登录
1.为吸引顾客，某游乐场推出了甲、乙两种消费卡.设消费的次数为$ x $，所需的费用为$ y $元，且$ y $与$ x $之间的函数关系如图所示.观察图象可知，当选择乙种消费卡更为划算时，消费的次数$ x $的取值范围为（
A.$ 0＜x＜5 $
B.$ x＞5 $
C.$ 5＜x＜10 $
D.$ x＞10 $
D
）A.$ 0＜x＜5 $
B.$ x＞5 $
C.$ 5＜x＜10 $
D.$ x＞10 $
答案
1.D
解析
【分析】
这是一次函数的方案决策类问题，解题思路如下：首先明确图像横纵坐标的含义：横坐标x代表消费次数，纵坐标y代表消费费用；乙种消费卡更划算的本质是相同消费次数下，乙的费用更低，对应函数图像中乙的线在甲的下方。我们可以通过两种方法求解：一是直接观察图像，找到两函数交点，判断交点两侧图像的上下位置；二是先求出两个函数的解析式，再列不等式求解取值范围。
【解析】
方法1：图像分析法
由图可知，甲、乙两个函数的交点坐标为$(10,200)$，表示当消费次数为10次时，两种消费卡的费用都是200元，费用相等。
乙卡更划算即相同x时乙的y值更小，对应乙的图像在甲图像下方的区域。观察图像可得：当$x＞10$时，乙的图像位于甲的下方，此时乙费用更低，更划算。
方法2：解析式+不等式求解
设甲卡的函数解析式为$y_{\mathrm{甲}}=k_1x$，把$(10,200)$代入得$200=10k_1$，解得$k_1=20$，因此$y_{\mathrm{甲}}=20x$。
设乙卡的函数解析式为$y_{\mathrm{乙}}=k_2x+b$，把$(0,100)$、$(10,200)$代入得：
$\begin{cases}b=100\\10k_2+100=200\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=10\\b=100\end{cases}$，因此$y_{\mathrm{乙}}=10x+100$。
乙卡更划算需满足$y_{\mathrm{乙}}＜y_{\mathrm{甲}}$，列不等式：
$10x+100＜20x$
解得$x＞10$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用，一次函数与不等式，最优方案选择
【点评】
本题结合生活消费场景考查一次函数的实际应用，解题核心是理解函数交点的含义，明确图像上下位置对应函数值的大小关系，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
这是一次函数的方案决策类问题，解题思路如下：首先明确图像横纵坐标的含义：横坐标x代表消费次数，纵坐标y代表消费费用；乙种消费卡更划算的本质是相同消费次数下，乙的费用更低，对应函数图像中乙的线在甲的下方。我们可以通过两种方法求解：一是直接观察图像，找到两函数交点，判断交点两侧图像的上下位置；二是先求出两个函数的解析式，再列不等式求解取值范围。
【解析】
方法1：图像分析法
由图可知，甲、乙两个函数的交点坐标为$(10,200)$，表示当消费次数为10次时，两种消费卡的费用都是200元，费用相等。
乙卡更划算即相同x时乙的y值更小，对应乙的图像在甲图像下方的区域。观察图像可得：当$x＞10$时，乙的图像位于甲的下方，此时乙费用更低，更划算。
方法2：解析式+不等式求解
设甲卡的函数解析式为$y_{\mathrm{甲}}=k_1x$，把$(10,200)$代入得$200=10k_1$，解得$k_1=20$，因此$y_{\mathrm{甲}}=20x$。
设乙卡的函数解析式为$y_{\mathrm{乙}}=k_2x+b$，把$(0,100)$、$(10,200)$代入得：
$\begin{cases}b=100\\10k_2+100=200\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2=10\\b=100\end{cases}$，因此$y_{\mathrm{乙}}=10x+100$。
乙卡更划算需满足$y_{\mathrm{乙}}＜y_{\mathrm{甲}}$，列不等式：
$10x+100＜20x$
解得$x＞10$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的应用，一次函数与不等式，最优方案选择
【点评】
本题结合生活消费场景考查一次函数的实际应用，解题核心是理解函数交点的含义，明确图像上下位置对应函数值的大小关系，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
2.(教材 P52 例 4 变式)某校要印刷校庆活动材料,甲印刷厂提出:每份材料收 0.2 元印刷费,另收 500 元制版费;乙印刷厂提出:每份材料收 0.4 元印刷费,不收制版费.
(1)分别写出两个印刷厂的费用 y(元)与印刷数量 x(份)之间的函数表达式.
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象.
(3)如果学校要印制 2 000 份宣传材料,那么选择哪家印刷厂比较合算?并说明理由.
(4)该学校拟拿出 2 500 元用于印制宣传材料,那么选择哪家印刷厂印制得多?多多少份?
(1)分别写出两个印刷厂的费用 y(元)与印刷数量 x(份)之间的函数表达式.
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象.
(3)如果学校要印制 2 000 份宣传材料,那么选择哪家印刷厂比较合算?并说明理由.
(4)该学校拟拿出 2 500 元用于印制宣传材料,那么选择哪家印刷厂印制得多?多多少份?
答案
(1)根据题意,得 $y_{甲}= 0. 2x + 500, y_{乙}= 0. 4x.$
(2)如图所示.
(3)选择乙.理由如下:当 $x=2\ 000$ 时,甲印刷厂费用为 $0.2×2\ 000+500=900$(元),乙印刷厂费用为 $0.4×2\ 000=800$(元).因为 $900＞800$,所以选择乙印刷厂比较合算.
(4)当 $y_{甲}=2\ 500$ 时,$0.2x+500=2\ 500$,解得 $x=10\ 000$.当 $y_{乙}=2\ 500$ 时,$0.4x=2\ 500$,解得 $x=6\ 250$. $10\ 000-6\ 250=3\ 750$(份).所以选择甲印刷厂印制得多,多3 750份.
解析
【分析】
解本题可按以下思路逐步推导：
1. 写函数表达式：明确两个印刷厂的费用构成，甲厂费用=固定制版费+每份印刷费×印刷数量，乙厂无制版费，费用=每份印刷费×印刷数量，根据等量关系直接列出函数式即可；
2. 绘制函数图像：一次函数图像为直线，只需找到每个函数上的2个特征点（通常取x=0的点、两个函数的交点），描点后连线即可完成作图；
3. 比较印刷2000份的成本：将x=2000分别代入两个函数表达式，计算对应费用，费用更低的厂家更合算；
4. 比较2500元可印刷的数量：将y=2500分别代入两个函数表达式，解出对应的印刷数量x，x更大的厂家印刷量更多，二者差值即为多印的份数。
【解析】
(1) 甲厂有500元固定制版费，每份印刷费0.2元，因此费用$y_{甲}$和印刷数量$x$的关系为$y_{甲}=0.2x+500$（$x≥0$且x为整数）；乙厂无制版费，每份印刷费0.4元，因此$y_{乙}=0.4x$（$x≥0$且x为整数）。
(2) 画$y_{甲}=0.2x+500$的图像：取$x=0$得$y=500$，取$x=2500$得$y=1000$，描点后连线；画$y_{乙}=0.4x$的图像：取$x=0$得$y=0$，取$x=2500$得$y=1000$，描点后连线，图像如下：
(3) 当$x=2000$时：
甲厂费用：$y_{甲}=0.2×2000+500=900$元
乙厂费用：$y_{乙}=0.4×2000=800$元
因为$900＞800$，乙厂费用更低，所以选择乙印刷厂更合算。
(4) 当总费用$y=2500$元时：
代入甲厂函数：$2500=0.2x+500$，解得$x=10000$份
代入乙厂函数：$2500=0.4x$，解得$x=6250$份
印刷数量差值：$10000-6250=3750$份，因此甲厂印制得更多，多3750份。
【答案】
(1)根据题意,得 $y_{甲}= 0. 2x + 500, y_{乙}= 0. 4x.$
(2)如图所示.
(3)选择乙.理由如下:当 $x=2\ 000$ 时,甲印刷厂费用为 $0.2×2\ 000+500=900$(元),乙印刷厂费用为 $0.4×2\ 000=800$(元).因为 $900＞800$,所以选择乙印刷厂比较合算.
(4)当 $y_{甲}=2\ 500$ 时,$0.2x+500=2\ 500$,解得 $x=10\ 000$.当 $y_{乙}=2\ 500$ 时,$0.4x=2\ 500$,解得 $x=6\ 250$. $10\ 000-6\ 250=3\ 750$(份).所以选择甲印刷厂印制得多,多3 750份.
【知识点】
一次函数表达式、一次函数图像、一次函数的应用
【点评】
本题结合生活中的印刷付费场景，考查一次函数的实际应用，解题核心是准确梳理费用与印刷数量的对应关系，通过代入求值、解一元一次方程并比较结果即可得到最优方案，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.7
解本题可按以下思路逐步推导：
1. 写函数表达式：明确两个印刷厂的费用构成，甲厂费用=固定制版费+每份印刷费×印刷数量，乙厂无制版费，费用=每份印刷费×印刷数量，根据等量关系直接列出函数式即可；
2. 绘制函数图像：一次函数图像为直线，只需找到每个函数上的2个特征点（通常取x=0的点、两个函数的交点），描点后连线即可完成作图；
3. 比较印刷2000份的成本：将x=2000分别代入两个函数表达式，计算对应费用，费用更低的厂家更合算；
4. 比较2500元可印刷的数量：将y=2500分别代入两个函数表达式，解出对应的印刷数量x，x更大的厂家印刷量更多，二者差值即为多印的份数。
【解析】
(1) 甲厂有500元固定制版费，每份印刷费0.2元，因此费用$y_{甲}$和印刷数量$x$的关系为$y_{甲}=0.2x+500$（$x≥0$且x为整数）；乙厂无制版费，每份印刷费0.4元，因此$y_{乙}=0.4x$（$x≥0$且x为整数）。
(2) 画$y_{甲}=0.2x+500$的图像：取$x=0$得$y=500$，取$x=2500$得$y=1000$，描点后连线；画$y_{乙}=0.4x$的图像：取$x=0$得$y=0$，取$x=2500$得$y=1000$，描点后连线，图像如下：
(3) 当$x=2000$时：
甲厂费用：$y_{甲}=0.2×2000+500=900$元
乙厂费用：$y_{乙}=0.4×2000=800$元
因为$900＞800$，乙厂费用更低，所以选择乙印刷厂更合算。
(4) 当总费用$y=2500$元时：
代入甲厂函数：$2500=0.2x+500$，解得$x=10000$份
代入乙厂函数：$2500=0.4x$，解得$x=6250$份
印刷数量差值：$10000-6250=3750$份，因此甲厂印制得更多，多3750份。
【答案】
(1)根据题意,得 $y_{甲}= 0. 2x + 500, y_{乙}= 0. 4x.$
(2)如图所示.
(3)选择乙.理由如下:当 $x=2\ 000$ 时,甲印刷厂费用为 $0.2×2\ 000+500=900$(元),乙印刷厂费用为 $0.4×2\ 000=800$(元).因为 $900＞800$,所以选择乙印刷厂比较合算.
(4)当 $y_{甲}=2\ 500$ 时,$0.2x+500=2\ 500$,解得 $x=10\ 000$.当 $y_{乙}=2\ 500$ 时,$0.4x=2\ 500$,解得 $x=6\ 250$. $10\ 000-6\ 250=3\ 750$(份).所以选择甲印刷厂印制得多,多3 750份.
【知识点】
一次函数表达式、一次函数图像、一次函数的应用
【点评】
本题结合生活中的印刷付费场景，考查一次函数的实际应用，解题核心是准确梳理费用与印刷数量的对应关系，通过代入求值、解一元一次方程并比较结果即可得到最优方案，贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.7
3.（教材P54练习T1变式）（2024－2025·六安期中）一辆中型客车准乘21人（包括一名司机和一名乘务员），这辆客车的油费为120元，高速公路费为55元，其他运输成本为60元，乘客票价为40元/人.设乘客人数为x，客车盈利为y元.
（1）写出y与x之间的函数表达式.
（2）至少要有多少名乘客才能保证不亏本？若载满了乘客，可获利多少元？
（1）写出y与x之间的函数表达式.
（2）至少要有多少名乘客才能保证不亏本？若载满了乘客，可获利多少元？
答案
(1)由题意,得 $y=40x-120-55-60=40x-235.$
(2)当 $y≥0$ 时,不亏本,所以 $40x-235≥0$,解得 $x≥5.875$. 因为 $x$ 为正整数,所以 $x$ 的最小值为 6. 若载满乘客,则 $x=21-2=19$. 此时可获利 $40×19-235=525$(元).答:至少要有 6 名乘客才能保证不亏本,若载满乘客,可获利 525 元.
(2)当 $y≥0$ 时,不亏本,所以 $40x-235≥0$,解得 $x≥5.875$. 因为 $x$ 为正整数,所以 $x$ 的最小值为 6. 若载满乘客,则 $x=21-2=19$. 此时可获利 $40×19-235=525$(元).答:至少要有 6 名乘客才能保证不亏本,若载满乘客,可获利 525 元.
解析
【分析】
（1）盈利的计算逻辑为“盈利=总票款收入-总运输成本”。总票款是乘客人数乘以单人票价，总运输成本是油费、高速公路费、其他运输成本的和，将对应量代入关系即可得到y与x的函数表达式。
（2）不亏本的含义是盈利≥0，将第一问得到的函数表达式代入该不等关系，得到关于x的一元一次不等式，结合乘客人数为正整数的实际要求，就能求出最少乘客数；计算满载获利时，要注意准乘21人包含1名司机和1名乘务员，需先算出实际最多载客量，再代入函数计算获利。
【解析】
(1) 由题意得，乘客总票款收入为$40x$元，总运输成本为$120+55+60=235$元，根据盈利=收入-总成本，可得：
$y=40x-120-55-60=40x-235$
(2) 不亏本即盈利$y≥0$，代入函数表达式得：
$40x-235≥0$
解得$x≥5.875$
因为x表示乘客人数，为正整数，所以x的最小值为6。
客车准乘人数包含司机和乘务员，因此满载时乘客人数为$21-2=19$，代入函数得：
$y=40×19-235=760-235=525$（元）
答：至少要有6名乘客才能保证不亏本，若载满乘客，可获利525元。
【答案】
(1) $y=40x-235$
(2) 至少要有6名乘客才能保证不亏本，载满乘客可获利525元。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式的应用，实际问题的整数解
【点评】
本题结合生活中的客运场景出题，难度不高，解题的关键是理清盈利的计算逻辑，同时要注意题目中的隐含限制条件：乘客人数为正整数、准乘人数包含司乘人员，避免忽略实际要求出现错误。
【难度系数】
0.75
（1）盈利的计算逻辑为“盈利=总票款收入-总运输成本”。总票款是乘客人数乘以单人票价，总运输成本是油费、高速公路费、其他运输成本的和，将对应量代入关系即可得到y与x的函数表达式。
（2）不亏本的含义是盈利≥0，将第一问得到的函数表达式代入该不等关系，得到关于x的一元一次不等式，结合乘客人数为正整数的实际要求，就能求出最少乘客数；计算满载获利时，要注意准乘21人包含1名司机和1名乘务员，需先算出实际最多载客量，再代入函数计算获利。
【解析】
(1) 由题意得，乘客总票款收入为$40x$元，总运输成本为$120+55+60=235$元，根据盈利=收入-总成本，可得：
$y=40x-120-55-60=40x-235$
(2) 不亏本即盈利$y≥0$，代入函数表达式得：
$40x-235≥0$
解得$x≥5.875$
因为x表示乘客人数，为正整数，所以x的最小值为6。
客车准乘人数包含司机和乘务员，因此满载时乘客人数为$21-2=19$，代入函数得：
$y=40×19-235=760-235=525$（元）
答：至少要有6名乘客才能保证不亏本，若载满乘客，可获利525元。
【答案】
(1) $y=40x-235$
(2) 至少要有6名乘客才能保证不亏本，载满乘客可获利525元。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式的应用，实际问题的整数解
【点评】
本题结合生活中的客运场景出题，难度不高，解题的关键是理清盈利的计算逻辑，同时要注意题目中的隐含限制条件：乘客人数为正整数、准乘人数包含司乘人员，避免忽略实际要求出现错误。
【难度系数】
0.75
4. 手机资费情境化 某通讯公司开展营销活动，设置了甲、乙两种手机资费套餐，手机资费y(元)与通话时间x(min)之间的关系如图所示.
(1)说明线段AB的实际意义；
(2)求出乙套餐每月手机资费y(元)与通话时间x(min)之间的函数表达式；
(3)结合图象，说明选择哪种手机资费套餐更合算.
(1)说明线段AB的实际意义；
(2)求出乙套餐每月手机资费y(元)与通话时间x(min)之间的函数表达式；
(3)结合图象，说明选择哪种手机资费套餐更合算.
答案
(1)线段 AB 的实际意义是通话时间不超过30 min 时手机资费为 9 元.
(2)设乙套餐每月手机资费 $y$(元)与通话时间$x$(min)之间的函数表达式为 $y=kx+b$. 把 $(30,27)$,$(150,39)$代入,得 $\begin{cases} 30k+b=27,\\150k+b=39,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=0.1,\\b=24.\end{cases}$ 所以乙套餐每月手机资费 $y$(元)与通话时间$x$(min)之间的函数表达式为 $y=0.1x+24.$
(3)由图象可知,当通话时间不超过150 min时,选择甲种手机资费套餐更合算;当通话时间超过150 min时,选择乙种手机资费套餐更合算.
(2)设乙套餐每月手机资费 $y$(元)与通话时间$x$(min)之间的函数表达式为 $y=kx+b$. 把 $(30,27)$,$(150,39)$代入,得 $\begin{cases} 30k+b=27,\\150k+b=39,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=0.1,\\b=24.\end{cases}$ 所以乙套餐每月手机资费 $y$(元)与通话时间$x$(min)之间的函数表达式为 $y=0.1x+24.$
(3)由图象可知,当通话时间不超过150 min时,选择甲种手机资费套餐更合算;当通话时间超过150 min时,选择乙种手机资费套餐更合算.
解析
【分析】
(1) 先明确横、纵坐标的含义：横坐标x代表通话时间，纵坐标y代表手机资费。观察线段AB可知，x的取值范围为0≤x≤30，对应的y值始终为9，结合实际含义总结即可。
(2) 由图象可知乙套餐的资费y与通话时间x满足一次函数关系，因此用待定系数法求解：设函数表达式为y=kx+b，选取图象上两个已知点坐标代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出参数值即可得到函数表达式。
(3) 选择更合算的套餐本质是比较相同通话时间下的资费高低，先找到两个函数的交点C(150,39)，交点处两种套餐资费相等，再分别判断交点左右两侧哪个函数图象更低（y值更小，资费更低），即可得出结论。
【解析】
(1) 线段AB对应的通话时间不超过30min，此时资费固定为9元，因此实际意义是：通话时间不超过30 min时甲套餐的手机资费为9元。
(2) 设乙套餐每月手机资费y(元)与通话时间x(min)之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$(30,27)$、$(150,39)$代入表达式得：
$\begin{cases} 30k+b=27\\150k+b=39 \end{cases}$
两式相减消去b得$120k=12$，解得$k=0.1$；将$k=0.1$代入$30k+b=27$，得$3+b=27$，解得$b=24$。
因此乙套餐的函数表达式为$y=0.1x+24$。
(3) 两函数交点为$C(150,39)$，即通话时间为150min时两种套餐资费相同。当$x＜150$时，甲套餐的图象在乙下方，资费更低；当$x＞150$时，乙套餐的图象在甲下方，资费更低。
【答案】
(1) 通话时间不超过30 min 时手机资费为 9 元；
(2) $y=0.1x+24$；
(3) 当通话时间不超过150 min时，选择甲种手机资费套餐更合算；当通话时间超过150 min时，选择乙种手机资费套餐更合算。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；方案决策
【点评】
本题以生活中的手机资费问题为背景，既考查了学生解读函数图象、求解一次函数解析式的基础能力，也考查了学生结合实际需求选择最优方案的应用能力，贴合生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 先明确横、纵坐标的含义：横坐标x代表通话时间，纵坐标y代表手机资费。观察线段AB可知，x的取值范围为0≤x≤30，对应的y值始终为9，结合实际含义总结即可。
(2) 由图象可知乙套餐的资费y与通话时间x满足一次函数关系，因此用待定系数法求解：设函数表达式为y=kx+b，选取图象上两个已知点坐标代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出参数值即可得到函数表达式。
(3) 选择更合算的套餐本质是比较相同通话时间下的资费高低，先找到两个函数的交点C(150,39)，交点处两种套餐资费相等，再分别判断交点左右两侧哪个函数图象更低（y值更小，资费更低），即可得出结论。
【解析】
(1) 线段AB对应的通话时间不超过30min，此时资费固定为9元，因此实际意义是：通话时间不超过30 min时甲套餐的手机资费为9元。
(2) 设乙套餐每月手机资费y(元)与通话时间x(min)之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$(30,27)$、$(150,39)$代入表达式得：
$\begin{cases} 30k+b=27\\150k+b=39 \end{cases}$
两式相减消去b得$120k=12$，解得$k=0.1$；将$k=0.1$代入$30k+b=27$，得$3+b=27$，解得$b=24$。
因此乙套餐的函数表达式为$y=0.1x+24$。
(3) 两函数交点为$C(150,39)$，即通话时间为150min时两种套餐资费相同。当$x＜150$时，甲套餐的图象在乙下方，资费更低；当$x＞150$时，乙套餐的图象在甲下方，资费更低。
【答案】
(1) 通话时间不超过30 min 时手机资费为 9 元；
(2) $y=0.1x+24$；
(3) 当通话时间不超过150 min时，选择甲种手机资费套餐更合算；当通话时间超过150 min时，选择乙种手机资费套餐更合算。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；方案决策
【点评】
本题以生活中的手机资费问题为背景，既考查了学生解读函数图象、求解一次函数解析式的基础能力，也考查了学生结合实际需求选择最优方案的应用能力，贴合生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.7
