1.如图，已知$∠ AOB$，作射线$OC$平分$∠ AOB$，有以下三个步骤：①作射线$OC$；②以点$O$为圆心，适当长为半径画弧，交$OA$于点$M$，交$OB$于点$N$；③分别以点$M$，$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧在$∠ AOB$的内部交于点$C$.作法的合理顺序是.(填序号)

1. ②③①

【分析】
要确定角平分线作法的合理顺序，需结合尺规作角平分线的操作逻辑思考：首先要在角的两条边上截出等长的线段OM、ON，对应步骤②；接着通过画弧找到角内部到M、N两点距离相等的交点C，对应步骤③；最后连接点O和交点C，作出角平分线OC，对应步骤①，按照该操作逻辑即可排出正确顺序。
【解析】
根据角平分线的尺规作图规范步骤：
1. 第一步：以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，对应题干步骤②；
2. 第二步：分别以点M，N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧在$∠AOB$的内部交于点C，对应题干步骤③；
3. 第三步：作射线OC，此时OC就是$∠AOB$的角平分线，对应题干步骤①。
因此作法的合理顺序是②③①。
【答案】
②③①
【知识点】
角平分线的尺规作图
【点评】
本题属于基础题，考查角平分线尺规作图的操作流程，牢记作图的先后逻辑即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如图所示，通过判定三角形全等可说明$∠ BAD=∠ CAD$.则判定三角形全等的依据是（）

A.ASA
B.SAS
C.SSS
D.AAS

2. C

【分析】
解题时先回忆尺规作角平分线的步骤，明确每一步作图得到的相等线段：第一步以A为圆心画弧得到AE=AF，第二步分别以E、F为圆心、大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧得到FD=ED，再结合公共边AD，即可确定两个三角形的全等判定依据。
【解析】
根据尺规作角平分线的过程可知：
1. 以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F，因此$AE=AF$；
2. 分别以点E、F为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长度为半径画弧，两弧交于点D，因此$FD=ED$；
3. 又有公共边$AD=AD$。
在$△ AFD$和$△ AED$中，$\begin{cases} AF=AE \\ FD=ED \\ AD=AD \end{cases}$，因此$△ AFD ≌ △ AED$（SSS），所以对应角$∠ BAD=∠ CAD$，判定依据为SSS，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 尺规作角平分线 2. 全等三角形的判定
【点评】
本题考查角平分线尺规作图的原理，解题的关键是梳理清楚作图过程中得到的相等线段，再结合全等三角形的判定定理判断即可，是对基础作图原理的考查。
【难度系数】
0.9

3.如图，已知$△ ABC$，分别作$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线BD，CE.（保留作图痕迹，不写作法）

3. 解:如图,BD,CE即为所求.

【分析】
要完成本题作图，需结合角平分线的尺规作图方法思考：我们需要分别对∠ABC、∠ACB作角平分线，按照尺规作角平分线的标准步骤操作即可，作图过程中要注意保留所有作图痕迹，最终两条角平分线分别与三角形对边相交，得到要求的BD、CE。
【解析】
1. 作∠ABC的平分线：以B为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交BA、BC于两个交点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于一点，过B和该交点作射线交AC于点D，即得到∠ABC的平分线BD。
2. 用相同的方法作∠ACB的平分线，交AB于点E，即得到CE。
全程保留作图的弧线、交点痕迹即可。
【答案】
如图,BD,CE即为所求.
【知识点】
角平分线的作法；尺规作图
【点评】
本题是基础的尺规作图题，主要考查对角平分线尺规作图步骤的掌握，作图时要注意保留完整的作图痕迹，避免擦除过程中绘制的辅助弧线。
【难度系数】
0.9

4.如图所示的作图痕迹是（）

A.作线段的垂直平分线
B.过一点作已知直线的垂线
C.作一个角的平分线
D.作一个角等于已知角

4. B

【分析】
首先明确各选项对应的尺规作图的前提条件和痕迹特征，再结合题图已知元素判断：题图有已知直线l和直线外一点A，先排除需要已知角的角平分线作法、作一个角等于已知角的作法，再排除需要已知线段的线段垂直平分线作法，最后匹配过一点作已知直线的垂线的作图特征。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 作线段的垂直平分线的前提是存在已知线段，题图未给出已知线段，不符合要求，排除；
B. 过一点作已知直线的垂线：已知直线l和直线外一点A，作图痕迹符合该作法步骤：先以点A为圆心画弧，交直线l于两点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两点距离一半的长度为半径画弧，两弧交于直线l另一侧一点，连接点A与该交点即为所求垂线，符合题意；
C. 作一个角的平分线需要已知角作为作图基础，题图中没有已知角，不符合要求，排除；
D. 作一个角等于已知角需要先有已知角作为参照，题图无已知角，不符合要求，排除。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
尺规作图识别，垂线的尺规作法
【点评】
本题考查常见尺规作图的痕迹识别，解题核心是熟记各类尺规作图的操作步骤和对应特征，结合题目给出的已知元素即可快速判断，注意区分不同作图的前提条件。
【难度系数】
0.8

5.如图，已知点A，直线AB，BC，过点A作直线BC的垂线，并注明垂足为G；过点A作直线AB的垂线，交BC于点H.

5. 解:如图所示.

【分析】
本题包含两个垂线作图任务，解题时先明确作图要求：①过直线BC外的点A作BC的垂线，确定垂足G；②过直线AB上的点A作AB的垂线，交BC于H。作图时回忆垂线的尺规作法，区分点在直线上、点在直线外两种情况，按照尺规作图的规范步骤操作，保留作图痕迹即可。
【解析】
作图步骤如下：
1. 过点A作直线BC的垂线：
① 以点A为圆心，选取大于点A到BC距离的长度为半径画弧，与直线BC交于两个点；
② 分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧交于BC下方的一点；
③ 连接点A与该交点作直线，与直线BC的交点即为垂足G，直线AG就是BC的垂线。
2. 过点A作直线AB的垂线：
① 以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，与直线AB交于A点两侧的两个点；
② 分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距$\frac{1}{2}$的长度为半径画弧，两弧交于一点；
③ 连接点A与该交点作直线，与直线BC的交点即为H，直线AH就是AB的垂线。
【答案】
如图所示.
【知识点】
尺规作垂线、垂线的定义、基本作图
【点评】
本题是基础作图类题目，核心考查过点作已知直线垂线的尺规作图技能，作图时需注意保留作图痕迹，准确标注垂足和交点，掌握点在直线上、点在直线外两种不同位置下的垂线作法是解题关键。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ B=30°$.根据尺规作图痕迹,下列说法不正确的是（）

A.AD是$∠ BAC$的平分线
B.$∠ ADC=60°$
C.$AD=BD$
D.$S_{△ DAC}:S_{△ ABD}=1:3$

6. D

【分析】
解题时首先根据尺规作图的痕迹判断出AD是∠BAC的角平分线，再结合△ABC中∠C=90°、∠B=30°的条件，先求出∠BAC的度数，再依次推导各选项的结论是否正确，最终选出错误的选项。第一步先识别作图类型：角平分线的尺规作图特征是在角的两边取等长线段，再以线段端点为圆心画弧取交点，连线得角平分线，由此确定AD平分∠BAC；第二步利用直角三角形两锐角互余求角度，验证角度相关选项；第三步利用等角对等边判断线段关系；第四步利用同高三角形面积比等于底的比判断面积关系。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，
$\therefore ∠ BAC=180°-90°-30°=60°$。
由尺规作图痕迹可知，AD是$∠ BAC$的角平分线，故A选项正确，不符合题意；
$\therefore ∠ CAD=∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，
在$Rt△ ADC$中，$∠ C=90°$，$∠ CAD=30°$，
$\therefore ∠ ADC=90°-30°=60°$，故B选项正确，不符合题意；
$\because ∠ BAD=∠ B=30°$，
$\therefore AD=BD$（等角对等边），故C选项正确，不符合题意；
在$Rt△ ADC$中，$∠ CAD=30°$，
$\therefore AD=2CD$，又$AD=BD$，
$\therefore BD=2CD$，即$CD:BD=1:2$。
$△ DAC$和$△ ABD$同以AC为高，底分别为CD、BD，
$\therefore S_{△ DAC}:S_{△ ABD}=CD:BD=1:2≠1:3$，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的尺规作图；直角三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题考查尺规作图的识别与三角形相关性质的综合应用，需要逐一推导每个选项的结论，易错点是计算两个三角形面积比时容易误判底的比例关系。
【难度系数】
0.7

7.如图,已知$△ ABC$.
(1)尺规作图:
①作$∠ BAC$的平分线$AP$;
②作$BC$边的垂直平分线$MN$,交$BC$于点$D$,交$AP$于点$E$;
(2)过点$E$分别作$EG ⊥ AB$于点$G$,$EF ⊥ AC$的延长线于点$F$.求证:$BG=CF$.

7.(1)解:①②如图所示.
(2)证明:连接$EB,EC$. $\because AE$平分$∠ BAC,EG⊥ AB,EF⊥ AC,\therefore ∠ EAG=∠ EAF,∠ AGE=∠ AFE=90°$. 又$\because AE=AE$,$\therefore △ AGE≌ △ AFE(\mathrm{AAS})$. $\therefore EG=EF$. $\because MN$垂直平分线段$BC$,$\therefore EB=EC$. $\therefore \mathrm{Rt}△ EGB≌ \mathrm{Rt}△ EFC(\mathrm{HL})$. $\therefore BG=CF$.

【分析】
(1)尺规作图思路：①作角平分线可按照角平分线的标准尺规作图步骤操作：以A为圆心适当长度画弧交AB、AC于两点，再分别以两点为圆心、大于两点间距一半为半径画弧，两弧在∠BAC内部的交点与A连线即为角平分线AP；②作BC的垂直平分线：分别以B、C为圆心、大于$\frac{1}{2}$BC长为半径画弧，两弧在BC上下的交点连线即为垂直平分线MN，标记对应的交点D、E即可。
(2)证明思路：要证BG=CF，可通过证明两条边所在的直角三角形全等推导。首先点E在∠BAC的平分线上，结合EG⊥AB、EF⊥AC，可得到EG=EF；再由点E在BC的垂直平分线上，可得到EB=EC，此时即可通过“HL”判定Rt△EGB和Rt△EFC全等，进而得到对应边BG=CF。
【解析】
(1)尺规作图步骤：
①作∠BAC的平分线AP：
1. 以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AC于两个交点；
2. 分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离的$\frac{1}{2}$为半径画弧，两弧在∠BAC内部交于一点；
3. 过点A和该交点作射线AP，即为∠BAC的平分线。
②作BC的垂直平分线MN：
1. 分别以点B、C为圆心，大于$\frac{1}{2}$BC的长度为半径画弧，两弧在BC的上下两侧各有一个交点；
2. 过两个交点作直线MN，即为BC的垂直平分线，标记MN与BC的交点为D，与AP的交点为E。
(2)证明：连接$EB,EC$
$\because AE$平分$∠ BAC,EG⊥ AB,EF⊥ AC$
$\therefore ∠ EAG=∠ EAF,∠ AGE=∠ AFE=90°$
又$\because AE=AE$
$\therefore △ AGE≌ △ AFE(\mathrm{AAS})$
$\therefore EG=EF$
$\because MN$垂直平分线段$BC$
$\therefore EB=EC$
$\therefore \mathrm{Rt}△ EGB≌ \mathrm{Rt}△ EFC(\mathrm{HL})$
$\therefore BG=CF$
【答案】
(1)解:①②如图所示.
(2)证明:连接$EB,EC$. $\because AE$平分$∠ BAC,EG⊥ AB,EF⊥ AC,\therefore ∠ EAG=∠ EAF,∠ AGE=∠ AFE=90°$. 又$\because AE=AE$,$\therefore △ AGE≌ △ AFE(\mathrm{AAS})$. $\therefore EG=EF$. $\because MN$垂直平分线段$BC$,$\therefore EB=EC$. $\therefore \mathrm{Rt}△ EGB≌ \mathrm{Rt}△ EFC(\mathrm{HL})$. $\therefore BG=CF$.
【知识点】
1.尺规作图（角平分线、垂直平分线）
2.角平分线的性质
3.线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，既考察了基础尺规作图的操作能力，也考察了角平分线、垂直平分线性质的应用，以及通过全等三角形证明线段相等的基础逻辑推理能力，是巩固几何基础的典型习题。
【难度系数】
0.7