登录
7.(2024－2025·合肥包河区期末)随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情.某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，其中篮球个数不少于足球个数，付款总额不得超过11 200元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表.设该商场采购x个篮球.
(1)求该商场的采购费用y(元)与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
(2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润.
(3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了3m(m＞0)元/个，同时足球批发价下调了2m元/个.该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润为2 150元，求m的值.
(1)求该商场的采购费用y(元)与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
(2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润.
(3)受原材料和工艺调整等因素影响，采购员实际采购时，篮球的批发价上调了3m(m＞0)元/个，同时足球批发价下调了2m元/个.该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润为2 150元，求m的值.
答案
7.解:(1)$y=120x+100(100-x)=20x+10\ 000$. 根据题意,得$\begin{cases}x≥100-x,\\20x+10\ 000≤11\ 200,\end{cases}$解得 50≤x≤60. 所以 y 与 x 之间的函数关系式是 y=20x+10 000(50≤x≤60). (2)设商场获得的利润为 w 元,则 w=(145-120)x+(120-100)(100-x)=5x+2 000. 因为 5＞0,所以 w 随 x 的增大而增大. 因为 50≤x≤60,所以当 x=60 时,w 有最大值,$w_{最大}=5×60+2\ 000=2\ 300$. 答:商场能获得的最大利润是 2 300 元. (3)根据题意,得 $w'=[145-(120+3m)]x+[120-(100-2m)](100-x)=5(1-m)x+200m+2\ 000$. 当 0＜m＜1 时,5(1-m)＞0,所以 w' 随 x 的增大而增大. 因为 50≤x≤60,所以当 x=50 时,w' 的值最小,$w'_{最小}=5(1-m)×50+200m+2\ 000=2\ 150$,解得 m=2(舍去);当 m=1 时,w'=200m+2 000=2 150,解得 $m=\frac{3}{4}$(舍去);当 m＞1 时,5(1-m)＜0,所以 w' 随 x 的增大而减小. 因为 50≤x≤60,所以当 x=60 时,w' 值最小,$w'_{最小}=5(1-m)×60+200m+2\ 000=2\ 150$,解得 m=1.5. 综上所述,m 的值为 1.5.
解析
【分析】
(1) 首先明确采购总费用为篮球批发总费用加足球批发总费用，已知采购x个篮球，则足球采购(100-x)个，结合表格批发价可列出费用y与x的函数关系式；再根据“篮球个数不少于足球个数”“付款总额不超过11200元”两个限制条件列一元一次不等式组，求解即可得到x的取值范围。
(2) 总利润=单个篮球利润×篮球数量+单个足球利润×足球数量，据此列出利润w关于x的一次函数，根据一次函数的增减性，结合x的取值范围即可求出最大利润。
(3) 先根据调整后的批发价，重新列出利润w'关于x的函数关系式，由于一次项系数含参数m，需分情况讨论系数的正负：系数＞0时，w'随x增大而增大，x取最小值时利润最小；系数=0时，利润为定值；系数＜0时，w'随x增大而减小，x取最大值时利润最小。分别结合最低利润为2150元列方程求解，舍去不符合题意的解即可得到m的值。
【解析】
(1) 已知采购x个篮球，则采购足球(100-x)个，采购总费用为：
$y=120x+100(100-x)=20x+10000$
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}x≥100-x\\20x+10000≤11200\end{cases}$
解第一个不等式得$x≥50$，解第二个不等式得$x≤60$，即自变量取值范围为$50≤ x≤60$。
所以y与x的函数关系式为$y=20x+10000(50≤ x≤60)$。
(2) 设商场获得的总利润为w元，单个篮球利润为$(145-120)$元，单个足球利润为$(120-100)$元：
$w=(145-120)x+(120-100)(100-x)=25x+20(100-x)=5x+2000$
∵一次项系数$5＞0$，
∴w随x的增大而增大，
又
∵$50≤ x≤60$，
∴当$x=60$时，w取得最大值：
$w_{最大}=5×60+2000=2300$（元）。
(3) 调整价格后，篮球单个批发价为$(120+3m)$元，足球单个批发价为$(100-2m)$元，利润w'为：
$w'=[145-(120+3m)]x+[120-(100-2m)](100-x)$
化简得：$w'=5(1-m)x+200m+2000$
分情况讨论：
① 当$0＜m＜1$时，$5(1-m)＞0$，w'随x的增大而增大，x=50时w'最小，代入得：
$5(1-m)×50+200m+2000=2150$，解得$m=2$，不符合$0＜m＜1$，舍去；
② 当$m=1$时，$w'=200×1+2000=2200≠2150$，不符合题意，舍去；
③ 当$m＞1$时，$5(1-m)＜0$，w'随x的增大而减小，x=60时w'最小，代入得：
$5(1-m)×60+200m+2000=2150$，解得$m=1.5$，符合$m＞1$的条件。
综上，m的值为1.5。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=20x+10000(50≤ x≤60)}$
(2) 2300元
(3) $\boldsymbol{m=1.5}$
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的增减性
【点评】
本题是一次函数结合不等式的实际应用题型，既考查了根据数量关系列函数解析式、解不等式组求取值范围的基础能力，也考查了利用一次函数增减性求最值、分类讨论参数取值的综合能力，解题的关键是准确梳理数量关系，同时注意参数取值对函数增减性的影响。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确采购总费用为篮球批发总费用加足球批发总费用，已知采购x个篮球，则足球采购(100-x)个，结合表格批发价可列出费用y与x的函数关系式；再根据“篮球个数不少于足球个数”“付款总额不超过11200元”两个限制条件列一元一次不等式组，求解即可得到x的取值范围。
(2) 总利润=单个篮球利润×篮球数量+单个足球利润×足球数量，据此列出利润w关于x的一次函数，根据一次函数的增减性，结合x的取值范围即可求出最大利润。
(3) 先根据调整后的批发价，重新列出利润w'关于x的函数关系式，由于一次项系数含参数m，需分情况讨论系数的正负：系数＞0时，w'随x增大而增大，x取最小值时利润最小；系数=0时，利润为定值；系数＜0时，w'随x增大而减小，x取最大值时利润最小。分别结合最低利润为2150元列方程求解，舍去不符合题意的解即可得到m的值。
【解析】
(1) 已知采购x个篮球，则采购足球(100-x)个，采购总费用为：
$y=120x+100(100-x)=20x+10000$
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}x≥100-x\\20x+10000≤11200\end{cases}$
解第一个不等式得$x≥50$，解第二个不等式得$x≤60$，即自变量取值范围为$50≤ x≤60$。
所以y与x的函数关系式为$y=20x+10000(50≤ x≤60)$。
(2) 设商场获得的总利润为w元，单个篮球利润为$(145-120)$元，单个足球利润为$(120-100)$元：
$w=(145-120)x+(120-100)(100-x)=25x+20(100-x)=5x+2000$
∵一次项系数$5＞0$，
∴w随x的增大而增大，
又
∵$50≤ x≤60$，
∴当$x=60$时，w取得最大值：
$w_{最大}=5×60+2000=2300$（元）。
(3) 调整价格后，篮球单个批发价为$(120+3m)$元，足球单个批发价为$(100-2m)$元，利润w'为：
$w'=[145-(120+3m)]x+[120-(100-2m)](100-x)$
化简得：$w'=5(1-m)x+200m+2000$
分情况讨论：
① 当$0＜m＜1$时，$5(1-m)＞0$，w'随x的增大而增大，x=50时w'最小，代入得：
$5(1-m)×50+200m+2000=2150$，解得$m=2$，不符合$0＜m＜1$，舍去；
② 当$m=1$时，$w'=200×1+2000=2200≠2150$，不符合题意，舍去；
③ 当$m＞1$时，$5(1-m)＜0$，w'随x的增大而减小，x=60时w'最小，代入得：
$5(1-m)×60+200m+2000=2150$，解得$m=1.5$，符合$m＞1$的条件。
综上，m的值为1.5。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=20x+10000(50≤ x≤60)}$
(2) 2300元
(3) $\boldsymbol{m=1.5}$
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的增减性
【点评】
本题是一次函数结合不等式的实际应用题型，既考查了根据数量关系列函数解析式、解不等式组求取值范围的基础能力，也考查了利用一次函数增减性求最值、分类讨论参数取值的综合能力，解题的关键是准确梳理数量关系，同时注意参数取值对函数增减性的影响。
【难度系数】
0.6
