4. 作图题.

(1)如图①是$4×4$的正方形网格,请在其中选取一个白色的正方形涂上阴影,使阴影部分为中心对称图形;
(2)如图②是边长均为1个单位长度的正方形网格,以点A为旋转中心,将$△ ABC$逆时针旋转$90°$,画出旋转后的$△ A_1B_1C_1$;
(3)如图③是边长均为1个单位长度的正方形网格,A,B,C,O都是格点,作$△ ABC$关于点O的中心对称图形$△ A_2B_2C_2$.

4. (1)所作图形如图①所示.
(2)所作$△ A_1B_1C_1$ 如图②所示.
(3)所作$△ A_2B_2C_2$ 如图③所示.

5. 请阅读下列材料,完成相应的任务:
在△ABC所在平面内求一点P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小(如图①).这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的,所求的点被人们称为“费马点”.解决方法如下:
(1)如图②,把△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP₁C₁(点P,C的对应点分别为点P₁,C₁),连接PP₁.当B,P,P₁,C₁四点在同一条直线上时,点P是△ABC的“费马点”.

证明过程如下:
由旋转可知△APC≌△AP₁C₁,
则P₁C₁=PC,AP=AP₁.
∵ ∠PAP₁=,
∴ △APP₁为等边三角形.
∴ .
∴ PA+PB+PC=PP₁+PB+P₁C₁.
∴ 当B,P,P₁,C₁四点在同一条直线上时,PA+PB+PC的值最小,即P是△ABC的“费马点”.
(2)如图③,已知锐角三角形ABC,分别以AB,AC为边向外作正三角形ABE和正三角形ACD,连接CE,BD相交于点P,CE交AB于点M,BD交AC于点N.求∠CPD的度数.(经过一定的证明我们可知所得点P也是△ABC的“费马点”.)
(3)如图④所示,△ABC是学校教学楼前面的草坪,王校长准备在草坪地底下安装一个水管总接头P,然后从总接头P分别向顶点A,B,C布设三根滴灌水管,现测得∠A=75°,AB=20√2 m,AC=40 m,求滴灌水管总长度的最小值.

5. (1)$60°\ \ \ PA=PP_1=AP_1$
(2)$\because \quad △ AEB$ 和 $△ ADC$ 均为等边三角形,
$\therefore \quad EA=EB=AB,AD=AC=DC,∠ EAB=∠ DAC=60°.$
$\therefore \quad ∠ EAB+∠ BAC=∠ DAC+∠ BAC$,即$∠ EAC=∠ BAD.$
在$△ EAC$ 和$△ BAD$ 中,
$\begin{cases} EA=BA, \\ ∠ EAC=∠ BAD, \\ AC=AD, \end{cases}$
$\therefore \quad △ EAC ≌ △ BAD(\mathrm{SAS}).$
$\therefore \quad ∠ ACE=∠ ADB.$
设$∠ ACE=∠ ADB=α$,则$∠ PCD=60°+α,∠ PDC=60°-α.$
由三角形内角和定理可得,$∠ CPD=180°-∠ PDC-∠ PCD=180°-(60°+α)-(60°-α)=60°.$
(3)如图,设$△ ABC$的“费马点”为$P$,连接$PA,PB,PC$,将$△ CAP$绕点$A$逆时针旋转$60°$得到$△ C'AP'$.连接$PP'$,当$B,P,P',C'$四点共线时,$PA+PB+PC$的值最小,最小值为$BC'$. 过点 $C'$作 $C'D ⊥ BA$,交 $BA$ 的延长线于点 $D$.
由旋转的性质可得$∠ CAC'=60°,AC'=AC=40\ \mathrm{m}.$
$\because \quad ∠ BAC=75°,$
$\therefore \quad ∠ C'AD=180°-∠ CAC'-∠ BAC=45°.$
$\therefore \quad △ C'DA$ 是等腰直角三角形.
$\therefore \quad AD=C'D=\frac{\sqrt{2}}{2}AC'=\frac{\sqrt{2}}{2}AC=20\sqrt{2}\ \mathrm{m}.$
$\therefore \quad BD=AB+AD=20\sqrt{2}+20\sqrt{2}=40\sqrt{2}\ (\mathrm{m}).$
在$\mathrm{Rt}△ BDC'$中,由勾股定理,得 $BC'=\sqrt{BD^2+C'D^2}=\sqrt{(40\sqrt{2})^2+(20\sqrt{2})^2}=20\sqrt{10}\ (\mathrm{m}),$
即滴灌水管总长度的最小值为 $20\sqrt{10}\ \mathrm{m}.$