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5. 安全用电情境化为落实国家发展改革委办公厅,市场监管总局办公厅《关于规范电动自行车充电收费行为的通知》,某小区完成充电桩“商改民”线路改造,将原商业电价调整为居民合表电价,并推出两种合规套餐,引导居民安全、经济充电.
(1)分别写出两种套餐费用的函数表达式.
(充电量为x度,费用为y元)
(2)若用户充电2.5度,选择哪种套餐更经济?请说明理由.
(1)分别写出两种套餐费用的函数表达式.
(充电量为x度,费用为y元)
(2)若用户充电2.5度,选择哪种套餐更经济?请说明理由.
答案
(1)A 套餐费用的函数表达式为 $y_A=x$. 当 $0＜x≤1$ 时,$y_B=0$;当 $x＞1$ 时,$y_B=1.5(x-1)=1.5x-1.5$. 所以 B 套餐费用的函数表达式为 $y_B=\begin{cases} 0(0＜x≤1),\\1.5x-1.5(x＞1).\end{cases}$
(2)选择 B 套餐更经济. 理由如下:当 $x=2.5$ 时,$y_A=2.5$,$y_B=1.5×2.5-1.5=2.25$. 因为 $2.25＜2.5$,所以选择 B 套餐更经济.
(2)选择 B 套餐更经济. 理由如下:当 $x=2.5$ 时,$y_A=2.5$,$y_B=1.5×2.5-1.5=2.25$. 因为 $2.25＜2.5$,所以选择 B 套餐更经济.
解析
【分析】
(1) 写函数表达式需结合对应套餐的计费规则：A套餐单价固定为1元/度，费用=单价×充电量，直接列正比例函数即可；B套餐是分段计费，临界点为充电量1度：当充电量不超过1度时费用为0，当充电量超过1度时，仅超出部分按1.5元/度计费，因此分两种情况列出分段函数即可。
(2) 要判断充电2.5度时哪种套餐更经济，只需将x=2.5分别代入两个套餐的函数表达式，算出对应费用后比较大小，费用更低的套餐更划算。
【解析】
(1) 对于A套餐，充电单价为1元/度，因此费用与充电量x度的关系为：
$y_A = 1× x = x$
对于B套餐，分两种情况计算：
当$0＜x≤1$时，充电量不超过1度免收费用，故$y_B=0$；
当$x＞1$时，超出1度的部分为$(x-1)$度，这部分按1.5元/度计费，因此$y_B=1.5(x-1)=1.5x-1.5$。
综上，B套餐的函数表达式为$y_B=\begin{cases} 0(0＜x≤1)\\1.5x-1.5(x＞1)\end{cases}$。
(2) 当充电量$x=2.5$时：
代入A套餐表达式得$y_A=2.5$；
因为$2.5＞1$，代入B套餐第二段解析式得$y_B=1.5×2.5-1.5=2.25$。
由于$2.25＜2.5$，即相同充电量下B套餐费用更低，因此选择B套餐更经济。
【答案】
(1) A套餐：$y_A=x$；B套餐：$y_B=\begin{cases} 0(0＜x≤1)\\1.5x-1.5(x＞1)\end{cases}$
(2) 选择B套餐更经济。
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，方案决策
【点评】
本题以电动自行车充电收费的生活场景为载体，考查学生提取信息、建立函数模型解决实际问题的能力，解题的关键是准确理解计费规则列出对应函数，再通过计算比较选择最优方案，贴近生活实用性强。
【难度系数】
0.8
(1) 写函数表达式需结合对应套餐的计费规则：A套餐单价固定为1元/度，费用=单价×充电量，直接列正比例函数即可；B套餐是分段计费，临界点为充电量1度：当充电量不超过1度时费用为0，当充电量超过1度时，仅超出部分按1.5元/度计费，因此分两种情况列出分段函数即可。
(2) 要判断充电2.5度时哪种套餐更经济，只需将x=2.5分别代入两个套餐的函数表达式，算出对应费用后比较大小，费用更低的套餐更划算。
【解析】
(1) 对于A套餐，充电单价为1元/度，因此费用与充电量x度的关系为：
$y_A = 1× x = x$
对于B套餐，分两种情况计算：
当$0＜x≤1$时，充电量不超过1度免收费用，故$y_B=0$；
当$x＞1$时，超出1度的部分为$(x-1)$度，这部分按1.5元/度计费，因此$y_B=1.5(x-1)=1.5x-1.5$。
综上，B套餐的函数表达式为$y_B=\begin{cases} 0(0＜x≤1)\\1.5x-1.5(x＞1)\end{cases}$。
(2) 当充电量$x=2.5$时：
代入A套餐表达式得$y_A=2.5$；
因为$2.5＞1$，代入B套餐第二段解析式得$y_B=1.5×2.5-1.5=2.25$。
由于$2.25＜2.5$，即相同充电量下B套餐费用更低，因此选择B套餐更经济。
【答案】
(1) A套餐：$y_A=x$；B套餐：$y_B=\begin{cases} 0(0＜x≤1)\\1.5x-1.5(x＞1)\end{cases}$
(2) 选择B套餐更经济。
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，方案决策
【点评】
本题以电动自行车充电收费的生活场景为载体，考查学生提取信息、建立函数模型解决实际问题的能力，解题的关键是准确理解计费规则列出对应函数，再通过计算比较选择最优方案，贴近生活实用性强。
【难度系数】
0.8
6.共享电动车是一种新理念下的交通工具,主要面向3 km~10 km的出行市场.现有A,B两种品牌的共享电动车,收费y(元)与骑行时间x(min)之间的对应关系如图所示,其中A品牌的收费方式对应$y_1$,B品牌的收费方式对应$y_2$,小明求出$y_1(x≥10)$与x之间的函数解析式是$y_1=0.2x+4$,请根据相关信息,解答下列问题:
(1)求$y_2$关于x的函数解析式.
(2)如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去公司,已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为0.3 km/min,小明家到公司的距离为9 km,那么小明选择
(3)当x为何值时,两种品牌共享电动车收费相差4元?请写出过程.
(1)求$y_2$关于x的函数解析式.
(2)如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去公司,已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为0.3 km/min,小明家到公司的距离为9 km,那么小明选择
A
品牌共享电动车更省钱.(填“A”或“B”)(3)当x为何值时,两种品牌共享电动车收费相差4元?请写出过程.
答案
(1)B 品牌共享电动车每分钟收费 $8÷20=0.4$(元),所以 $y_2$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y_2=0.4x$.
(2)A
(3)当 $0≤ x≤10$ 时,$|y_1-y_2|=4$,即 $6-0.4x=4$,解得 $x=5$;当 $x＞10$ 时,$|y_1-y_2|=4$,即$|0.2x+4-0.4x|=4$,解得 $x=0$(舍去)或 $x=40$. 所以当 $x$ 为 5 或 40 时,两种品牌共享电动车收费相差 4 元.
(2)A
(3)当 $0≤ x≤10$ 时,$|y_1-y_2|=4$,即 $6-0.4x=4$,解得 $x=5$;当 $x＞10$ 时,$|y_1-y_2|=4$,即$|0.2x+4-0.4x|=4$,解得 $x=0$(舍去)或 $x=40$. 所以当 $x$ 为 5 或 40 时,两种品牌共享电动车收费相差 4 元.
解析
【分析】
(1)观察图像可知$y_2$是过原点的正比例函数，且经过点$(20,8)$，可采用待定系数法，设解析式为$y_2=kx$，代入点的坐标即可求出$k$值，得到$y_2$的解析式。
(2)先根据“时间=路程÷速度”算出小明的骑行时间，再分别代入两个品牌的收费解析式计算费用，比较大小即可得出更省钱的品牌。
(3)收费相差4元即$|y_1-y_2|=4$，注意$y_1$是分段函数：$0≤x≤10$时$y_1=6$，$x＞10$时$y_1=0.2x+4$，因此分两种情况列方程求解，最后验证解是否符合对应取值范围，舍去不符合的解。
【解析】
(1)设$y_2$关于$x$的函数解析式为$y_2=kx(k≠0)$，
由图可知$y_2$的图象过点$(20,8)$，将$x=20,y=8$代入得：
$8=20k$，解得$k=0.4$，
因此$y_2$关于$x$的函数解析式为$y_2=0.4x(x≥0)$。
(2)首先计算小明的骑行时间：
路程为9km，速度为0.3km/min，所以时间$x=9÷0.3=30(\mathrm{min})$。
分别计算两个品牌的收费：
A品牌：$x=30＞10$，代入$y_1=0.2x+4$，得$y_1=0.2×30+4=10$（元）；
B品牌：代入$y_2=0.4x$，得$y_2=0.4×30=12$（元）。
因为$10＜12$，所以选择A品牌更省钱。
(3)分两种情况讨论：
①当$0≤x≤10$时，$y_1=6$，由收费相差4元得：
$6-0.4x=4$（此时$0.4x≤4$，$6＞0.4x$，绝对值可直接去掉），
解得$x=5$，符合$0≤x≤10$的取值范围；
②当$x＞10$时，$y_1=0.2x+4$，由收费相差4元得：
$|0.2x+4 - 0.4x|=4$，即$|4-0.2x|=4$，
则有$4-0.2x=4$或$4-0.2x=-4$，
解得$x=0$（不符合$x＞10$，舍去）或$x=40$，符合取值范围。
综上，$x$为5或40时，两种品牌收费相差4元。
【答案】
(1)$y_2=0.4x$
(2)A
(3)当$x$为$5$或$40$时，两种品牌共享电动车收费相差4元。
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，分段函数分类讨论
【点评】
本题结合共享电动车收费的生活场景，考查一次函数在方案决策问题中的应用，解题时要注意分段函数的取值范围，分类讨论时需验证解是否符合对应区间的要求，避免出现多解、漏解的错误。
【难度系数】
0.7
(1)观察图像可知$y_2$是过原点的正比例函数，且经过点$(20,8)$，可采用待定系数法，设解析式为$y_2=kx$，代入点的坐标即可求出$k$值，得到$y_2$的解析式。
(2)先根据“时间=路程÷速度”算出小明的骑行时间，再分别代入两个品牌的收费解析式计算费用，比较大小即可得出更省钱的品牌。
(3)收费相差4元即$|y_1-y_2|=4$，注意$y_1$是分段函数：$0≤x≤10$时$y_1=6$，$x＞10$时$y_1=0.2x+4$，因此分两种情况列方程求解，最后验证解是否符合对应取值范围，舍去不符合的解。
【解析】
(1)设$y_2$关于$x$的函数解析式为$y_2=kx(k≠0)$，
由图可知$y_2$的图象过点$(20,8)$，将$x=20,y=8$代入得：
$8=20k$，解得$k=0.4$，
因此$y_2$关于$x$的函数解析式为$y_2=0.4x(x≥0)$。
(2)首先计算小明的骑行时间：
路程为9km，速度为0.3km/min，所以时间$x=9÷0.3=30(\mathrm{min})$。
分别计算两个品牌的收费：
A品牌：$x=30＞10$，代入$y_1=0.2x+4$，得$y_1=0.2×30+4=10$（元）；
B品牌：代入$y_2=0.4x$，得$y_2=0.4×30=12$（元）。
因为$10＜12$，所以选择A品牌更省钱。
(3)分两种情况讨论：
①当$0≤x≤10$时，$y_1=6$，由收费相差4元得：
$6-0.4x=4$（此时$0.4x≤4$，$6＞0.4x$，绝对值可直接去掉），
解得$x=5$，符合$0≤x≤10$的取值范围；
②当$x＞10$时，$y_1=0.2x+4$，由收费相差4元得：
$|0.2x+4 - 0.4x|=4$，即$|4-0.2x|=4$，
则有$4-0.2x=4$或$4-0.2x=-4$，
解得$x=0$（不符合$x＞10$，舍去）或$x=40$，符合取值范围。
综上，$x$为5或40时，两种品牌收费相差4元。
【答案】
(1)$y_2=0.4x$
(2)A
(3)当$x$为$5$或$40$时，两种品牌共享电动车收费相差4元。
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，分段函数分类讨论
【点评】
本题结合共享电动车收费的生活场景，考查一次函数在方案决策问题中的应用，解题时要注意分段函数的取值范围，分类讨论时需验证解是否符合对应区间的要求，避免出现多解、漏解的错误。
【难度系数】
0.7
