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1.(教材P30练习T3变式)(2024－2025·池州贵池区期末)下列图象中,能表示y是x的函数的是 (
D
) 答案
1.D
解析
【分析】
要判断图象中y是否是x的函数，首先明确函数的核心定义：在自变量x的取值范围内，任意一个确定的x值，都有且只有唯一确定的y值与之对应。我们可以用“竖线检验法”快速判断：作垂直于x轴的直线，若该直线与图象最多只有1个交点，就满足y是x的函数，反之则不满足，接下来用该方法逐一检验四个选项即可。
【解析】
使用“竖线检验法”逐个分析选项：
1. 选项A：作垂直于x轴的直线，会与图中两条直线各产生1个交点，即1个x值对应2个y值，不符合函数定义，排除；
2. 选项B：取0到半圆右端点之间的任意x值，作垂直于x轴的直线，会与半圆有上下2个交点，即1个x值对应2个y值，不符合函数定义，排除；
3. 选项C：取x＞0的任意值，作垂直于x轴的直线，会与抛物线有上下2个交点，即1个x值对应2个y值，不符合函数定义，排除；
4. 选项D：任意作垂直于x轴的直线，与图象都只有1个交点，即每个确定的x值都对应唯一的y值，符合函数定义。
【答案】
D
【知识点】
函数的定义；函数图象识别
【点评】
本题是函数概念的基础应用题，核心是掌握函数定义中“x的每一个确定值对应唯一y值”的要求，学会用竖线检验法快速判断即可解题，是函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断图象中y是否是x的函数，首先明确函数的核心定义：在自变量x的取值范围内，任意一个确定的x值，都有且只有唯一确定的y值与之对应。我们可以用“竖线检验法”快速判断：作垂直于x轴的直线，若该直线与图象最多只有1个交点，就满足y是x的函数，反之则不满足，接下来用该方法逐一检验四个选项即可。
【解析】
使用“竖线检验法”逐个分析选项：
1. 选项A：作垂直于x轴的直线，会与图中两条直线各产生1个交点，即1个x值对应2个y值，不符合函数定义，排除；
2. 选项B：取0到半圆右端点之间的任意x值，作垂直于x轴的直线，会与半圆有上下2个交点，即1个x值对应2个y值，不符合函数定义，排除；
3. 选项C：取x＞0的任意值，作垂直于x轴的直线，会与抛物线有上下2个交点，即1个x值对应2个y值，不符合函数定义，排除；
4. 选项D：任意作垂直于x轴的直线，与图象都只有1个交点，即每个确定的x值都对应唯一的y值，符合函数定义。
【答案】
D
【知识点】
函数的定义；函数图象识别
【点评】
本题是函数概念的基础应用题，核心是掌握函数定义中“x的每一个确定值对应唯一y值”的要求，学会用竖线检验法快速判断即可解题，是函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
2.某数学气象小组为了较直观地了解当地某一天24 h的气温与时间的关系,可选择的比较好的方法是 (
A.列表法
B.图象法
C.解析法
D.以上三种方法均可
B
)A.列表法
B.图象法
C.解析法
D.以上三种方法均可
答案
2.B
解析
【分析】
首先明确函数三种表示方法（列表法、图象法、解析法）各自的特点，再结合题干“较直观地了解24h气温与时间的关系”的需求匹配合适的方法：列表法仅能呈现离散的对应数据，无法直观展现整体变化规律；解析法需要写出变量的函数关系式，不仅很难精准拟合一天的气温变化，也无法直观呈现变化趋势；图象法可直观展示气温随时间的升降变化规律，符合题干“直观”的要求，由此确定答案。
【解析】
函数的三种表示方法各有适用场景：
1. 列表法：可清晰呈现特定时间对应的气温数值，但无法直观反映全天24小时气温的整体变化趋势，不符合“直观了解关系”的要求；
2. 解析法：需用代数式表示气温和时间的函数关系，很难精准写出一天24小时气温的变化解析式，也不能直观呈现变化规律，不符合要求；
3. 图象法：能够直观、形象地展现气温随时间的变化趋势，满足题干“较直观了解二者关系”的需求。
因此选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
函数的表示方法；表示法的适用场景
【点评】
本题考查函数三种表示方法的特点，解题时只需结合题干需求匹配对应表示方法的优势即可，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.9
首先明确函数三种表示方法（列表法、图象法、解析法）各自的特点，再结合题干“较直观地了解24h气温与时间的关系”的需求匹配合适的方法：列表法仅能呈现离散的对应数据，无法直观展现整体变化规律；解析法需要写出变量的函数关系式，不仅很难精准拟合一天的气温变化，也无法直观呈现变化趋势；图象法可直观展示气温随时间的升降变化规律，符合题干“直观”的要求，由此确定答案。
【解析】
函数的三种表示方法各有适用场景：
1. 列表法：可清晰呈现特定时间对应的气温数值，但无法直观反映全天24小时气温的整体变化趋势，不符合“直观了解关系”的要求；
2. 解析法：需用代数式表示气温和时间的函数关系，很难精准写出一天24小时气温的变化解析式，也不能直观呈现变化规律，不符合要求；
3. 图象法：能够直观、形象地展现气温随时间的变化趋势，满足题干“较直观了解二者关系”的需求。
因此选择B选项。
【答案】
B
【知识点】
函数的表示方法；表示法的适用场景
【点评】
本题考查函数三种表示方法的特点，解题时只需结合题干需求匹配对应表示方法的优势即可，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.9
3.(2024·江西中考)将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水(恒温)中，温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为 (
C
)答案
3.C
解析
【分析】
解决这类函数图象实际应用题，首先要明确横纵轴的含义：本题横轴x是时间，纵轴y是温度计读数。接下来梳理实际过程的温度变化规律：①初始阶段：温度计原本处于常温，读数低于60℃；②升温阶段：插入60℃的恒温热水后，温度计吸收热量，读数随时间增加逐渐升高；③恒温阶段：当温度计读数和热水温度相等后，因为热水温度恒定，温度计读数将保持不变，对应图象会出现水平段。根据这个变化趋势就可以逐一排除错误选项。
【解析】
我们结合温度变化规律分析各选项：
选项A：图象显示温度一直匀速升高，没有最终保持恒定的阶段，不符合温度计最终温度等于水温后不再变化的特点，错误；
选项B：图象显示温度上升速度越来越快，且始终没有平稳阶段，不符合实际规律，错误；
选项C：图象显示温度先升高，升高的速度逐渐变慢，最终保持恒定，完全符合温度计插入恒温热水后的温度变化规律，正确；
选项D：图象显示温度升高后又下降，而热水是恒温的，温度计温度达到水温后不会降低，错误。
【答案】
C
【知识点】
函数图象识别，实际问题的函数表示
【点评】
本题结合生活常见的热传递现象考查函数图象的判断，解题核心是梳理清楚变量的变化趋势，需要学生将数学知识和生活常识结合起来分析，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解决这类函数图象实际应用题，首先要明确横纵轴的含义：本题横轴x是时间，纵轴y是温度计读数。接下来梳理实际过程的温度变化规律：①初始阶段：温度计原本处于常温，读数低于60℃；②升温阶段：插入60℃的恒温热水后，温度计吸收热量，读数随时间增加逐渐升高；③恒温阶段：当温度计读数和热水温度相等后，因为热水温度恒定，温度计读数将保持不变，对应图象会出现水平段。根据这个变化趋势就可以逐一排除错误选项。
【解析】
我们结合温度变化规律分析各选项：
选项A：图象显示温度一直匀速升高，没有最终保持恒定的阶段，不符合温度计最终温度等于水温后不再变化的特点，错误；
选项B：图象显示温度上升速度越来越快，且始终没有平稳阶段，不符合实际规律，错误；
选项C：图象显示温度先升高，升高的速度逐渐变慢，最终保持恒定，完全符合温度计插入恒温热水后的温度变化规律，正确；
选项D：图象显示温度升高后又下降，而热水是恒温的，温度计温度达到水温后不会降低，错误。
【答案】
C
【知识点】
函数图象识别，实际问题的函数表示
【点评】
本题结合生活常见的热传递现象考查函数图象的判断，解题核心是梳理清楚变量的变化趋势，需要学生将数学知识和生活常识结合起来分析，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
4.某学习小组在探究函数$y=2^x$的图象时，得到的数据如下表.
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ |
| $2$ | $4$ | $8$ | $···$ |
根据表格中的数据，画出此函数的图象应为（
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $···$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ |
| $2$ | $4$ | $8$ | $···$ |根据表格中的数据，画出此函数的图象应为（
A
）答案
4.A
解析
【分析】
要确定函数$y=2^x$的图象，我们可以按以下思路思考：第一步先补全表格中$x=0$时对应的$y$值，得到函数经过的特殊点；第二步分析函数的变化趋势、取值范围等特征；第三步将得到的特征和各个选项的图象对比，排除不符合的选项，最终选出正确答案。
【解析】
1. 计算特殊点的函数值：当$x=0$时，根据乘方的运算规则，$y=2^0=1$，因此该函数图象经过点$(0,1)$。
2. 分析函数特征：观察表格数据可知，$x$的值逐渐增大时，对应的$y$值也逐渐增大，所以函数图象从左到右呈上升趋势；同时无论$x$取何值，$y=2^x$的结果都大于0，因此图象全部位于$x$轴上方；且当$x＜0$时，$0＜y＜1$，当$x＞0$时，$y＞1$。
3. 比对选项：只有选项A的图象满足过点$(0,1)$、从左到右上升、全部在$x$轴上方的全部特征，其余选项均不符合上述特征。
【答案】
A
【知识点】
描点法画函数图象，函数图象特征识别，函数增减性判断
【点评】
本题考查函数图象的识别，解题的核心是先通过函数表达式和已知表格确定图象的关键特征，再对比选项进行筛选，属于基础类的图象识别题。
【难度系数】
0.8
要确定函数$y=2^x$的图象，我们可以按以下思路思考：第一步先补全表格中$x=0$时对应的$y$值，得到函数经过的特殊点；第二步分析函数的变化趋势、取值范围等特征；第三步将得到的特征和各个选项的图象对比，排除不符合的选项，最终选出正确答案。
【解析】
1. 计算特殊点的函数值：当$x=0$时，根据乘方的运算规则，$y=2^0=1$，因此该函数图象经过点$(0,1)$。
2. 分析函数特征：观察表格数据可知，$x$的值逐渐增大时，对应的$y$值也逐渐增大，所以函数图象从左到右呈上升趋势；同时无论$x$取何值，$y=2^x$的结果都大于0，因此图象全部位于$x$轴上方；且当$x＜0$时，$0＜y＜1$，当$x＞0$时，$y＞1$。
3. 比对选项：只有选项A的图象满足过点$(0,1)$、从左到右上升、全部在$x$轴上方的全部特征，其余选项均不符合上述特征。
【答案】
A
【知识点】
描点法画函数图象，函数图象特征识别，函数增减性判断
【点评】
本题考查函数图象的识别，解题的核心是先通过函数表达式和已知表格确定图象的关键特征，再对比选项进行筛选，属于基础类的图象识别题。
【难度系数】
0.8
5.(教材P30练习T1变式)用“列表－描点－连线”的方法画出函数$y=2x+1$的图象.
(1)列表:下表是$y$与$x$的几组对应值,请补充完整.
(2)描点连线:在平面直角坐标系中,将各点进行描点、连线,画出函数$y=2x+1$的图象.
(3)判断点$(\dfrac{7}{2},8),(-\dfrac{4}{3},-\dfrac{5}{3}),(-4,5)$是否在函数$y=2x+1$的图象上.
(4)若点$(m,-\dfrac{1}{2})$在函数$y=2x+1$的图象上,则$m$的值为
(1)列表:下表是$y$与$x$的几组对应值,请补充完整.
(2)描点连线:在平面直角坐标系中,将各点进行描点、连线,画出函数$y=2x+1$的图象.
(3)判断点$(\dfrac{7}{2},8),(-\dfrac{4}{3},-\dfrac{5}{3}),(-4,5)$是否在函数$y=2x+1$的图象上.
(4)若点$(m,-\dfrac{1}{2})$在函数$y=2x+1$的图象上,则$m$的值为
$-\dfrac{3}{4}$
.答案
5.解:(1)$-1$ $1$ $5$
(2)如图所示
.(3)当$x=\dfrac{7}{2}$时,$y=2× \dfrac{7}{2}+1=8$;当$x=-\dfrac{4}{3}$时,$y=2× (-\dfrac{4}{3})+1=-\dfrac{5}{3}$;当$x=-4$时,$y=2×(-4)+1=-7≠5$.所以点$(\dfrac{7}{2},8),(-\dfrac{4}{3},-\dfrac{5}{3})$在函数$y=2x+1$的图象上,点$(-4,5)$不在函数$y=2x+1$的图象上.
(4)$-\dfrac{3}{4}$
解析
【分析】
1. 第(1)问补全列表：只需将对应x值代入函数解析式$y=2x+1$，计算得到y值即可完成填空。
2. 第(2)问描点连线：先根据列表得到的坐标，在坐标系中标记出所有对应点，再用平滑的直线将这些点依次连接，即可得到函数图象。
3. 第(3)问判断点是否在函数图象上：核心依据是“若点在函数图象上，则点的坐标一定满足函数解析式”，将各点的横坐标代入解析式计算y值，和点的纵坐标对比，相等则点在图象上，不等则不在。
4. 第(4)问求m的值：已知点在函数图象上，说明点坐标满足解析式，将点的纵坐标代入解析式，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 将对应x值代入$y=2x+1$计算：
当$x=-1$时，$y=2×(-1)+1=-1$；当$x=0$时，$y=2×0+1=1$；当$x=2$时，$y=2×2+1=5$，因此依次填入$-1$、$1$、$5$。
(2) 根据列表得到的坐标在平面直角坐标系中描出各点，用直线依次连接各点，所得图象如下：
(3) 分别将三个点的横坐标代入解析式验证：
① 当$x=\dfrac{7}{2}$时，$y=2×\dfrac{7}{2}+1=8$，和点的纵坐标相等，故点$(\dfrac{7}{2},8)$在函数图象上；
② 当$x=-\dfrac{4}{3}$时，$y=2×(-\dfrac{4}{3})+1=-\dfrac{5}{3}$，和点的纵坐标相等，故点$(-\dfrac{4}{3},-\dfrac{5}{3})$在函数图象上；
③ 当$x=-4$时，$y=2×(-4)+1=-7\ne5$，和点的纵坐标不相等，故点$(-4,5)$不在函数图象上。
(4) $\because$点$(m,-\dfrac{1}{2})$在函数$y=2x+1$的图象上
$\therefore$将$y=-\dfrac{1}{2}$代入解析式得：$2m+1=-\dfrac{1}{2}$
移项计算得：$2m=-\dfrac{3}{2}$
解得：$m=-\dfrac{3}{4}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{5}$
(2) 如图所示
(3) 点$(\dfrac{7}{2},8)$、$(-\dfrac{4}{3},-\dfrac{5}{3})$在函数$y=2x+1$的图象上，点$(-4,5)$不在函数$y=2x+1$的图象上
(4) $\boldsymbol{-\dfrac{3}{4}}$
【知识点】
一次函数图象画法；点与函数图象的关系；一次函数求值
【点评】
本题是函数部分的基础题型，围绕一次函数图象的绘制、点与函数图象的关系设题，解题的核心是牢记“点在函数图象上等价于点坐标满足函数解析式”这一结论，计算时注意有理数运算的符号问题，避免失误。
【难度系数】
0.9
1. 第(1)问补全列表：只需将对应x值代入函数解析式$y=2x+1$，计算得到y值即可完成填空。
2. 第(2)问描点连线：先根据列表得到的坐标，在坐标系中标记出所有对应点，再用平滑的直线将这些点依次连接，即可得到函数图象。
3. 第(3)问判断点是否在函数图象上：核心依据是“若点在函数图象上，则点的坐标一定满足函数解析式”，将各点的横坐标代入解析式计算y值，和点的纵坐标对比，相等则点在图象上，不等则不在。
4. 第(4)问求m的值：已知点在函数图象上，说明点坐标满足解析式，将点的纵坐标代入解析式，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 将对应x值代入$y=2x+1$计算：
当$x=-1$时，$y=2×(-1)+1=-1$；当$x=0$时，$y=2×0+1=1$；当$x=2$时，$y=2×2+1=5$，因此依次填入$-1$、$1$、$5$。
(2) 根据列表得到的坐标在平面直角坐标系中描出各点，用直线依次连接各点，所得图象如下：
(3) 分别将三个点的横坐标代入解析式验证：
① 当$x=\dfrac{7}{2}$时，$y=2×\dfrac{7}{2}+1=8$，和点的纵坐标相等，故点$(\dfrac{7}{2},8)$在函数图象上；
② 当$x=-\dfrac{4}{3}$时，$y=2×(-\dfrac{4}{3})+1=-\dfrac{5}{3}$，和点的纵坐标相等，故点$(-\dfrac{4}{3},-\dfrac{5}{3})$在函数图象上；
③ 当$x=-4$时，$y=2×(-4)+1=-7\ne5$，和点的纵坐标不相等，故点$(-4,5)$不在函数图象上。
(4) $\because$点$(m,-\dfrac{1}{2})$在函数$y=2x+1$的图象上
$\therefore$将$y=-\dfrac{1}{2}$代入解析式得：$2m+1=-\dfrac{1}{2}$
移项计算得：$2m=-\dfrac{3}{2}$
解得：$m=-\dfrac{3}{4}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{5}$
(2) 如图所示
(3) 点$(\dfrac{7}{2},8)$、$(-\dfrac{4}{3},-\dfrac{5}{3})$在函数$y=2x+1$的图象上，点$(-4,5)$不在函数$y=2x+1$的图象上
(4) $\boldsymbol{-\dfrac{3}{4}}$
【知识点】
一次函数图象画法；点与函数图象的关系；一次函数求值
【点评】
本题是函数部分的基础题型，围绕一次函数图象的绘制、点与函数图象的关系设题，解题的核心是牢记“点在函数图象上等价于点坐标满足函数解析式”这一结论，计算时注意有理数运算的符号问题，避免失误。
【难度系数】
0.9
6.某游泳池水深20 dm,现需换水,每小时水位下降5 dm,那么水位下降后的高度h(dm)与时间t(h)之间的关系用图象表示为（
）
能力提升 整合运用
）能力提升 整合运用
答案
6.D
解析
【分析】
首先明确水位高度h随时间t的变化趋势：初始水位为20dm，每小时下降5dm，因此h随t的增大而减小，可先排除水位上升的选项A和水位不变的选项C。接下来结合实际意义分析变量取值范围：水位高度h不能为负数，先计算水位降至0的时间为$20÷5=4\mathrm{h}$，即时间t的取值范围是$0≤ t≤4$，对应h的取值范围是$0≤ h≤20$，因此函数图象是第一象限内连接$(0,20)$和$(4,0)$的线段，据此判断正确选项即可。
【解析】
1. 列函数关系式：初始水位20dm，每小时下降5dm，因此水位高度h与时间t的函数关系为$h=20-5t$。
2. 确定变量取值范围：时间t是非负数，即$t≥0$；同时水位高度不能为负，即$h=20-5t≥0$，解得$t≤4$，因此t的取值范围为$0≤ t≤4$。
3. 匹配图象：该函数图象为第一象限内的线段，起点为$(0,20)$，终点为$(4,0)$。对比选项，A为上升直线、C为水平直线，均不符合变化趋势；B为无取值范围限制的直线，延伸至第四象限后h为负，不符合实际意义；只有D符合上述特征。
【答案】
D
【知识点】
函数图象判断、自变量取值范围、一次函数实际应用
【点评】
本题考查实际问题中的函数图象识别，解题时可先通过变化趋势排除明显错误选项，再结合实际意义确定变量的取值范围，注意不要忽略水位、时间不能为负数的实际限制，避免误选无取值范围限制的直线图象。
【难度系数】
0.8
首先明确水位高度h随时间t的变化趋势：初始水位为20dm，每小时下降5dm，因此h随t的增大而减小，可先排除水位上升的选项A和水位不变的选项C。接下来结合实际意义分析变量取值范围：水位高度h不能为负数，先计算水位降至0的时间为$20÷5=4\mathrm{h}$，即时间t的取值范围是$0≤ t≤4$，对应h的取值范围是$0≤ h≤20$，因此函数图象是第一象限内连接$(0,20)$和$(4,0)$的线段，据此判断正确选项即可。
【解析】
1. 列函数关系式：初始水位20dm，每小时下降5dm，因此水位高度h与时间t的函数关系为$h=20-5t$。
2. 确定变量取值范围：时间t是非负数，即$t≥0$；同时水位高度不能为负，即$h=20-5t≥0$，解得$t≤4$，因此t的取值范围为$0≤ t≤4$。
3. 匹配图象：该函数图象为第一象限内的线段，起点为$(0,20)$，终点为$(4,0)$。对比选项，A为上升直线、C为水平直线，均不符合变化趋势；B为无取值范围限制的直线，延伸至第四象限后h为负，不符合实际意义；只有D符合上述特征。
【答案】
D
【知识点】
函数图象判断、自变量取值范围、一次函数实际应用
【点评】
本题考查实际问题中的函数图象识别，解题时可先通过变化趋势排除明显错误选项，再结合实际意义确定变量的取值范围，注意不要忽略水位、时间不能为负数的实际限制，避免误选无取值范围限制的直线图象。
【难度系数】
0.8
