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思维导图
▶▶▶ 构建知识体系
函数与一次函数
函数
├─常量与变量
├─函数、自变量、函数的表达式
├─函数的图象—描点法的步骤:①
└─函数的表示方法—列表法、解析法、图象法
一次函数
├─正比例函数
│ ├─概念:形如
│ ├─图象:过点
│ └─性质:$k＞0,y$随
$x$的增大而
├─一次函数
│ ├─概念:形如
│ ├─图象:过点
│ └─性质:$k＞0,y$随$x$的增大而
├─一次函数与方程(组)、不等式
└─一次函数的实际应用
▶▶▶ 构建知识体系
函数与一次函数
函数
├─常量与变量
├─函数、自变量、函数的表达式
├─函数的图象—描点法的步骤:①
列表
;② 描点
;③ 连线
└─函数的表示方法—列表法、解析法、图象法
一次函数
├─正比例函数
│ ├─概念:形如
$y=kx(k为常数,且k≠0)$
的函数│ ├─图象:过点
$(0,0)$
的一条直线│ └─性质:$k＞0,y$随
$x$的增大而 增大
;$k＜0,y$随$x$的增大而 减小
├─一次函数
│ ├─概念:形如
$y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)$
的函数│ ├─图象:过点
$(0,b)$
和点 $(-\frac{b}{k},0)$
的一条直线│ └─性质:$k＞0,y$随$x$的增大而
增大
;$k＜0,y$随$x$的增大而 减小
├─一次函数与方程(组)、不等式
└─一次函数的实际应用
答案
描点法的步骤:列表、描点、连线；正比例函数概念:形如$y=kx(k为常数,且k≠0)$的函数，图象过点$(0,0)$，性质：k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小；一次函数概念:形如$y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)$的函数，图象过点$(0,b)$和点$(-\frac{b}{k},0)$，性质：k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小。
解析
【分析】
本题是函数与一次函数章节的基础知识点梳理题，解题时只需回忆本章学习的核心基础定义、操作步骤和性质，依次对应填空即可：首先回忆描点法绘制函数图像的三个操作步骤，再分别回忆正比例函数的定义、图像特征、增减性，最后回忆一次函数的定义、图像与坐标轴的交点特征、增减性，逐一填写对应内容。
【解析】
1. 描点法绘制函数图象的三个步骤依次为：①列表；②描点；③连线。
2. 正比例函数相关：
概念：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数；
图象：正比例函数的图象是过点$(0,0)$的一条直线；
性质：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
3. 一次函数相关：
概念：形如$y=kx+b$（$k,b$为常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数；
图象：一次函数的图象是过点$(0,b)$（与$y$轴交点）和点$(-\frac{b}{k},0)$（与$x$轴交点）的一条直线；
性质：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
描点法步骤：①列表；②描点；③连线
正比例函数概念：$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）；图象过点$(0,0)$；性质：增大；减小
一次函数概念：$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k≠0$）；图象过点$(0,b)$、$(-\frac{b}{k},0)$；性质：增大；减小
【知识点】
描点法画函数图象；正比例函数的概念与性质；一次函数的概念与性质
【点评】
本题考察的是函数与一次函数的基础核心知识点，均属于需要熟练记忆的内容，是后续求解一次函数综合题、应用题的基础，需要准确掌握各定义和性质的内容，避免混淆。
【难度系数】
0.9
本题是函数与一次函数章节的基础知识点梳理题，解题时只需回忆本章学习的核心基础定义、操作步骤和性质，依次对应填空即可：首先回忆描点法绘制函数图像的三个操作步骤，再分别回忆正比例函数的定义、图像特征、增减性，最后回忆一次函数的定义、图像与坐标轴的交点特征、增减性，逐一填写对应内容。
【解析】
1. 描点法绘制函数图象的三个步骤依次为：①列表；②描点；③连线。
2. 正比例函数相关：
概念：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数；
图象：正比例函数的图象是过点$(0,0)$的一条直线；
性质：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
3. 一次函数相关：
概念：形如$y=kx+b$（$k,b$为常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数；
图象：一次函数的图象是过点$(0,b)$（与$y$轴交点）和点$(-\frac{b}{k},0)$（与$x$轴交点）的一条直线；
性质：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
描点法步骤：①列表；②描点；③连线
正比例函数概念：$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）；图象过点$(0,0)$；性质：增大；减小
一次函数概念：$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k≠0$）；图象过点$(0,b)$、$(-\frac{b}{k},0)$；性质：增大；减小
【知识点】
描点法画函数图象；正比例函数的概念与性质；一次函数的概念与性质
【点评】
本题考察的是函数与一次函数的基础核心知识点，均属于需要熟练记忆的内容，是后续求解一次函数综合题、应用题的基础，需要准确掌握各定义和性质的内容，避免混淆。
【难度系数】
0.9
1. 函数 $y=\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是（
A.$x≠3$
B.$x≥3$
C.$x≥-1$ 且 $x≠3$
D.$x≥-1$
C
）A.$x≠3$
B.$x≥3$
C.$x≥-1$ 且 $x≠3$
D.$x≥-1$
答案
C
解析
【分析】
要确定该函数自变量x的取值范围，需分别分析式子中两类特殊结构的限制要求：首先二次根式的被开方数必须是非负数，其次分式的分母不能为0，最后取两个限制条件的公共部分，即可得到x的取值范围。
【解析】
要使函数$y=\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 根据二次根式有意义的要求，被开方数非负：$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 根据分式有意义的要求，分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$。
综上，自变量x的取值范围是$x≥-1$且$x≠3$。
【答案】
C
【知识点】
函数自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，考查函数自变量取值范围的求解，解题时需注意当表达式同时包含二次根式和分式时，要同时满足两类式子的有意义条件，取所有限制条件的公共解集，避免遗漏分母不为0的要求。
【难度系数】
0.7
要确定该函数自变量x的取值范围，需分别分析式子中两类特殊结构的限制要求：首先二次根式的被开方数必须是非负数，其次分式的分母不能为0，最后取两个限制条件的公共部分，即可得到x的取值范围。
【解析】
要使函数$y=\frac{\sqrt{x+1}}{x-3}$有意义，需同时满足两个条件：
1. 根据二次根式有意义的要求，被开方数非负：$x+1≥0$，解得$x≥-1$；
2. 根据分式有意义的要求，分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$。
综上，自变量x的取值范围是$x≥-1$且$x≠3$。
【答案】
C
【知识点】
函数自变量取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，考查函数自变量取值范围的求解，解题时需注意当表达式同时包含二次根式和分式时，要同时满足两类式子的有意义条件，取所有限制条件的公共解集，避免遗漏分母不为0的要求。
【难度系数】
0.7
2. 小潘骑车从家里出发去舅舅家做客，他骑了一段时间后，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后继续骑车去舅舅家，小潘离家的路程随时间的变化情况如图所示.观察图象并解答下列问题：
(1)图象表示了
(2)小潘家到舅舅家的路程是
(3)在去舅舅家的途中，小潘骑车最快的速度是
(1)图象表示了
时间
和离家的路程
两个变量的关系，其中自变量是时间
；(2)小潘家到舅舅家的路程是
1 500
m，小潘在商店停留了4
min；(3)在去舅舅家的途中，小潘骑车最快的速度是
450
m/min.答案
(1)时间 离家的路程 时间 (2)1 500 4 (3)450
解析
【分析】
这是一道函数图像与实际行程结合的题目，解题思路如下：1. 先看图像的横纵坐标轴含义，确定两个变量，主动变化的量是自变量；2. 小潘到舅舅家的路程对应图像纵轴的最大数值，停留阶段的特征是离家路程不变，对应时间段的差值就是停留时间；3. 根据“速度=路程÷时间”，分别计算各行驶阶段的速度，比较大小得到最快速度即可。
【解析】
(1) 观察图像，横轴代表时间，纵轴代表离家的路程，所以两个变量是时间和离家的路程；其中时间是主动变化的，为自变量。
(2) 图像最终的纵轴数值为1500m，即小潘家到舅舅家的路程是1500m；小潘在商店停留时，离家路程保持600m不变，对应时间是8min到12min，停留时长为$12-8=4(\mathrm{min})$。
(3) 分别计算各行驶阶段的速度：
① 0~4min：行驶路程1200m，速度$v_1=1200÷4=300\ \mathrm{m/min}$；
② 4~8min：折回行驶的路程为$1200-600=600\ \mathrm{m}$，速度$v_2=600÷4=150\ \mathrm{m/min}$；
③ 12~14min：从商店到舅舅家行驶的路程为$1500-600=900\ \mathrm{m}$，速度$v_3=900÷2=450\ \mathrm{m/min}$；
对比三个速度可知，最快速度是450m/min。
【答案】
(1)时间 离家的路程 时间 (2)1500 4 (3)450
【知识点】
函数图像识别，变量与自变量，行程速度计算
【点评】
本题是函数图像的基础应用题型，核心是读懂图像每一段对应的实际行程过程，结合行程的基本公式就能顺利解答，是对学生读图获取信息能力的基础考查。
【难度系数】
0.8
这是一道函数图像与实际行程结合的题目，解题思路如下：1. 先看图像的横纵坐标轴含义，确定两个变量，主动变化的量是自变量；2. 小潘到舅舅家的路程对应图像纵轴的最大数值，停留阶段的特征是离家路程不变，对应时间段的差值就是停留时间；3. 根据“速度=路程÷时间”，分别计算各行驶阶段的速度，比较大小得到最快速度即可。
【解析】
(1) 观察图像，横轴代表时间，纵轴代表离家的路程，所以两个变量是时间和离家的路程；其中时间是主动变化的，为自变量。
(2) 图像最终的纵轴数值为1500m，即小潘家到舅舅家的路程是1500m；小潘在商店停留时，离家路程保持600m不变，对应时间是8min到12min，停留时长为$12-8=4(\mathrm{min})$。
(3) 分别计算各行驶阶段的速度：
① 0~4min：行驶路程1200m，速度$v_1=1200÷4=300\ \mathrm{m/min}$；
② 4~8min：折回行驶的路程为$1200-600=600\ \mathrm{m}$，速度$v_2=600÷4=150\ \mathrm{m/min}$；
③ 12~14min：从商店到舅舅家行驶的路程为$1500-600=900\ \mathrm{m}$，速度$v_3=900÷2=450\ \mathrm{m/min}$；
对比三个速度可知，最快速度是450m/min。
【答案】
(1)时间 离家的路程 时间 (2)1500 4 (3)450
【知识点】
函数图像识别，变量与自变量，行程速度计算
【点评】
本题是函数图像的基础应用题型，核心是读懂图像每一段对应的实际行程过程，结合行程的基本公式就能顺利解答，是对学生读图获取信息能力的基础考查。
【难度系数】
0.8
3.(2024－2025·亳州期中)若将直线$y=-\frac{1}{2}x$向下平移3个单位长度，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（
A.与y轴交于点(0,3)
B.不经过第一象限
C.y随x的增大而增大
D.与x轴交于点(6,0)
B
）A.与y轴交于点(0,3)
B.不经过第一象限
C.y随x的增大而增大
D.与x轴交于点(6,0)
答案
B
解析
【分析】
解决本题的思路如下：第一步，根据一次函数平移“上加下减（针对常数项）”的规律，求出直线向下平移3个单位后的解析式；第二步，结合一次函数的图像与性质，逐一判断每个选项的描述是否正确，最终选出正确答案。
【解析】
根据一次函数平移规律“上加下减常数项”，原直线$y=-\frac{1}{2}x$向下平移3个单位后，所得直线的解析式为：
$y=-\frac{1}{2}x - 3$
接下来逐一分析选项：
A. 求直线与y轴的交点，令$x=0$，代入得$y=-3$，即交点为$(0,-3)$，故A选项错误；
B. 一次函数$y=kx+b$中，$k=-\frac{1}{2}＜0$，说明直线从左上向右下倾斜，$b=-3＜0$，说明直线与y轴交于负半轴，因此直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故B选项正确；
C. 由于$k=-\frac{1}{2}＜0$，因此y随x的增大而减小，故C选项错误；
D. 求直线与x轴的交点，令$y=0$，代入得$0=-\frac{1}{2}x -3$，解得$x=-6$，即交点为$(-6,0)$，故D选项错误。
【答案】
B
【知识点】
1.一次函数平移规律 2.一次函数的图像与性质
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，核心是熟练掌握一次函数平移规则，以及斜率k、截距b分别对函数增减性、图像经过象限的影响。
【难度系数】
0.8
解决本题的思路如下：第一步，根据一次函数平移“上加下减（针对常数项）”的规律，求出直线向下平移3个单位后的解析式；第二步，结合一次函数的图像与性质，逐一判断每个选项的描述是否正确，最终选出正确答案。
【解析】
根据一次函数平移规律“上加下减常数项”，原直线$y=-\frac{1}{2}x$向下平移3个单位后，所得直线的解析式为：
$y=-\frac{1}{2}x - 3$
接下来逐一分析选项：
A. 求直线与y轴的交点，令$x=0$，代入得$y=-3$，即交点为$(0,-3)$，故A选项错误；
B. 一次函数$y=kx+b$中，$k=-\frac{1}{2}＜0$，说明直线从左上向右下倾斜，$b=-3＜0$，说明直线与y轴交于负半轴，因此直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故B选项正确；
C. 由于$k=-\frac{1}{2}＜0$，因此y随x的增大而减小，故C选项错误；
D. 求直线与x轴的交点，令$y=0$，代入得$0=-\frac{1}{2}x -3$，解得$x=-6$，即交点为$(-6,0)$，故D选项错误。
【答案】
B
【知识点】
1.一次函数平移规律 2.一次函数的图像与性质
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，核心是熟练掌握一次函数平移规则，以及斜率k、截距b分别对函数增减性、图像经过象限的影响。
【难度系数】
0.8
4. 已知$y$关于$x$的一次函数$y=(2m+1)x - m + 3$中$y$随$x$的增大而增大，且截距不大于1，则$m$的取值范围是（
A.$m＞-\dfrac{1}{2}$
B.$m≥4$
C.$-\dfrac{1}{2}＜m≤2$
D.$m≥2$
D
）A.$m＞-\dfrac{1}{2}$
B.$m≥4$
C.$-\dfrac{1}{2}＜m≤2$
D.$m≥2$
答案
D
解析
【分析】
本题考查一次函数的性质与一元一次不等式的综合应用，解题思路如下：首先明确一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的增减性由$k$的符号决定：$k＞0$时$y$随$x$的增大而增大，$k＜0$时$y$随$x$的增大而减小；截距就是常数项$b$。再根据题目给出的“$y$随$x$的增大而增大”和“截距不大于1”两个条件，分别列出关于$m$的不等式，最后求解两个不等式的公共解集即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于一次函数$y=(2m+1)x - m + 3$：
1. 由$y$随$x$的增大而增大，可得一次项系数大于0，即：
$2m+1＞0$
移项得：$2m＞-1$
解得：$m＞-\dfrac{1}{2}$
2. 由截距不大于1，截距为常数项$-m+3$，可得：
$-m+3 ≤ 1$
移项得：$-m ≤ 1-3$
即$-m ≤ -2$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$m≥ 2$
3. 取两个解集的公共部分，可得$m$的取值范围是$m≥ 2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质；解一元一次不等式；不等式组解集的确定
【点评】
本题是一次函数性质与不等式的基础综合题，解题的关键是准确掌握一次函数增减性和截距的概念，求解不等式时要注意两边乘负数时不等号方向需要改变，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
本题考查一次函数的性质与一元一次不等式的综合应用，解题思路如下：首先明确一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的增减性由$k$的符号决定：$k＞0$时$y$随$x$的增大而增大，$k＜0$时$y$随$x$的增大而减小；截距就是常数项$b$。再根据题目给出的“$y$随$x$的增大而增大”和“截距不大于1”两个条件，分别列出关于$m$的不等式，最后求解两个不等式的公共解集即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于一次函数$y=(2m+1)x - m + 3$：
1. 由$y$随$x$的增大而增大，可得一次项系数大于0，即：
$2m+1＞0$
移项得：$2m＞-1$
解得：$m＞-\dfrac{1}{2}$
2. 由截距不大于1，截距为常数项$-m+3$，可得：
$-m+3 ≤ 1$
移项得：$-m ≤ 1-3$
即$-m ≤ -2$
两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得：$m≥ 2$
3. 取两个解集的公共部分，可得$m$的取值范围是$m≥ 2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的性质；解一元一次不等式；不等式组解集的确定
【点评】
本题是一次函数性质与不等式的基础综合题，解题的关键是准确掌握一次函数增减性和截距的概念，求解不等式时要注意两边乘负数时不等号方向需要改变，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
5.(2024－2025·蚌埠期末)若点A(3，y₁)，B(1，3)，C(4，y₂)在一次函数y＝nx＋4(n为常数，且n≠0)的图象上，则y₁，y₂的大小关系是（
A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.$y_1=y_2$
D.无法确定
A
）A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.$y_1=y_2$
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
要比较y₁和y₂的大小，首先需要确定一次函数的增减性或直接求出y₁、y₂的值。已知点B在一次函数图象上，可先将B点坐标代入函数解析式求出参数n的值，再根据一次函数的增减性规律，结合A、C两点的横坐标大小，即可判断y₁和y₂的大小关系。
【解析】
∵点B(1,3)在一次函数y=nx+4的图象上
∴将x=1，y=3代入解析式得：3 = n×1 + 4
解得n = -1
∴该一次函数的解析式为y = -x + 4
∵k=-1＜0，
∴y随x的增大而减小
又
∵A、C两点的横坐标分别为3、4，且3＜4
∴对应的函数值满足y₁＞y₂
故选A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，解题的核心是先利用图象上的已知点求出未知参数，再结合一次函数的增减性比较函数值大小，也可直接代入横坐标计算函数值后比较，方法灵活易掌握。
【难度系数】
0.8
要比较y₁和y₂的大小，首先需要确定一次函数的增减性或直接求出y₁、y₂的值。已知点B在一次函数图象上，可先将B点坐标代入函数解析式求出参数n的值，再根据一次函数的增减性规律，结合A、C两点的横坐标大小，即可判断y₁和y₂的大小关系。
【解析】
∵点B(1,3)在一次函数y=nx+4的图象上
∴将x=1，y=3代入解析式得：3 = n×1 + 4
解得n = -1
∴该一次函数的解析式为y = -x + 4
∵k=-1＜0，
∴y随x的增大而减小
又
∵A、C两点的横坐标分别为3、4，且3＜4
∴对应的函数值满足y₁＞y₂
故选A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，解题的核心是先利用图象上的已知点求出未知参数，再结合一次函数的增减性比较函数值大小，也可直接代入横坐标计算函数值后比较，方法灵活易掌握。
【难度系数】
0.8
