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4.(2024－2025·亳州谯城区期末)如图①,已知学校在小明家和新华书店之间,小明步行从家出发经过学校匀速前往新华书店,小明步行时离学校的距离 y(m)与行走时间 x(min)之间的函数关系的图象如图②所示.
(1)小明家到学校的距离为
(2)求线段 BC 所对应的 y 与 x 之间的函数表达式;
(3)经过多少分钟,小明距离学校 100 m?
(1)小明家到学校的距离为
240
m,图中a的值是18
;(2)求线段 BC 所对应的 y 与 x 之间的函数表达式;
(3)经过多少分钟,小明距离学校 100 m?
答案
4.解:(1)240 18 (2)设线段 BC 所对应的 y 与 x 之间的函数表达式为 y=kx+b. 将 B(6,0),C(18,480)分别代入,得$\begin{cases}6k+b=0,\\18k+b=480,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=40,\\b=-240.\end{cases}$所以线段 BC 所对应的 y 与 x 之间的函数表达式为 y=40x-240(6≤x≤18). (3)当 0≤x＜6 时,240-40x=100,解得 x=3.5. 当 6≤x≤18 时,40x-240=100,解得 x=8.5. 答:经过 3.5 min 或 8.5 min,小明距离学校 100 m.
解析
【分析】
解决本题首先要明确函数图像的实际意义：横坐标x表示小明的行走时间，纵坐标y表示小明离学校的距离。
1. 第一问：x=0时小明还在家，此时y的值就是小明家到学校的距离；先根据前6分钟走240m算出步行速度，再计算走学校到新华书店的480m所需时间，加上前6分钟即可得到a的值。
2. 第二问：求一次函数解析式使用待定系数法，已知线段BC过B(6,0)和C(18,480)两点，将两点坐标代入y=kx+b解方程组即可得到解析式，注意标注自变量的取值范围。
3. 第三问：小明距离学校100m分两种情况：①还未走到学校（0≤x＜6），此时离学校的距离=家到学校的距离-已走路程，列方程求解；②已经走过学校前往新华书店（6≤x≤18），直接代入BC段的函数解析式列方程求解，最后综合两种情况得到结果。
【解析】
(1) 当x=0时，y=240，即小明家到学校的距离为240m；
小明步行速度为$240÷6=40(\mathrm{m/min})$，学校到新华书店距离为480m，走这段路程所需时间为$480÷40=12(\mathrm{min})$，因此$a=6+12=18$。
(2) 设线段BC对应的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$B(6,0)$、$C(18,480)$代入得：
$\begin{cases}6k+b=0\\18k+b=480\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=40\\b=-240\end{cases}$
因此线段BC的函数表达式为$y=40x-240(6≤ x≤18)$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$0≤ x＜6$时，小明未到达学校，列方程得$240-40x=100$，解得$x=3.5$；
② 当$6≤ x≤18$时，小明已过学校前往书店，列方程得$40x-240=100$，解得$x=8.5$。
【答案】
(1)$240$；$18$
(2)$y=40x-240(6≤ x≤18)$
(3)经过$\boldsymbol{3.5\ \mathrm{min}}$或$\boldsymbol{8.5\ \mathrm{min}}$时，小明距离学校100m
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，分段讨论
【点评】
本题是一次函数与行程问题结合的常考题型，解题核心是读懂函数图像上特殊点、线段的实际含义，第三问要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确函数图像的实际意义：横坐标x表示小明的行走时间，纵坐标y表示小明离学校的距离。
1. 第一问：x=0时小明还在家，此时y的值就是小明家到学校的距离；先根据前6分钟走240m算出步行速度，再计算走学校到新华书店的480m所需时间，加上前6分钟即可得到a的值。
2. 第二问：求一次函数解析式使用待定系数法，已知线段BC过B(6,0)和C(18,480)两点，将两点坐标代入y=kx+b解方程组即可得到解析式，注意标注自变量的取值范围。
3. 第三问：小明距离学校100m分两种情况：①还未走到学校（0≤x＜6），此时离学校的距离=家到学校的距离-已走路程，列方程求解；②已经走过学校前往新华书店（6≤x≤18），直接代入BC段的函数解析式列方程求解，最后综合两种情况得到结果。
【解析】
(1) 当x=0时，y=240，即小明家到学校的距离为240m；
小明步行速度为$240÷6=40(\mathrm{m/min})$，学校到新华书店距离为480m，走这段路程所需时间为$480÷40=12(\mathrm{min})$，因此$a=6+12=18$。
(2) 设线段BC对应的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$B(6,0)$、$C(18,480)$代入得：
$\begin{cases}6k+b=0\\18k+b=480\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=40\\b=-240\end{cases}$
因此线段BC的函数表达式为$y=40x-240(6≤ x≤18)$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$0≤ x＜6$时，小明未到达学校，列方程得$240-40x=100$，解得$x=3.5$；
② 当$6≤ x≤18$时，小明已过学校前往书店，列方程得$40x-240=100$，解得$x=8.5$。
【答案】
(1)$240$；$18$
(2)$y=40x-240(6≤ x≤18)$
(3)经过$\boldsymbol{3.5\ \mathrm{min}}$或$\boldsymbol{8.5\ \mathrm{min}}$时，小明距离学校100m
【知识点】
一次函数的实际应用，待定系数法求解析式，分段讨论
【点评】
本题是一次函数与行程问题结合的常考题型，解题核心是读懂函数图像上特殊点、线段的实际含义，第三问要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
5.(2024－2025·六安金安区期末)某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划.
(1)“读书节”之前小明发现:购买5本A图书和8本B图书共花费335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花费120元，求A,B图书的标价.
(2)“读书节”期间书店计划购进A,B两类图书共200本，且A图书不少于40本，不多于60本，A,B两种图书每本的进价分别为20元、18元.销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，那么书店如何进货才能使利润最大？最大利润是多少？
(1)“读书节”之前小明发现:购买5本A图书和8本B图书共花费335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花费120元，求A,B图书的标价.
(2)“读书节”期间书店计划购进A,B两类图书共200本，且A图书不少于40本，不多于60本，A,B两种图书每本的进价分别为20元、18元.销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，那么书店如何进货才能使利润最大？最大利润是多少？
答案
5.解:(1)设 A 图书的标价为 x 元/本,B 图书的标价为 y 元/本.由题意,得$\begin{cases}5x+8y=335,\\10x-6y=120,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=27,\\y=25.\end{cases}$答:A 图书的标价为 27 元/本,B 图书的标价为 25 元/本.(2)设购进 A 图书 a 本,B 图书(200-a)本,利润为 w 元.根据题意,得 w=(27-20-1.5)a+(25-18)(200-a)=-1.5a+1 400.因为-1.5＜0,所以 w 随 a 的增大而减小.因为 40≤a≤60,所以当 a=40 时,w 取最大值,最大值为-1.5×40+1 400=1 340,此时 200-a=160.所以购进 A 图书 40 本,B 图书 160 本才能使利润最大,最大利润是 1 340 元.
解析
【分析】
（1）第一问为二元一次方程组的实际应用，先设A、B图书的标价分别为x元/本、y元/本，从题干提取两个等量关系：①5本A图书费用+8本B图书费用=335元；②10本A图书费用-6本B图书费用=120元，据此列方程组求解即可得到两种图书的标价。
（2）第二问为一次函数的最值应用，先设购进A图书a本，总利润为w元，则B图书购进(200-a)本，根据“总利润=单本利润×销售数量”列出w关于a的一次函数解析式，结合a的取值范围和一次函数的增减性，即可求出最大利润对应的进货方案。
【解析】
(1)设A图书的标价为x元/本，B图书的标价为y元/本。
由题意得：
$\begin{cases}5x+8y=335\\10x-6y=120\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得$10x+16y=670$，减去第二个方程得：
$22y=550$，解得$y=25$
把$y=25$代入$10x-6y=120$，得$10x=270$，解得$x=27$
即方程组的解为$\begin{cases}x=27\\y=25\end{cases}$
(2)设购进A图书a本，购进B图书(200-a)本，总利润为w元。
由题意得：
$w=(27-20-1.5)a+(25-18)(200-a)$
化简得$w=-1.5a+1400$
$\because -1.5＜0$，$\therefore w$随$a$的增大而减小
又$\because 40≤a≤60$
$\therefore$当$a=40$时，$w$取最大值
最大值为$-1.5×40+1400=1340$
此时$200-a=160$
【答案】
(1)A图书的标价为27元/本，B图书的标价为25元/本；
(2)购进A图书40本，B图书160本时利润最大，最大利润是1340元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一次函数的应用；一次函数的性质
【点评】
本题是方程与一次函数结合的常规实际应用题，既考查了从题干提取等量关系列方程、写函数解析式的能力，也考查了一次函数增减性的应用，解题时要注意自变量的取值范围需符合实际要求。
【难度系数】
0.7
（1）第一问为二元一次方程组的实际应用，先设A、B图书的标价分别为x元/本、y元/本，从题干提取两个等量关系：①5本A图书费用+8本B图书费用=335元；②10本A图书费用-6本B图书费用=120元，据此列方程组求解即可得到两种图书的标价。
（2）第二问为一次函数的最值应用，先设购进A图书a本，总利润为w元，则B图书购进(200-a)本，根据“总利润=单本利润×销售数量”列出w关于a的一次函数解析式，结合a的取值范围和一次函数的增减性，即可求出最大利润对应的进货方案。
【解析】
(1)设A图书的标价为x元/本，B图书的标价为y元/本。
由题意得：
$\begin{cases}5x+8y=335\\10x-6y=120\end{cases}$
将第一个方程两边同乘2得$10x+16y=670$，减去第二个方程得：
$22y=550$，解得$y=25$
把$y=25$代入$10x-6y=120$，得$10x=270$，解得$x=27$
即方程组的解为$\begin{cases}x=27\\y=25\end{cases}$
(2)设购进A图书a本，购进B图书(200-a)本，总利润为w元。
由题意得：
$w=(27-20-1.5)a+(25-18)(200-a)$
化简得$w=-1.5a+1400$
$\because -1.5＜0$，$\therefore w$随$a$的增大而减小
又$\because 40≤a≤60$
$\therefore$当$a=40$时，$w$取最大值
最大值为$-1.5×40+1400=1340$
此时$200-a=160$
【答案】
(1)A图书的标价为27元/本，B图书的标价为25元/本；
(2)购进A图书40本，B图书160本时利润最大，最大利润是1340元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一次函数的应用；一次函数的性质
【点评】
本题是方程与一次函数结合的常规实际应用题，既考查了从题干提取等量关系列方程、写函数解析式的能力，也考查了一次函数增减性的应用，解题时要注意自变量的取值范围需符合实际要求。
【难度系数】
0.7
6.“五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游。
设租车时间为x h，租用甲公司的车所需费用为$y_1$元，租用乙公司的车所需费用为$y_2$元，$y_1$，$y_2$关于x的函数图象如图所示。根据以上信息，解答下列问题：
(1)写出$y_2$关于x的函数表达式为
(2)求出$y_1$关于x的函数表达式；
(3)小明的爸爸计划用200元租车，选择哪个方案更合算？
设租车时间为x h，租用甲公司的车所需费用为$y_1$元，租用乙公司的车所需费用为$y_2$元，$y_1$，$y_2$关于x的函数图象如图所示。根据以上信息，解答下列问题：
(1)写出$y_2$关于x的函数表达式为
$y_2=30x$
；(2)求出$y_1$关于x的函数表达式；
(3)小明的爸爸计划用200元租车，选择哪个方案更合算？
答案
6.解:(1)$y_2=30x$ (2)设 $y_1$ 关于 x 的函数表达式为 $y_1=kx+b$. 将(0,80),(1,95)分别代入,得$\begin{cases}b=80,\\k+b=95,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=15,\\b=80.\end{cases}$所以 $y_1$ 关于 x 的函数表达式为 $y_1=15x+80$. (3)当 $y_1=200$ 时,得 15x+80=200,解得 x=8. 当 $y_2=200$ 时,得 30x=200,解得 $x=\frac{20}{3}$. 因为 $8＞\frac{20}{3}$,所以选择方案一更合算.
解析
【分析】
(1) 观察图象可知$y_2$是过原点的正比例函数，因此设表达式为$y_2=k_2x$，选取图象上已知点代入求出$k_2$即可得到$y_2$的表达式；
(2) $y_1$是一次函数，图象经过$(0,80)$和$(1,95)$两个点，采用待定系数法设一般式$y_1=kx+b$，将两点坐标代入得到关于$k$、$b$的方程组，解方程组即可得到$y_1$的表达式；
(3) 已知租车费用为200元，分别将$y=200$代入两个函数表达式，求出对应的租车时间$x$，租车时间更长的方案更合算。
【解析】
(1) 设$y_2$关于$x$的函数表达式为$y_2=k_2x(k_2≠0)$，由图象可知当$x=1$时，$y_2=30$，代入得$30=k_2×1$，解得$k_2=30$，因此$y_2=30x$。
(2) 设$y_1$关于$x$的函数表达式为$y_1=kx+b(k≠0)$，将点$(0,80)$、$(1,95)$分别代入表达式，可得：
$\begin{cases}b=80\\k+b=95\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=15\\b=80\end{cases}$
所以$y_1$关于$x$的函数表达式为$y_1=15x+80$。
(3) 当租车费用为200元时：
令$y_1=200$，即$15x+80=200$，解得$x=8$；
令$y_2=200$，即$30x=200$，解得$x=\frac{20}{3}$。
因为$8＞\frac{20}{3}$，相同费用下租用甲公司的车可使用时间更长，所以选择甲公司的方案更合算。
【答案】
(1)$y_2=30x$；(2)$y_1=15x+80$；(3)选择租用甲公司的车更合算
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数实际应用，方案优化选择
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的应用，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式，能结合实际需求对比不同方案的优劣，是一次函数应用类的典型考题。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图象可知$y_2$是过原点的正比例函数，因此设表达式为$y_2=k_2x$，选取图象上已知点代入求出$k_2$即可得到$y_2$的表达式；
(2) $y_1$是一次函数，图象经过$(0,80)$和$(1,95)$两个点，采用待定系数法设一般式$y_1=kx+b$，将两点坐标代入得到关于$k$、$b$的方程组，解方程组即可得到$y_1$的表达式；
(3) 已知租车费用为200元，分别将$y=200$代入两个函数表达式，求出对应的租车时间$x$，租车时间更长的方案更合算。
【解析】
(1) 设$y_2$关于$x$的函数表达式为$y_2=k_2x(k_2≠0)$，由图象可知当$x=1$时，$y_2=30$，代入得$30=k_2×1$，解得$k_2=30$，因此$y_2=30x$。
(2) 设$y_1$关于$x$的函数表达式为$y_1=kx+b(k≠0)$，将点$(0,80)$、$(1,95)$分别代入表达式，可得：
$\begin{cases}b=80\\k+b=95\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=15\\b=80\end{cases}$
所以$y_1$关于$x$的函数表达式为$y_1=15x+80$。
(3) 当租车费用为200元时：
令$y_1=200$，即$15x+80=200$，解得$x=8$；
令$y_2=200$，即$30x=200$，解得$x=\frac{20}{3}$。
因为$8＞\frac{20}{3}$，相同费用下租用甲公司的车可使用时间更长，所以选择甲公司的方案更合算。
【答案】
(1)$y_2=30x$；(2)$y_1=15x+80$；(3)选择租用甲公司的车更合算
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数实际应用，方案优化选择
【点评】
本题结合生活场景考查一次函数的应用，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式，能结合实际需求对比不同方案的优劣，是一次函数应用类的典型考题。
【难度系数】
0.7
