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8.如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可从任意一个洞口跑出，猫为能最省力地同时顾及到三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在△ABC的（
A.三条角平分线的交点处
B.三条中线的交点处
C.三条高的交点处
D.三条边的垂直平分线的交点处
D
）A.三条角平分线的交点处
B.三条中线的交点处
C.三条高的交点处
D.三条边的垂直平分线的交点处
答案
8.D
解析
【分析】
要让猫最省力地同时顾及三个洞口，本质是找一个到A、B、C三个顶点距离相等的点，这样不管老鼠从哪个洞口跑出，猫需要跑的路程都相同。接下来只需结合各选项对应三角形特殊交点的性质，筛选出符合“到三个顶点距离相等”的交点即可。
【解析】
逐一分析各选项对应的交点性质：
1. 选项A：三角形三条角平分线的交点是内心，性质是到三角形三边的距离相等，不满足到三个顶点距离相等的要求，排除；
2. 选项B：三角形三条中线的交点是重心，性质是重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等的要求，排除；
3. 选项C：三角形三条高的交点是垂心，没有到三个顶点距离相等的性质，排除；
4. 选项D：三角形三条边的垂直平分线的交点是外心，根据线段垂直平分线的性质，该点到三角形三个顶点的距离相等，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线性质；三角形外心性质；特殊交点判定
【点评】
本题是几何性质在实际场景中的应用，解题核心是将实际需求转化为“到三点距离相等”的几何判定，熟记各特殊交点的性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要让猫最省力地同时顾及三个洞口，本质是找一个到A、B、C三个顶点距离相等的点，这样不管老鼠从哪个洞口跑出，猫需要跑的路程都相同。接下来只需结合各选项对应三角形特殊交点的性质，筛选出符合“到三个顶点距离相等”的交点即可。
【解析】
逐一分析各选项对应的交点性质：
1. 选项A：三角形三条角平分线的交点是内心，性质是到三角形三边的距离相等，不满足到三个顶点距离相等的要求，排除；
2. 选项B：三角形三条中线的交点是重心，性质是重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等的要求，排除；
3. 选项C：三角形三条高的交点是垂心，没有到三个顶点距离相等的性质，排除；
4. 选项D：三角形三条边的垂直平分线的交点是外心，根据线段垂直平分线的性质，该点到三角形三个顶点的距离相等，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线性质；三角形外心性质；特殊交点判定
【点评】
本题是几何性质在实际场景中的应用，解题核心是将实际需求转化为“到三点距离相等”的几何判定，熟记各特殊交点的性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
9. 整体思想新理念（2024－2025·淮南凤台县期中）如图，在$△ ABC$中，AB，AC的垂直平分线$ l_1 $，$ l_2 $相交于点O，若$∠ BAC = 80°$，则$∠ OBC$的度数是（
A.$ 15° $
B.$ 20° $
C.$ 10° $
D.$ 25° $
（第9题图）
（第10题图）
C
）A.$ 15° $
B.$ 20° $
C.$ 10° $
D.$ 25° $
（第9题图）（第10题图）
答案
9.C
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。由此可得O到A、B、C三点的距离相等，即OA=OB=OC，进而得到△OAB、△OAC、△OBC均为等腰三角形，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理，先求出∠ABC+∠ACB的度数，再通过角度的和差关系整体求出∠OBC+∠OCB的度数，最后利用等腰三角形的性质即可求出∠OBC的度数。
【解析】
连接OA，
∵ $ l_1 $ 是AB的垂直平分线，点O在$ l_1 $上，
∴ $ OA=OB $，
∴ $ ∠OAB=∠OBA $，
同理，
∵ $ l_2 $ 是AC的垂直平分线，点O在$ l_2 $上，
∴ $ OA=OC $，
∴ $ ∠OAC=∠OCA $，且$ OB=OC $，
∴ $ ∠OBC=∠OCB $。
已知$ ∠BAC=∠OAB+∠OAC=80° $，
∴ $ ∠OBA+∠OCA=80° $。
在$ △ABC $中，根据三角形内角和定理：
$ ∠ABC+∠ACB=180° - ∠BAC=180° -80°=100° $，
即$ ∠OBA+∠OBC+∠OCA+∠OCB=100° $，
将$ ∠OBA+∠OCA=80° $代入上式得：
$ 80° + ∠OBC + ∠OCB=100° $，
∴ $ ∠OBC+∠OCB=20° $，
又
∵ $ ∠OBC=∠OCB $，
∴ $ ∠OBC=\frac{1}{2}×20°=10° $。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的常考题型，核心是通过线段垂直平分线的性质得到相等的线段，进而转化为相等的角，结合整体思想计算角度，解题时注意等腰三角形性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。由此可得O到A、B、C三点的距离相等，即OA=OB=OC，进而得到△OAB、△OAC、△OBC均为等腰三角形，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理，先求出∠ABC+∠ACB的度数，再通过角度的和差关系整体求出∠OBC+∠OCB的度数，最后利用等腰三角形的性质即可求出∠OBC的度数。
【解析】
连接OA，
∵ $ l_1 $ 是AB的垂直平分线，点O在$ l_1 $上，
∴ $ OA=OB $，
∴ $ ∠OAB=∠OBA $，
同理，
∵ $ l_2 $ 是AC的垂直平分线，点O在$ l_2 $上，
∴ $ OA=OC $，
∴ $ ∠OAC=∠OCA $，且$ OB=OC $，
∴ $ ∠OBC=∠OCB $。
已知$ ∠BAC=∠OAB+∠OAC=80° $，
∴ $ ∠OBA+∠OCA=80° $。
在$ △ABC $中，根据三角形内角和定理：
$ ∠ABC+∠ACB=180° - ∠BAC=180° -80°=100° $，
即$ ∠OBA+∠OBC+∠OCA+∠OCB=100° $，
将$ ∠OBA+∠OCA=80° $代入上式得：
$ 80° + ∠OBC + ∠OCB=100° $，
∴ $ ∠OBC+∠OCB=20° $，
又
∵ $ ∠OBC=∠OCB $，
∴ $ ∠OBC=\frac{1}{2}×20°=10° $。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是角度计算的常考题型，核心是通过线段垂直平分线的性质得到相等的线段，进而转化为相等的角，结合整体思想计算角度，解题时注意等腰三角形性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
10.如图，在平面直角坐标系中有A(1,3)，B(1,1),C(6,1)三点，P为坐标系内一点，若PA=PB=PC，则点P的坐标为
$(\frac{7}{2},2)$
.答案
10.$(\frac{7}{2},2)$
解析
【分析】
要找到满足PA=PB=PC的点P，根据线段垂直平分线的性质：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知P是△ABC三边垂直平分线的交点。观察三点坐标特征：A、B横坐标相同，说明AB为竖直线段，其垂直平分线是水平线；B、C纵坐标相同，说明BC为水平线段，其垂直平分线是竖直线，求出这两条垂直平分线的交点即为点P。
【解析】
1. 求AB的垂直平分线：
已知A(1,3)，B(1,1)，两点横坐标相等，AB垂直于x轴，AB中点的纵坐标为$\frac{3+1}{2}=2$，因此AB的垂直平分线为直线$y=2$，点P在该直线上。
2. 求BC的垂直平分线：
已知B(1,1)，C(6,1)，两点纵坐标相等，BC平行于x轴，BC中点的横坐标为$\frac{1+6}{2}=\frac{7}{2}$，因此BC的垂直平分线为直线$x=\frac{7}{2}$，点P也在该直线上。
3. 求交点P的坐标：
两条垂直平分线的交点坐标为$(\frac{7}{2},2)$，验证可知该点满足PA=PB=PC。
【答案】
$(\frac{7}{2},2)$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查线段垂直平分线的应用，利用特殊位置线段（水平、竖直线段）的垂直平分线的特征简化计算，是垂直平分线性质的基础应用题型，能较好考查学生对性质的理解和坐标计算能力。
【难度系数】
0.7
要找到满足PA=PB=PC的点P，根据线段垂直平分线的性质：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，可知P是△ABC三边垂直平分线的交点。观察三点坐标特征：A、B横坐标相同，说明AB为竖直线段，其垂直平分线是水平线；B、C纵坐标相同，说明BC为水平线段，其垂直平分线是竖直线，求出这两条垂直平分线的交点即为点P。
【解析】
1. 求AB的垂直平分线：
已知A(1,3)，B(1,1)，两点横坐标相等，AB垂直于x轴，AB中点的纵坐标为$\frac{3+1}{2}=2$，因此AB的垂直平分线为直线$y=2$，点P在该直线上。
2. 求BC的垂直平分线：
已知B(1,1)，C(6,1)，两点纵坐标相等，BC平行于x轴，BC中点的横坐标为$\frac{1+6}{2}=\frac{7}{2}$，因此BC的垂直平分线为直线$x=\frac{7}{2}$，点P也在该直线上。
3. 求交点P的坐标：
两条垂直平分线的交点坐标为$(\frac{7}{2},2)$，验证可知该点满足PA=PB=PC。
【答案】
$(\frac{7}{2},2)$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，平面直角坐标系坐标特征
【点评】
本题结合平面直角坐标系考查线段垂直平分线的应用，利用特殊位置线段（水平、竖直线段）的垂直平分线的特征简化计算，是垂直平分线性质的基础应用题型，能较好考查学生对性质的理解和坐标计算能力。
【难度系数】
0.7
11.如图,点C是线段AB外一点.借助无刻度直尺和圆规,判断点C是否在线段AB的垂直平分线上.(要求:用两种方法判断;保留作图痕迹,不写作法.)
答案
11.解:如图,两种方法确定点C在线段AB的垂直平分线上即为所求.
解析
【分析】
要判断点C是否在线段AB的垂直平分线上，可从两个方向展开思路：① 直接作图法：先利用尺规作出线段AB的垂直平分线，观察点C是否落在这条直线上即可判断，该方法依托线段垂直平分线的尺规作图规则；② 判定定理法：根据“到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，只需验证AC与BC的长度是否相等即可判断，该方法依托垂直平分线的判定定理，两种方法均符合题目工具要求。
【解析】
方法1：用尺规作出线段AB的垂直平分线，若所作垂直平分线经过点C，则点C在线段AB的垂直平分线上，反之则不在。
方法2：连接AC、BC，用圆规比对AC与BC的长度，若AC=BC，则根据线段垂直平分线的判定定理，点C在线段AB的垂直平分线上，反之则不在。
（两种方法均保留作图痕迹即可，无需写作法）
【答案】
【知识点】
线段垂直平分线的尺规作图；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础几何操作类题型，既考查了尺规作图的动手实践能力，也考查了对线段垂直平分线判定定理的理解与应用，两种解题思路是处理线段垂直平分线相关问题的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
要判断点C是否在线段AB的垂直平分线上，可从两个方向展开思路：① 直接作图法：先利用尺规作出线段AB的垂直平分线，观察点C是否落在这条直线上即可判断，该方法依托线段垂直平分线的尺规作图规则；② 判定定理法：根据“到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，只需验证AC与BC的长度是否相等即可判断，该方法依托垂直平分线的判定定理，两种方法均符合题目工具要求。
【解析】
方法1：用尺规作出线段AB的垂直平分线，若所作垂直平分线经过点C，则点C在线段AB的垂直平分线上，反之则不在。
方法2：连接AC、BC，用圆规比对AC与BC的长度，若AC=BC，则根据线段垂直平分线的判定定理，点C在线段AB的垂直平分线上，反之则不在。
（两种方法均保留作图痕迹即可，无需写作法）
【答案】
【知识点】
线段垂直平分线的尺规作图；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础几何操作类题型，既考查了尺规作图的动手实践能力，也考查了对线段垂直平分线判定定理的理解与应用，两种解题思路是处理线段垂直平分线相关问题的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
12.如图,在$△ ABC$中,分别以点A和点C为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径作弧,两弧相交于点M,N,直线MN与AC,BC分别相交于点E,D,连接AD.
(1)若$∠ B=110°,∠ BAD=20°$,求$∠ C$的度数；
(2)若$AE=3\ \mathrm{cm},△ ABC$的周长为13 cm,求$△ ABD$的周长.
(1)若$∠ B=110°,∠ BAD=20°$,求$∠ C$的度数；
(2)若$AE=3\ \mathrm{cm},△ ABC$的周长为13 cm,求$△ ABD$的周长.
答案
12.解:(1)由作法得 MN 垂直平分 AC,
∴AE=CE,DA=DC,
∴∠C=∠CAD.
∵∠B=110°,∠BAD=20°,
∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=50°,又
∵∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C,
∴∠C=25°. (2)
∵△ABC 的周长为 13 cm,AE=3 cm,
∴AB+BC+AC=13 cm,AC=6 cm.
∴AB+BD+DA+AC=13 cm,即 AB+BD+DA=7 cm,
∴△ABD的周长为7 cm.
∴AE=CE,DA=DC,
∴∠C=∠CAD.
∵∠B=110°,∠BAD=20°,
∴∠ADB=180°-∠B-∠BAD=50°,又
∵∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C,
∴∠C=25°. (2)
∵△ABC 的周长为 13 cm,AE=3 cm,
∴AB+BC+AC=13 cm,AC=6 cm.
∴AB+BD+DA+AC=13 cm,即 AB+BD+DA=7 cm,
∴△ABD的周长为7 cm.
解析
【分析】
首先根据题中的尺规作图步骤，可判断MN是线段AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AD=CD，进而得到∠C=∠CAD，这是解题的核心突破口。(1)求∠C的度数时，先利用三角形内角和求出∠ADB的度数，再结合三角形外角的性质，可知∠ADB等于2∠C，从而计算出∠C的大小；(2)求△ABD的周长时，先由AE的长度求出AC的长，结合△ABC的周长得到AB+BC的长度，再将AD替换为相等的CD，可得△ABD的周长等于AB+BC，代入数值即可求解。
【解析】
(1) 由尺规作图的作法可知，MN垂直平分AC，
∴AE=CE，DA=DC，
根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠C=∠CAD。
在△ABD中，∠B=110°，∠BAD=20°，
根据三角形内角和为180°，得$∠ ADB=180°-∠ B-∠ BAD=180°-110°-20°=50°$，
又
∵∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角的性质，$∠ ADB=∠ C+∠ CAD=2∠ C$，
∴$∠ C=50°÷2=25°$。
(2)
∵AE=3 cm，MN垂直平分AC，
∴$AC=2AE=2×3=6\ \mathrm{cm}$，
已知△ABC的周长为13 cm，即$AB+BC+AC=13\ \mathrm{cm}$，
代入AC的长度，得$AB+BC=13-6=7\ \mathrm{cm}$，
又
∵DA=DC，
∴△ABD的周长$=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boxed{25°}$；(2) $\boxed{7\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的性质；3.三角形周长计算
【点评】
本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图识别与性质应用，解题的关键是利用垂直平分线的性质实现角、边的等量转化，是线段垂直平分线相关的基础典型题，需熟练掌握此类转化思路。
【难度系数】
0.7
首先根据题中的尺规作图步骤，可判断MN是线段AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得AD=CD，进而得到∠C=∠CAD，这是解题的核心突破口。(1)求∠C的度数时，先利用三角形内角和求出∠ADB的度数，再结合三角形外角的性质，可知∠ADB等于2∠C，从而计算出∠C的大小；(2)求△ABD的周长时，先由AE的长度求出AC的长，结合△ABC的周长得到AB+BC的长度，再将AD替换为相等的CD，可得△ABD的周长等于AB+BC，代入数值即可求解。
【解析】
(1) 由尺规作图的作法可知，MN垂直平分AC，
∴AE=CE，DA=DC，
根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠C=∠CAD。
在△ABD中，∠B=110°，∠BAD=20°，
根据三角形内角和为180°，得$∠ ADB=180°-∠ B-∠ BAD=180°-110°-20°=50°$，
又
∵∠ADB是△ADC的外角，根据三角形外角的性质，$∠ ADB=∠ C+∠ CAD=2∠ C$，
∴$∠ C=50°÷2=25°$。
(2)
∵AE=3 cm，MN垂直平分AC，
∴$AC=2AE=2×3=6\ \mathrm{cm}$，
已知△ABC的周长为13 cm，即$AB+BC+AC=13\ \mathrm{cm}$，
代入AC的长度，得$AB+BC=13-6=7\ \mathrm{cm}$，
又
∵DA=DC，
∴△ABD的周长$=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boxed{25°}$；(2) $\boxed{7\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的性质；3.三角形周长计算
【点评】
本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图识别与性质应用，解题的关键是利用垂直平分线的性质实现角、边的等量转化，是线段垂直平分线相关的基础典型题，需熟练掌握此类转化思路。
【难度系数】
0.7
13.某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图(保留作图痕迹,不要求写作法).
(1)如图①,小区A,B在街道m的异侧,要使垃圾站点D到小区A,B的距离相等,请确定垃圾站点D的位置(要求利用尺规作图);
(2)如图②,小区A,C在街道m的同侧,要使鲜奶站E到小区A,C的距离之和最短,请确定鲜奶站E的位置.
(1)如图①,小区A,B在街道m的异侧,要使垃圾站点D到小区A,B的距离相等,请确定垃圾站点D的位置(要求利用尺规作图);
(2)如图②,小区A,C在街道m的同侧,要使鲜奶站E到小区A,C的距离之和最短,请确定鲜奶站E的位置.
答案
13.解:(1)如图①,作线段AB的垂直平分线,交直线m于点D,则点D即为所求.
(2)如图②,取点C关于直线m的对称点C',连接AC'交直线m于点E.此时AE+CE=AE+C'E=AC'为最小值,则点E即为所求. 
解析
【分析】
(1)要找到街道m上到A、B两个小区距离相等的点D，依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的性质，可知点D既在线段AB的垂直平分线上，又在街道m上，因此只需作出线段AB的垂直平分线，它与直线m的交点就是所求的点D。
(2)要找到街道m上到同侧A、C两个小区距离之和最短的点E，属于常见的最短路径问题：可利用轴对称的性质将同侧点转化为异侧点，作点C关于直线m的对称点C'，此时直线m上任意点到C和C'的距离相等，即CE=C'E，那么AE+CE=AE+C'E，再根据“两点之间线段最短”，连接AC'，AC'与直线m的交点即为所求的点E，此时距离和最小。
【解析】
(1)使用尺规作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与直线m的交点就是垃圾站点D的位置，此时点D到A、B的距离相等。
(2)先作点C关于直线m的对称点C'，连接AC'，线段AC'与直线m的交点就是鲜奶站E的位置，此时AE+CE=AE+C'E=AC'，根据两点之间线段最短，该位置E到A、C的距离之和最短。
【答案】
(1)如图①,作线段AB的垂直平分线,交直线m于点D,则点D即为所求.
(2)如图②,取点C关于直线m的对称点C',连接AC'交直线m于点E.此时AE+CE=AE+C'E=AC'为最小值,则点E即为所求.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题结合生活场景考查几何作图应用，解题关键是将实际需求对应到合适的几何模型，熟练运用相关性质确定点的位置，作图时要注意保留规范的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
(1)要找到街道m上到A、B两个小区距离相等的点D，依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的性质，可知点D既在线段AB的垂直平分线上，又在街道m上，因此只需作出线段AB的垂直平分线，它与直线m的交点就是所求的点D。
(2)要找到街道m上到同侧A、C两个小区距离之和最短的点E，属于常见的最短路径问题：可利用轴对称的性质将同侧点转化为异侧点，作点C关于直线m的对称点C'，此时直线m上任意点到C和C'的距离相等，即CE=C'E，那么AE+CE=AE+C'E，再根据“两点之间线段最短”，连接AC'，AC'与直线m的交点即为所求的点E，此时距离和最小。
【解析】
(1)使用尺规作线段AB的垂直平分线，该垂直平分线与直线m的交点就是垃圾站点D的位置，此时点D到A、B的距离相等。
(2)先作点C关于直线m的对称点C'，连接AC'，线段AC'与直线m的交点就是鲜奶站E的位置，此时AE+CE=AE+C'E=AC'，根据两点之间线段最短，该位置E到A、C的距离之和最短。
【答案】
(1)如图①,作线段AB的垂直平分线,交直线m于点D,则点D即为所求.
(2)如图②,取点C关于直线m的对称点C',连接AC'交直线m于点E.此时AE+CE=AE+C'E=AC'为最小值,则点E即为所求.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题结合生活场景考查几何作图应用，解题关键是将实际需求对应到合适的几何模型，熟练运用相关性质确定点的位置，作图时要注意保留规范的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
