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1.某天,甲车间工人加工零件,工作中有一次停产检修机器,然后以原来的工作效率继续加工,由于任务紧急,乙车间加入与甲车间一起加工零件,两车间各自加工零件的数量y(个)与甲车间加工时间t(h)之间的函数关系图象如图所示.
(1)甲车间每小时加工
(2)求乙车间加工零件的数量y(个)与时间t(h)之间的函数关系式;
(3)当甲、乙两车间加工零件的总数量为320个时,t的值为
(1)甲车间每小时加工
40
个零件,a的值为280
;(2)求乙车间加工零件的数量y(个)与时间t(h)之间的函数关系式;
(3)当甲、乙两车间加工零件的总数量为320个时,t的值为
6
.答案
1.解:(1)40 280 (2)设乙车间加工零件的数量y(个)与时间 t(h)之间的函数关系式为 y=kt+b.将(5,0),(8,360)分别代入,得$\begin{cases}5k+b=0,\\8k+b=360,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=120,\\b=-600.\end{cases}$所以乙车间加工零件的数量 y(个)与时间 t(h)之间的函数关系式为 y=120t-600(5≤t≤8). (3)6
解析
【分析】
(1)求甲的工作效率时，观察图像可知甲前3小时加工120个零件，用总加工量除以对应时间即可得到每小时加工量；求a的值时，先明确甲在3~4h停产1小时，甲总加工时长8h，实际工作时长为总时长减去停产时长，再乘工作效率即可得到甲8小时的加工总量a。
(2)乙的加工数量和时间的关系是一次函数，图像过(5,0)和(8,360)两点，用待定系数法设解析式为y=kt+b，代入两点坐标解方程组即可，注意标注自变量t的取值范围。
(3)求总数量为320个对应的t值时，先分段判断：t＜5时乙还未开始加工，仅甲加工的最大数量小于320，因此t一定在5~8之间，此时总数量为甲加工量加乙加工量，列方程求解即可。
【解析】
(1)甲前3小时加工零件120个，每小时加工零件个数为：$120÷3=40$（个）；
甲在3~4h停产检修1小时，8小时内实际工作时间为$8-1=7$（h），因此$a=40×7=280$。
(2)设乙车间加工零件的数量y与时间t的函数关系式为$y=kt+b$（$k≠0$），
由图像可知函数过点$(5,0)$和$(8,360)$，代入得：
$\begin{cases}5k+b=0\\8k+b=360\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$3k=360$，解得$k=120$，
将$k=120$代入$5k+b=0$，得$600+b=0$，解得$b=-600$，
结合乙的工作时间，t的取值范围是$5≤ t≤8$，
因此乙的函数关系式为$y=120t-600(5≤ t≤8)$。
(3)先判断t的范围：
当$0≤ t≤4$时，甲加工零件最多为120个，远小于320；
当$4＜ t＜5$时，甲的加工量为$120+40(t-4)=40t-40$，t=5时甲仅加工160个，仍小于320，因此总数量为320时$t≥5$。
此时总数量=甲的加工量+乙的加工量，甲的加工量为$40(t-1)$（减去1小时停产时间），列方程：
$40(t-1)+(120t-600)=320$
展开得：$40t-40+120t-600=320$
合并同类项得：$160t=960$
解得$t=6$，符合$5≤ t≤8$的范围。
【答案】
(1)$40$，$280$；(2)$y=120t-600(5≤ t≤8)$；(3)$6$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，函数图像信息提取
【点评】
本题结合生产实际考查一次函数的相关知识，需要学生准确从函数图像中获取工作时间、工作总量等信息，分段梳理数量关系，解题时要注意自变量的取值范围，避免因忽略范围出错。
【难度系数】
0.7
(1)求甲的工作效率时，观察图像可知甲前3小时加工120个零件，用总加工量除以对应时间即可得到每小时加工量；求a的值时，先明确甲在3~4h停产1小时，甲总加工时长8h，实际工作时长为总时长减去停产时长，再乘工作效率即可得到甲8小时的加工总量a。
(2)乙的加工数量和时间的关系是一次函数，图像过(5,0)和(8,360)两点，用待定系数法设解析式为y=kt+b，代入两点坐标解方程组即可，注意标注自变量t的取值范围。
(3)求总数量为320个对应的t值时，先分段判断：t＜5时乙还未开始加工，仅甲加工的最大数量小于320，因此t一定在5~8之间，此时总数量为甲加工量加乙加工量，列方程求解即可。
【解析】
(1)甲前3小时加工零件120个，每小时加工零件个数为：$120÷3=40$（个）；
甲在3~4h停产检修1小时，8小时内实际工作时间为$8-1=7$（h），因此$a=40×7=280$。
(2)设乙车间加工零件的数量y与时间t的函数关系式为$y=kt+b$（$k≠0$），
由图像可知函数过点$(5,0)$和$(8,360)$，代入得：
$\begin{cases}5k+b=0\\8k+b=360\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$3k=360$，解得$k=120$，
将$k=120$代入$5k+b=0$，得$600+b=0$，解得$b=-600$，
结合乙的工作时间，t的取值范围是$5≤ t≤8$，
因此乙的函数关系式为$y=120t-600(5≤ t≤8)$。
(3)先判断t的范围：
当$0≤ t≤4$时，甲加工零件最多为120个，远小于320；
当$4＜ t＜5$时，甲的加工量为$120+40(t-4)=40t-40$，t=5时甲仅加工160个，仍小于320，因此总数量为320时$t≥5$。
此时总数量=甲的加工量+乙的加工量，甲的加工量为$40(t-1)$（减去1小时停产时间），列方程：
$40(t-1)+(120t-600)=320$
展开得：$40t-40+120t-600=320$
合并同类项得：$160t=960$
解得$t=6$，符合$5≤ t≤8$的范围。
【答案】
(1)$40$，$280$；(2)$y=120t-600(5≤ t≤8)$；(3)$6$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，函数图像信息提取
【点评】
本题结合生产实际考查一次函数的相关知识，需要学生准确从函数图像中获取工作时间、工作总量等信息，分段梳理数量关系，解题时要注意自变量的取值范围，避免因忽略范围出错。
【难度系数】
0.7
2.(2024－2025·宿州埇桥区期中)已知A,B两地相距225 km,甲、乙两车都从A地出发,沿同一条高速公路前往B地,甲比乙早出发1 h,如图,$l_1$,$l_2$分别表示甲、乙两车离A地的距离 y(km)与乙车行驶时间 x(h)之间的关系.根据图象提供的信息,解答下列问题:
(1)$l_2$表示
(2)求乙车追上甲车时,乙车行驶了多长时间.
(1)$l_2$表示
乙
(填“甲”或“乙”)车离A地的距离与乙车行驶时间之间的关系;分别求出 $l_1,l_2$ 对应的函数表达式;(2)求乙车追上甲车时,乙车行驶了多长时间.
答案
2.解:(1)乙 设直线 $l_1$ 的函数表达式为 $y=kx+b$. 把(0,60),(1,120)代入,得$\begin{cases}b=60,\\k+b=120,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=60,\\b=60.\end{cases}$所以直线 $l_1$ 的函数表达式为 $y=60x+60$. 设直线 $l_2$ 的函数表达式为 $y=k'x$. 把(1,90)代入,得 $k'=90$. 所以直线 $l_2$ 的函数表达式为 $y=90x$.
(2)由题意,得 60x+60=90x,解得 x=2. 所以乙车追上甲车时,乙车行驶了 2 h.
(2)由题意,得 60x+60=90x,解得 x=2. 所以乙车追上甲车时,乙车行驶了 2 h.
解析
【分析】
第(1)问：首先明确x代表乙车行驶时间，乙车出发时x=0，此时乙车距离A地的距离为0，对应图象中过原点的$l_2$，因此可判断$l_2$对应乙车。求一次函数解析式使用待定系数法：$l_1$是普通一次函数，找到图象上的已知点$(0,60)$和$(1,120)$，代入$y=kx+b$求解系数即可；$l_2$是过原点的正比例函数，找到点$(1,90)$代入$y=k'x$即可求出系数。
第(2)问：乙车追上甲车时，两车离A地的距离相等，即两个函数的y值相等，联立两个函数表达式得到一元一次方程，解出的x就是乙车行驶的时间。
【解析】
(1) 因为x为乙车行驶时间，乙出发时x=0，此时乙距A地距离为0，对应$l_2$过原点，因此$l_2$表示乙车离A地的距离与乙车行驶时间之间的关系。
①求$l_1$的函数表达式：
设$l_1$的函数表达式为$y=kx+b$，将点$(0,60)$、$(1,120)$代入得：
$\begin{cases}b=60\\k+b=120\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=60\\b=60\end{cases}$
因此$l_1$的函数表达式为$y=60x+60$。
②求$l_2$的函数表达式：
设$l_2$的函数表达式为$y=k'x$，将点$(1,90)$代入得：
$k'=90$
因此$l_2$的函数表达式为$y=90x$。
(2) 乙车追上甲车时两车离A地的距离相等，列方程得：
$60x+60=90x$
解得$x=2$。
【答案】
(1) 乙；$l_1$的函数表达式为$y=60x+60$，$l_2$的函数表达式为$y=90x$
(2) 2 h
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数实际应用，一次函数与一元一次方程
【点评】
本题是一次函数在行程问题中的典型应用，解题核心是读懂图象横纵坐标的实际意义，准确提取图象上的坐标点，熟练运用待定系数法求解函数解析式，同时理解两车相遇对应函数值相等的实际含义，属于一次函数的常规考法。
【难度系数】
0.7
第(1)问：首先明确x代表乙车行驶时间，乙车出发时x=0，此时乙车距离A地的距离为0，对应图象中过原点的$l_2$，因此可判断$l_2$对应乙车。求一次函数解析式使用待定系数法：$l_1$是普通一次函数，找到图象上的已知点$(0,60)$和$(1,120)$，代入$y=kx+b$求解系数即可；$l_2$是过原点的正比例函数，找到点$(1,90)$代入$y=k'x$即可求出系数。
第(2)问：乙车追上甲车时，两车离A地的距离相等，即两个函数的y值相等，联立两个函数表达式得到一元一次方程，解出的x就是乙车行驶的时间。
【解析】
(1) 因为x为乙车行驶时间，乙出发时x=0，此时乙距A地距离为0，对应$l_2$过原点，因此$l_2$表示乙车离A地的距离与乙车行驶时间之间的关系。
①求$l_1$的函数表达式：
设$l_1$的函数表达式为$y=kx+b$，将点$(0,60)$、$(1,120)$代入得：
$\begin{cases}b=60\\k+b=120\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=60\\b=60\end{cases}$
因此$l_1$的函数表达式为$y=60x+60$。
②求$l_2$的函数表达式：
设$l_2$的函数表达式为$y=k'x$，将点$(1,90)$代入得：
$k'=90$
因此$l_2$的函数表达式为$y=90x$。
(2) 乙车追上甲车时两车离A地的距离相等，列方程得：
$60x+60=90x$
解得$x=2$。
【答案】
(1) 乙；$l_1$的函数表达式为$y=60x+60$，$l_2$的函数表达式为$y=90x$
(2) 2 h
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数实际应用，一次函数与一元一次方程
【点评】
本题是一次函数在行程问题中的典型应用，解题核心是读懂图象横纵坐标的实际意义，准确提取图象上的坐标点，熟练运用待定系数法求解函数解析式，同时理解两车相遇对应函数值相等的实际含义，属于一次函数的常规考法。
【难度系数】
0.7
3.(2024·无锡中考)大运河畔有一条笔直的健身步道，小明、小亮分别从相距1 500 m的M，N两点同时出发，相向而行.两人离点M的距离s(m)关于时间t(min)的函数关系如图中折线所示.小明跑了一段路之后与小亮相距250 m，休息1 min之后与小亮相距400 m，小明继续跑了4 min后与小亮同时到达各自终点.
(1)a的值为
(2)求图中线段BC所对应的函数表达式；
(3)求小明、小亮相遇的时间.
(1)a的值为
10
;(2)求图中线段BC所对应的函数表达式；
(3)求小明、小亮相遇的时间.
答案
3.解:(1)10 (2)因为 10-4=6(min),6 min 时小亮与点 N 的距离为 150×6=900(m),则此时小明与点 M 的距离为 1 500-900+400=1 000(m).所以 B(6,1 000).设线段 BC 所对应的函数表达式为 s=kt+b. 将 B(6,1 000),C(10,1 500)分别代入,得$\begin{cases}6k+b=1\ 000,\\10k+b=1\ 500,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=125,\\b=250.\end{cases}$所以线段 BC 所对应的函数表达式为 s=125t+250(6≤t≤10). (3)由题意,得 A(5,1 000).所以小明的速度为 1 000÷5=200(m/min),1 500÷(200+150)=$\frac{30}{7}$(min).答:小明、小亮相遇的时间为$\frac{30}{7}$ min.
解析
【分析】
(1) 首先明确小亮做匀速运动，小明休息1min时两人距离从250m变为400m，这段时间小明静止，距离增加量就是小亮1min走的路程，即可求出小亮速度，再结合小亮全程1500m，就能算出总时间a。
(2) 求线段BC的函数表达式，需先确定B、C两点坐标：C点坐标由a=10可得为(10,1500)；BC段时长4min，因此B点的时间为10-4=6min，再结合6min时小亮的位置和两人相距400m的条件，算出B点对应的s值，得到B点坐标，最后用待定系数法求解即可。
(3) 相遇时两人离M点的距离相等，先求出小明休息前的速度和小亮的s关于t的函数表达式，令两者相等解方程即可得到相遇时间。
【解析】
(1) 小明休息1min的过程中，两人距离从250m增加到400m，由于小明静止，因此小亮1min走的路程为$400-250=150(\mathrm{m})$，即小亮的速度为$150\ \mathrm{m/min}$。
小亮走完全程1500m的时间$a=1500÷150=10$。
(2) 由$a=10$得点C的坐标为$(10,1500)$。
已知小明休息后继续跑4min到达终点，因此点B对应的时间为$10-4=6(\mathrm{min})$。
6min时小亮走的路程为$150×6=900(\mathrm{m})$，此时小亮离M点的距离为$1500-900=600(\mathrm{m})$。
此时两人相距400m，且小明在小亮朝向N点的一侧，因此小明离M点的距离为$600+400=1000(\mathrm{m})$，即B点坐标为$(6,1000)$。
设线段BC对应的函数表达式为$s=kt+b$，将$B(6,1000)$、$C(10,1500)$代入得：
$\begin{cases}6k+b=1000\\10k+b=1500\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=125\\b=250\end{cases}$
因此线段BC对应的函数表达式为$s=125t+250\ (6≤ t≤10)$。
(3) 小明休息时长为1min，因此休息前的点A对应的时间为$6-1=5(\mathrm{min})$，A点坐标为$(5,1000)$。
小明休息前的速度为$1000÷5=200(\mathrm{m/min})$，因此小明休息前离M点的距离的函数表达式为$s=200t$。
小亮离M点的距离的函数表达式为$s=1500-150t$。
两人相遇时离M点的距离相等，因此有$200t=1500-150t$，
解得$t=\frac{30}{7}$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $\boxed{s=125t+250\ (6≤ t≤10)}$
(3) $\boxed{\frac{30}{7}\ \mathrm{min}}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；行程问题
【点评】
本题结合s-t图像考查一次函数在行程问题中的应用，解题的关键是准确理解图像中各线段、各点的实际意义，结合路程、速度、时间的关系提取有效信息，注意分段函数的时间区间对应关系。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确小亮做匀速运动，小明休息1min时两人距离从250m变为400m，这段时间小明静止，距离增加量就是小亮1min走的路程，即可求出小亮速度，再结合小亮全程1500m，就能算出总时间a。
(2) 求线段BC的函数表达式，需先确定B、C两点坐标：C点坐标由a=10可得为(10,1500)；BC段时长4min，因此B点的时间为10-4=6min，再结合6min时小亮的位置和两人相距400m的条件，算出B点对应的s值，得到B点坐标，最后用待定系数法求解即可。
(3) 相遇时两人离M点的距离相等，先求出小明休息前的速度和小亮的s关于t的函数表达式，令两者相等解方程即可得到相遇时间。
【解析】
(1) 小明休息1min的过程中，两人距离从250m增加到400m，由于小明静止，因此小亮1min走的路程为$400-250=150(\mathrm{m})$，即小亮的速度为$150\ \mathrm{m/min}$。
小亮走完全程1500m的时间$a=1500÷150=10$。
(2) 由$a=10$得点C的坐标为$(10,1500)$。
已知小明休息后继续跑4min到达终点，因此点B对应的时间为$10-4=6(\mathrm{min})$。
6min时小亮走的路程为$150×6=900(\mathrm{m})$，此时小亮离M点的距离为$1500-900=600(\mathrm{m})$。
此时两人相距400m，且小明在小亮朝向N点的一侧，因此小明离M点的距离为$600+400=1000(\mathrm{m})$，即B点坐标为$(6,1000)$。
设线段BC对应的函数表达式为$s=kt+b$，将$B(6,1000)$、$C(10,1500)$代入得：
$\begin{cases}6k+b=1000\\10k+b=1500\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=125\\b=250\end{cases}$
因此线段BC对应的函数表达式为$s=125t+250\ (6≤ t≤10)$。
(3) 小明休息时长为1min，因此休息前的点A对应的时间为$6-1=5(\mathrm{min})$，A点坐标为$(5,1000)$。
小明休息前的速度为$1000÷5=200(\mathrm{m/min})$，因此小明休息前离M点的距离的函数表达式为$s=200t$。
小亮离M点的距离的函数表达式为$s=1500-150t$。
两人相遇时离M点的距离相等，因此有$200t=1500-150t$，
解得$t=\frac{30}{7}$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $\boxed{s=125t+250\ (6≤ t≤10)}$
(3) $\boxed{\frac{30}{7}\ \mathrm{min}}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；行程问题
【点评】
本题结合s-t图像考查一次函数在行程问题中的应用，解题的关键是准确理解图像中各线段、各点的实际意义，结合路程、速度、时间的关系提取有效信息，注意分段函数的时间区间对应关系。
【难度系数】
0.6
