1. 跨学科题 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是 （）

1. C

【分析】
要判断哪个仪器是轴对称图形，首先明确轴对称图形的判断标准：平面内沿某一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。接下来对照这个标准，逐一分析四个选项里的仪器结构，排除不符合的选项，就能得到正确答案。
【解析】
根据轴对称图形的定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形。
选项A：蒸馏烧瓶侧面带有支管，沿任意直线折叠都无法使两侧部分完全重合，不属于轴对称图形；
选项B：分液漏斗下部有突出的活塞旋钮，沿中线折叠时旋钮部分无法重合，不属于轴对称图形；
选项C：带橡胶塞的广口瓶沿竖直中线折叠时，左右两侧的部分可以完全重合，属于轴对称图形；
选项D：洗气瓶内的两根导管一长一短，沿中线折叠时导管部分无法重合，不属于轴对称图形。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的判定、常见化学仪器识别
【点评】
本题属于跨学科融合题型，结合化学实验常用仪器的结构，考查轴对称图形的判定方法，解题时只需紧扣轴对称图形的核心判断标准，结合仪器结构特点逐一排查即可。
【难度系数】
0.8

2. 观察图①~④中的左右两个图形，它们是否成轴对称？如果是，请画出其对称轴。

2. 【解】题图①②③中的左右两个图形成轴对称，题图④中的左右两个图形不成轴对称。题图①②③中成轴对称的两个图形的对称轴如图所示。

【分析】
要判断两组图形是否成轴对称，首先明确成轴对称的判定规则：若存在一条直线，使得两个图形沿这条直线对折后能够完全重合，则这两个图形成轴对称。解题时先逐个观察4组图形，先看外部轮廓对折是否能重合，再核对内部细节（比如图案、纹路）是否也能重合，对于成轴对称的图形，找到的这条对折线就是它的对称轴，画出即可。
【解析】
根据成轴对称的定义依次判断：
1. 观察题图①：左右两个扇形（含内部图案）沿中间竖直直线对折后可以完全重合，因此左右两个图形成轴对称；
2. 观察题图②：左右两个五边形沿中间竖直直线对折后可以完全重合，因此左右两个图形成轴对称；
3. 观察题图③：左右两个椭圆沿中间竖直直线对折后可以完全重合，因此左右两个图形成轴对称；
4. 观察题图④：左右两个叶片的叶脉纹路不对称，沿任何直线对折都无法完全重合，因此左右两个图形不成轴对称。
其中①②③的对称轴为两组图形中间的竖直直线，绘制结果见答案图示。
【答案】
题图①②③中的左右两个图形成轴对称，题图④中的左右两个图形不成轴对称。题图①②③中成轴对称的两个图形的对称轴如图所示。
【知识点】
轴对称的判定，对称轴的画法
【点评】
本题考查轴对称的基础概念，判断时需要同时关注图形的外部轮廓和内部细节，避免因忽略内部纹路、图案的差异出现判断错误。
【难度系数】
0.8

3. 如图，$△ ABC$和$△ ADE$关于直线$l$对称，连接$BE$,$CD$,$CE$,有下列结论：
①$l$垂直平分$CE$；②$∠ BAE=∠ DAC$；③$△ BCE≌△ DEC$；④直线$BC$,$DE$的交点一定在$l$上，其中正确的个数为.

3. 4

【分析】
解决本题的核心是运用轴对称的性质，结合全等三角形的判定逐一验证每个结论：首先明确两个成轴对称的图形，对应点连线被对称轴垂直平分，对应边、对应角相等，对应线段所在直线的交点在对称轴上；再通过角的和差关系、全等三角形判定定理分别判断4个结论是否成立即可。
【解析】
已知$△ ABC$和$△ ADE$关于直线$l$对称，根据轴对称的性质可得：点$C$与点$E$是对应点，点$B$与点$D$是对应点，对应边$AB=AD$、$AC=AE$、$BC=DE$，对应角$∠ BAC=∠ DAE$，对称轴垂直平分对应点的连线，对应线段所在直线的交点在对称轴上。
1. 验证结论①：$C$、$E$为对应点，因此对称轴$l$垂直平分$CE$，①正确；
2. 验证结论②：由$∠ BAC=∠ DAE$，等式两边同时加$∠ CAE$，可得$∠ BAC+∠ CAE=∠ DAE+∠ CAE$，即$∠ BAE=∠ DAC$，②正确；
3. 验证结论③：在$△ ABE$和$△ ADC$中，$\{\begin{array}{l}AB=AD\\∠ BAE=∠ DAC\\AE=AC\end{array} $，因此$△ ABE≌△ ADC(\mathrm{SAS})$，可得$BE=CD$；在$△ BCE$和$△ DEC$中，$\{\begin{array}{l}BC=DE\\BE=CD\\CE=EC\end{array} $，因此$△ BCE≌△ DEC(\mathrm{SSS})$，③正确；
4. 验证结论④：$BC$和$DE$是成轴对称的对应线段，因此它们所在直线的交点一定在对称轴$l$上，④正确。
综上，4个结论都正确。
【答案】
4
【知识点】
轴对称的性质，全等三角形的判定
【点评】
本题是轴对称性质的综合应用题，需要熟练掌握轴对称的相关性质，结合全等三角形的判定方法对每个结论逐一推导，注意不要遗漏对称的隐含性质。
【难度系数】
0.7

4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC=70°$，$∠ C=40°$，分别以点A和点C为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则$∠ BAD$的大小为。

4. $30°$

【分析】
首先观察题中的尺规作图步骤，该作图是作线段AC的垂直平分线，由此可得MN是AC的垂直平分线；再根据线段垂直平分线的性质，可知点D到A、C的距离相等，即AD=CD，进而得到△ADC是等腰三角形，利用等边对等角可求出∠DAC的度数；最后结合已知的∠BAC的度数，用∠BAC减去∠DAC即可得到∠BAD的大小。
【解析】
解：由尺规作图的方法可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，
∵点D在MN上，
∴AD=CD，
∴∠DAC=∠C=40°，
又
∵∠BAC=70°，
∴∠BAD=∠BAC - ∠DAC=70°-40°=30°。
【答案】
$30°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角的和差计算
【点评】
本题解题关键是先识别尺规作图的类型，得到线段的垂直平分线，再结合等腰三角形的性质转化角的关系，进而计算出所求角的度数，是几何中常见的基础题型。
【难度系数】
0.7

5. [2026 朔州期末] 如图，AP为$△ ABC$的角平分线，$∠ C=90°$，$\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$，$BC=6$，$D$为$AB$上一动点，连接$PD$，则$PD$的最小值为。

5. $\frac{5}{3}$ 【点拨】如图，过点 $P$ 作 $PE ⊥ AB$ 于点 $E$，$\because AP$ 为 $△ ABC$ 的角平分线，$∠ C=90°$，$\therefore PC=PE$，
$\therefore \frac{S_{△ ACP}}{S_{△ ABP}} = \frac{\frac{1}{2}AC · PC}{\frac{1}{2}AB · PE} = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13}.$ $\because \frac{S_{△ ACP}}{S_{△ ABP}} = \frac{\frac{1}{2}PC · AC}{\frac{1}{2}PB · AC} = \frac{PC}{PB}, \therefore \frac{PC}{PB} = \frac{5}{13}.$ 设 $PC=5k$, 则 $PB=13k$,
$\because PC + PB = BC = 6, \therefore 5k + 13k = 6$, 解得 $k = \frac{1}{3}$,
$\therefore PE=PC=\frac{5}{3}.$ $\because D$ 为 $AB$ 上一动点，$\therefore$ 当 $PD ⊥ AB$ 时，$PD$ 有最小值，此时点 $D$ 与点 $E$ 重合，
$\therefore PD$ 的最小值为 $\frac{5}{3}.$

【分析】
要解决AB上动点D到点P的最短距离问题，首先根据“垂线段最短”可知，当PD⊥AB时PD取得最小值，因此问题转化为求点P到AB的垂线段长度。已知AP是角平分线，结合角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得点P到AB的距离等于点P到AC的距离即PC的长度，接下来只需算出PC的长度即可。计算PC时，可通过△ACP和△ABP的面积比建立PC与PB的比例关系，再结合BC的长度列方程求解。
【解析】
过点$P$作$PE ⊥ AB$于点$E$，
$\because AP$为$△ ABC$的角平分线，$∠ C=90°$（即$PC⊥AC$），根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，$\therefore PC=PE$。
首先计算$△ACP$与$△ABP$的面积比：
一方面，以AC、AB为底，两个三角形的高分别为PC、PE，因此$\frac{S_{△ ACP}}{S_{△ ABP}} = \frac{\frac{1}{2}AC · PC}{\frac{1}{2}AB · PE} = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13}$；
另一方面，以PC、PB为底，两个三角形的高均为点A到BC的距离即AC，因此$\frac{S_{△ ACP}}{S_{△ ABP}} = \frac{\frac{1}{2}PC · AC}{\frac{1}{2}PB · AC} = \frac{PC}{PB}$。
联立可得$\frac{PC}{PB} = \frac{5}{13}$，设$PC=5k$，则$PB=13k$，
$\because PC + PB = BC = 6$，$\therefore 5k + 13k = 6$，解得 $k = \frac{1}{3}$，
$\therefore PE=PC=5×\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$。
$\because D$为$AB$上一动点，根据垂线段最短，当$PD ⊥ AB$时，$PD$有最小值，此时点$D$与点$E$重合，
$\therefore PD$的最小值为$\frac{5}{3}$。
【答案】
$\frac{5}{3}$

【知识点】
1.垂线段最短 2.角平分线的性质 3.三角形面积计算
【点评】
本题将最值问题、角平分线性质与三角形面积关系结合考查，解题突破口是利用垂线段最短将动态最值转化为静态线段长度求解，同时巧妙借助面积比得到线段比例关系，是几何综合应用的典型基础题，有助于提升知识融合运用的能力。
【难度系数】
0.6

6. [2026西安期末] 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，点$E,F$分别是边$AB,AC$上的动点，将$△ ABC$沿$EF$折叠，使点$A$落在直角边$BC$上的$D$点处，如果折叠后$△ CDF$与$△ BDE$均为等腰三角形，那么$∠ B=$.

6. $45°$或$30°$ 【点拨】连接 $AD$, $\because$ 在 $△ CDF$ 中，$∠ ACB=90°$, 且 $△ CDF$ 是等腰三角形，
$\therefore CF=CD, \therefore ∠ CFD=∠ CDF=45°$, 设 $∠ DAE=x°$, 由对称性可知，$AF=FD, AE=DE$,
$\therefore ∠ FDA=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ CFD=22.5°, ∠ DEB=2x°.$
①如图①，当 $DE=DB$ 时，$∠ B=∠ DEB=2x°$,

由 $∠ CDE=∠ DEB+∠ B$, 得 $45°+22.5°+x°=4x°$, 解得 $x=22.5$. $\therefore ∠ B=2x°=45°$. ②如图②，当 $BD=BE$ 时，$∠ B=(180-4x)°$, $∠ CAD=22.5°$. 由 $∠ CDE=∠ DEB+∠ B$ 得，$45°+22.5°+x°=2x°+180°-4x°$, 解得 $x=37.5$, $\therefore ∠ B=(180-4x)°=30°$. ③当 $DE=BE$ 时，则 $∠ B=\frac{1}{2}(180-2x)°$, 由 $∠ CDE=∠ DEB+∠ B$ 得，
$45°+22.5°+x°=2x°+\frac{1}{2}(180-2x)°$, 此方程无解.
$\therefore DE=BE$ 不成立. 综上所述，$∠ B=45°$ 或 $30°$.

【分析】
解决本题首先要利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，第一步先分析Rt△CDF是等腰三角形的情况：因为∠C=90°，所以等腰△CDF中只能是CF=CD，可算出∠CFD=∠CDF=45°；第二步设∠DAE=x°，结合折叠对称性，将△BDE的内角用含x的式子表示；第三步对等腰△BDE分三类讨论（DE=DB、BD=BE、DE=BE），结合三角形外角的性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”列方程求解，排除无解的情况即可得到∠B的度数。
【解析】
连接AD，
∵ 在△CDF中，∠ACB=90°，且△CDF是等腰三角形，
∴ CF=CD，
∴ ∠CFD=∠CDF=45°，
设∠DAE=x°，由折叠的对称性可知，AF=FD，AE=DE，
∴ ∠FDA=∠CAD=½∠CFD=22.5°，∠DEB=2x°。
分三种情况讨论等腰△BDE：
① 如图①，当DE=DB时，∠B=∠DEB=2x°，

由三角形外角性质得∠CDE=∠DEB+∠B，代入得：
45°+22.5°+x°=4x°，解得x=22.5，
∴ ∠B=2x°=45°。
② 如图②，当BD=BE时，∠B=(180-4x)°，
由三角形外角性质得∠CDE=∠DEB+∠B，代入得：
45°+22.5°+x°=2x°+180°-4x°，解得x=37.5，
∴ ∠B=(180-4x)°=30°。
③ 当DE=BE时，则∠B=½(180-2x)°，
由三角形外角性质得∠CDE=∠DEB+∠B，代入得：
45°+22.5°+x°=2x°+½(180-2x)°，化简后方程无解，故该情况不成立。
综上，∠B的度数为45°或30°。
【答案】
$45°$或$30°$
【知识点】
折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何折叠类的分类讨论题型，解题的突破口是先确定直角等腰△CDF的内角度数，再对等腰△BDE的腰长情况分类讨论，求解后要验证是否符合题意，避免出现增解或漏解的问题。
【难度系数】
0.5

7.如图，木工师傅从边长为 90 cm 的正三角形木板上锯出一个正六边形木板，那么正六边形木板的边长为。

7. 30 cm

【分析】
解题时先结合正三角形和正六边形的性质分析图形中角的度数，可推出三个角上的小三角形均为等边三角形，再根据等边三角形边长相等的性质，推导大正三角形边长与正六边形边长的关系，即可计算正六边形的边长。
【解析】
解：
∵原木板是边长为90cm的正三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=90cm。
∵锯出的图形是正六边形，
∴正六边形各边相等，每个内角均为120°，
∴∠AEF=∠AFE=180°-120°=60°，
∴△AEF是等边三角形，即AE=EF=AF。
同理可证△BDK、△CHG均为等边三角形，且小等边三角形的边长与正六边形边长相等。
由此可得大正三角形的边长等于3倍的正六边形边长，
∴正六边形的边长为90÷3=30（cm）。
【答案】
30 cm
【知识点】
等边三角形的性质与判定，正六边形的性质，等线段代换
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题的核心是结合特殊多边形的内角特点，判断出角上的小三角形为等边三角形，进而找到边长的数量关系，解题时注意结合图形分析边的对应关系即可。
【难度系数】
0.7

8. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ ABC=60°$,$BC=3\ \mathrm{cm}$,$CD=\frac{1}{3}BC$,动点$E$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度从$A$点出发,沿着$A\to B\to A$的方向运动.设$E$点的运动时间为$t\ \mathrm{s}(0＜t＜10)$,连接$DE$,当$△ BDE$是直角三角形时,$t$的值为.

8. 2 或 5 或 7 【点拨】$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$, $∠ ABC=60°$, $\therefore ∠ A=90°-∠ ABC=30°$. $\because BC=3\ \mathrm{cm}$,
$\therefore AB=2BC=6\ \mathrm{cm}$. $\because CD=\frac{1}{3}BC$, $\therefore BD=\frac{2}{3}BC=2\ \mathrm{cm}$. $\because$ 点 $E$ 以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度从 $A$ 点出发，沿着 $A\to B\to A$ 的方向运动，$\therefore$ 点 $E$ 从 $A$ 点运动到 $B$ 点所需的时间为 $\frac{6}{1}=6\ \mathrm{s}$, 则分以下两种情况：①当 $0＜t≤ 6$ 时，$AE=t\ \mathrm{cm}$, $BE=AB-AE=(6-t)\ \mathrm{cm}$, 当 $∠ EDB=90°$ 时，如图①，

$\because ∠ ABC=60°$, $\therefore ∠ DEB=90°-∠ ABC=30°$, $\therefore BE=2BD$, 即 $6-t=2× 2$, 解得 $t=2$, 符合题设；当 $∠ DEB=90°$ 时，如图②，$\because ∠ ABC=60°$, $\therefore ∠ EDB=90°-∠ ABC=30°$, $\therefore BD=2BE$, $\therefore 2=2(6-t)$, 解得 $t=5$, 符合题设；
②当 $6＜t＜10$ 时，$BE=t-AB=(t-6)\ \mathrm{cm}$, 当 $∠ EDB=90°$ 时，如图③，$\because ∠ ABC=60°$, $\therefore ∠ DEB=90°-∠ ABC=30°$, $\therefore BE=2BD$, $\therefore t-6=2× 2$, 解得 $t=10$, 不符合题设，舍去；当 $∠ DEB=90°$ 时，如图④，$\because ∠ ABC=60°$, $\therefore ∠ EDB=30°$, $\therefore BD=2BE$, 即 $2=2(t-6)$, 解得 $t=7$, 符合题设. 综上所述，$t$ 的值为 2 或 5 或 7.

【分析】
解决本题首先要先计算Rt△ABC的基本边长和线段BD的长度，确定点E运动的时间分界点：点E从A到B共需6s，因此分$0＜t≤6$（E从A向B运动）和$6＜t＜10$（E从B向A运动）两个阶段讨论。由于$∠ B=60°$不可能是直角，故$△ BDE$为直角三角形时分$∠ EDB=90°$和$∠ DEB=90°$两种情况，结合含30°角的直角三角形的性质列方程求解，最后验证解是否符合对应t的取值范围，舍去不合题意的解。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ABC=60°$，因此$∠ A=90°-∠ ABC=30°$。
已知$BC=3\ \mathrm{cm}$，根据含30°角的直角三角形性质，$AB=2BC=6\ \mathrm{cm}$。
因为$CD=\frac{1}{3}BC$，所以$BD=\frac{2}{3}BC=2\ \mathrm{cm}$。
点E的运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，从A到B的运动时间为$6÷1=6\ \mathrm{s}$，分两种情况讨论：
1. 当$0＜t≤6$时，$AE=t\ \mathrm{cm}$，$BE=AB-AE=(6-t)\ \mathrm{cm}$：
① 若$∠ EDB=90°$，如图①：
此时$∠ DEB=90°-∠ ABC=30°$，故$BE=2BD$，代入得$6-t=2×2$，解得$t=2$，符合取值范围；
② 若$∠ DEB=90°$，如图②：
此时$∠ EDB=90°-∠ ABC=30°$，故$BD=2BE$，代入得$2=2(6-t)$，解得$t=5$，符合取值范围；
2. 当$6＜t＜10$时，$BE=(t-6)\ \mathrm{cm}$：
① 若$∠ EDB=90°$，如图③：
同理可得$BE=2BD$，代入得$t-6=4$，解得$t=10$，不符合$6＜t＜10$的范围，舍去；
② 若$∠ DEB=90°$，如图④：
同理可得$BD=2BE$，代入得$2=2(t-6)$，解得$t=7$，符合取值范围。
综上，t的值为2或5或7。
【答案】
2或5或7
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，分类讨论思想，一元一次方程的应用
【点评】
本题是动点与直角三角形结合的常见题型，解题核心是按运动阶段、直角顶点两个维度分类讨论，求解后要验证解的取值范围，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.6

9.如图,AD为△ABC的角平分线,DE⊥AC于点E,DF⊥AB于点F,EF交AD于点M.求证:AD垂直平分EF.

9. 【证明】$\because AD$ 为 $△ ABC$ 的角平分线，$DE⊥ AC, DF⊥ AB$,
$\therefore ∠ FAD=∠ EAD, DE=DF.$
$\therefore$ 点 $D$ 在线段 $EF$ 的垂直平分线上.
在 $△ AFD$ 和 $△ AED$ 中，$\because ∠ AFD=∠ AED=90°$,
$∠ FAD=∠ EAD, AD=AD$,
$\therefore △ AFD≌△ AED(\mathrm{AAS}). \therefore AF=AE.$
$\therefore$ 点 $A$ 在线段 $EF$ 的垂直平分线上.
$\therefore AD$ 垂直平分 $EF$.

【分析】
要证明AD垂直平分EF，需依据线段垂直平分线的判定思路：只要证明直线AD上有两个不同的点，都到线段EF的两个端点E、F的距离相等，再结合两点确定一条直线，即可得到结论。首先利用角平分线的性质，可得DF=DE，推出点D在EF的垂直平分线上；再证明△AFD和△AED全等，得到AF=AE，推出点A也在EF的垂直平分线上，最终即可证得AD垂直平分EF。
【解析】
证明：
∵AD为△ABC的角平分线，$DE⊥AC$，$DF⊥AB$，
∴$∠FAD=∠EAD$，$DE=DF$，
∴点D在线段EF的垂直平分线上。
在△AFD和△AED中，
$\begin{cases}∠AFD=∠AED=90° \\∠FAD=∠EAD \\AD=AD\end{cases}$
∴$△AFD≌△AED(\mathrm{AAS})$，
∴$AF=AE$，
∴点A在线段EF的垂直平分线上。
∵两点确定一条直线，
∴AD垂直平分EF。
【答案】
证明：$\because AD$ 为 $△ ABC$ 的角平分线，$DE⊥ AC, DF⊥ AB$,
$\therefore ∠ FAD=∠ EAD, DE=DF.$
$\therefore$ 点 $D$ 在线段 $EF$ 的垂直平分线上.
在 $△ AFD$ 和 $△ AED$ 中，$\because ∠ AFD=∠ AED=90°$,
$∠ FAD=∠ EAD, AD=AD$,
$\therefore △ AFD≌△ AED(\mathrm{AAS}). \therefore AF=AE.$
$\therefore$ 点 $A$ 在线段 $EF$ 的垂直平分线上.
$\therefore AD$ 垂直平分 $EF$.
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于几何常规证明题，解题的关键是明确“一条直线上有两个点都在某线段的垂直平分线上，则这条直线就是该线段的垂直平分线”的逻辑，需要熟练掌握各相关定理的应用条件，保证证明过程的逻辑严谨性。
【难度系数】
0.6