACB$得$∠ACE=∠BCE$，又$CE=CE$，可通过ASA证明$△ ACE≌△ BCE$，得到$AE=BE$，即CD既垂直AB又平分AB，可判定CD是AB的垂直平分线，不符合题意。
选项D：$AB⊥CD$且$AE=BE$，直接符合线段垂直平分线的定义，可判定CD是AB的垂直平分线，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题核心考查线段垂直平分线的判定，解题时要注意区分条件中是哪条线段被平分，避免混淆逻辑关系，结合全等三角形等知识逐一验证条件即可快速解题。
【难度系数】
0.7
6. 如图,点 E,F,G,Q,H 在同一条直线上,且 EF=GH,我们知道按如图所作的直线 l 为线段 FG 的垂直平分线.下列说法正确的是
（
A.l 是线段 EH 的垂直平分线
B.l 是线段 EQ 的垂直平分线
C.l 是线段 FH 的垂直平分线
D.EH 是 l 的垂直平分线
（
A
）A.l 是线段 EH 的垂直平分线
B.l 是线段 EQ 的垂直平分线
C.l 是线段 FH 的垂直平分线
D.EH 是 l 的垂直平分线
答案
6.A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先根据直线l是FG的垂直平分线，可得到两个关键结论：①l垂直于FG所在的直线（即E、F、G、Q、H所在的直线）；②l与FG的交点是FG的中点，即该点到F、G的距离相等。要判断l是不是某条线段的垂直平分线，只需要再验证l是否经过该线段的中点即可。结合已知EF=GH，将等线段相加即可推导得到l与EH的交点是EH的中点，结合l垂直EH，就能判断l是EH的垂直平分线，再逐一排除其余错误选项即可。
【解析】
设直线l与直线EH的交点为O。
∵ 直线l是线段FG的垂直平分线，
∴ l⊥FG，且FO=OG。
∵ 点E、F、G、Q、H在同一条直线上，
∴ l⊥EH。
又
∵ EF=GH，
∴ EF+FO=GH+OG，即EO=OH，
∴ O是线段EH的中点，结合l⊥EH，可得l是线段EH的垂直平分线，故A正确。
对其余选项分析如下：
B选项：若l是EQ的垂直平分线需满足EO=OQ，由EO=OH，Q在G、H之间可知OQ＜OH=EO，不满足条件，B错误；
C选项：若l是FH的垂直平分线需满足FO=OH，由FO=OG＜OG+GH=OH，不满足条件，C错误；
D选项：直线l没有中点，不存在被线段EH垂直平分的说法，D错误。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的定义；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题围绕线段垂直平分线的判定设置，核心是利用已知的线段等量关系推导线段中点，结合垂直条件判断即可，解题时注意直线没有中点这一特点，可快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，首先根据直线l是FG的垂直平分线，可得到两个关键结论：①l垂直于FG所在的直线（即E、F、G、Q、H所在的直线）；②l与FG的交点是FG的中点，即该点到F、G的距离相等。要判断l是不是某条线段的垂直平分线，只需要再验证l是否经过该线段的中点即可。结合已知EF=GH，将等线段相加即可推导得到l与EH的交点是EH的中点，结合l垂直EH，就能判断l是EH的垂直平分线，再逐一排除其余错误选项即可。
【解析】
设直线l与直线EH的交点为O。
∵ 直线l是线段FG的垂直平分线，
∴ l⊥FG，且FO=OG。
∵ 点E、F、G、Q、H在同一条直线上，
∴ l⊥EH。
又
∵ EF=GH，
∴ EF+FO=GH+OG，即EO=OH，
∴ O是线段EH的中点，结合l⊥EH，可得l是线段EH的垂直平分线，故A正确。
对其余选项分析如下：
B选项：若l是EQ的垂直平分线需满足EO=OQ，由EO=OH，Q在G、H之间可知OQ＜OH=EO，不满足条件，B错误；
C选项：若l是FH的垂直平分线需满足FO=OH，由FO=OG＜OG+GH=OH，不满足条件，C错误；
D选项：直线l没有中点，不存在被线段EH垂直平分的说法，D错误。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的定义；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题围绕线段垂直平分线的判定设置，核心是利用已知的线段等量关系推导线段中点，结合垂直条件判断即可，解题时注意直线没有中点这一特点，可快速排除错误选项。
【难度系数】
0.7
7.如图，在$△ ABC$中，AD垂直平分BC，点E在BC的延长线上，且满足$AB+BD=DE$. 求证:点C在线段AE的垂直平分线上.
答案
7. 证明:
∵AD垂直平分BC,
∴BD=CD,AB=AC.
∵AB+BD=DE,
∴AC+CD=DE.
∵DE=CD+CE,
∴AC=CE.
∴点C在线段AE的垂直平分线上.
∵AD垂直平分BC,
∴BD=CD,AB=AC.
∵AB+BD=DE,
∴AC+CD=DE.
∵DE=CD+CE,
∴AC=CE.
∴点C在线段AE的垂直平分线上.
解析
【分析】
要证明点C在线段AE的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证明AC=CE即可。首先利用AD垂直平分BC的条件，结合线段垂直平分线的性质可得AB=AC、BD=CD；再结合已知AB+BD=DE，以及线段和的关系DE=CD+CE，通过等量代换即可推导出AC=CE，进而完成证明。
【解析】
证明：
∵AD垂直平分BC，
∴BD=CD，AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵AB+BD=DE，
∴将AB替换为AC、BD替换为CD，可得AC+CD=DE。
又
∵DE=CD+CE（线段和的定义），
∴AC+CD=CD+CE，化简得AC=CE。
∴点C在线段AE的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
【答案】
证明:
∵AD垂直平分BC,
∴BD=CD,AB=AC.
∵AB+BD=DE,
∴AC+CD=DE.
∵DE=CD+CE,
∴AC=CE.
∴点C在线段AE的垂直平分线上.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；线段和差计算
【点评】
本题是基础证明类题目，解题关键是明确“证点在线段垂直平分线上，即证该点到线段两端距离相等”的转化思路，结合已知条件做等量代换即可求解，能帮助学生巩固线段垂直平分线性质与判定的应用逻辑。
【难度系数】
0.8
要证明点C在线段AE的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证明AC=CE即可。首先利用AD垂直平分BC的条件，结合线段垂直平分线的性质可得AB=AC、BD=CD；再结合已知AB+BD=DE，以及线段和的关系DE=CD+CE，通过等量代换即可推导出AC=CE，进而完成证明。
【解析】
证明：
∵AD垂直平分BC，
∴BD=CD，AB=AC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵AB+BD=DE，
∴将AB替换为AC、BD替换为CD，可得AC+CD=DE。
又
∵DE=CD+CE（线段和的定义），
∴AC+CD=CD+CE，化简得AC=CE。
∴点C在线段AE的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
【答案】
证明:
∵AD垂直平分BC,
∴BD=CD,AB=AC.
∵AB+BD=DE,
∴AC+CD=DE.
∵DE=CD+CE,
∴AC=CE.
∴点C在线段AE的垂直平分线上.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；线段和差计算
【点评】
本题是基础证明类题目，解题关键是明确“证点在线段垂直平分线上，即证该点到线段两端距离相等”的转化思路，结合已知条件做等量代换即可求解，能帮助学生巩固线段垂直平分线性质与判定的应用逻辑。
【难度系数】
0.8
8.(2024－2025·宿州泗县月考)如图，直线$l$经过线段$AB$的中点$O$，点$P$在直线$l$上，且$PA=PB$，则下列结论：①$∠ PAO=∠ PBO$；②$∠ A=30°$；③$PO$平分$∠ APB$；④$PO$垂直平分线段$AB$。其中，正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
8.C
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：O是AB中点，可得AO=BO；已知PA=PB，PO为两个三角形的公共边，首先可通过SSS判定△PAO≌△PBO，再结合全等三角形的性质、等腰三角形三线合一、线段垂直平分线的判定，逐个验证4个结论是否成立，注意没有给出的条件不能随意假设。
【解析】
∵O是线段AB的中点，
∴AO=BO。
在$△ PAO$和$△ PBO$中：
$\{\begin{array}{l} PA=PB\\ AO=BO\\ PO=PO\end{array} $
∴$△ PAO ≌ △ PBO$（SSS）。
1. 对结论①：由全等三角形对应角相等，得$∠ PAO=∠ PBO$，①正确；
2. 对结论②：题目未给出任何角度相关的已知条件，无法推出$∠ A=30°$，②错误；
3. 对结论③：由全等三角形对应角相等，得$∠ APO=∠ BPO$，即PO平分$∠ APB$，③正确；
4. 对结论④：
∵PA=PB，
∴$△ PAB$是等腰三角形，又O是AB中点，根据等腰三角形三线合一的性质，得$PO ⊥ AB$，结合O是AB中点，可知PO垂直平分线段AB，④正确。
综上，正确的结论有①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查多个核心基础知识点，解题的关键是先通过已知条件证明三角形全等，再逐一推导结论，注意不要主观添加题目未给出的条件，避免误判。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：O是AB中点，可得AO=BO；已知PA=PB，PO为两个三角形的公共边，首先可通过SSS判定△PAO≌△PBO，再结合全等三角形的性质、等腰三角形三线合一、线段垂直平分线的判定，逐个验证4个结论是否成立，注意没有给出的条件不能随意假设。
【解析】
∵O是线段AB的中点，
∴AO=BO。
在$△ PAO$和$△ PBO$中：
$\{\begin{array}{l} PA=PB\\ AO=BO\\ PO=PO\end{array} $
∴$△ PAO ≌ △ PBO$（SSS）。
1. 对结论①：由全等三角形对应角相等，得$∠ PAO=∠ PBO$，①正确；
2. 对结论②：题目未给出任何角度相关的已知条件，无法推出$∠ A=30°$，②错误；
3. 对结论③：由全等三角形对应角相等，得$∠ APO=∠ BPO$，即PO平分$∠ APB$，③正确；
4. 对结论④：
∵PA=PB，
∴$△ PAB$是等腰三角形，又O是AB中点，根据等腰三角形三线合一的性质，得$PO ⊥ AB$，结合O是AB中点，可知PO垂直平分线段AB，④正确。
综上，正确的结论有①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查多个核心基础知识点，解题的关键是先通过已知条件证明三角形全等，再逐一推导结论，注意不要主观添加题目未给出的条件，避免误判。
【难度系数】
0.7
