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10. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC,BE\bot AC$于点$E$,$CD\bot AB$于点$D$,$BE,CD$相交于点$F$,连接$AF$.求证:$AF$平分$∠ BAC$.
答案
10. 【证明】$\because BE⊥ AC, CD⊥ AB, \therefore ∠ AEB=∠ ADC=90°.$
在 $△ AEB$ 和 $△ ADC$ 中，$\because \begin{cases}∠ AEB=∠ ADC,\\∠ BAE=∠ CAD,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ AEB≌△ ADC(\mathrm{AAS}). \therefore AE=AD.$
在 $\mathrm{Rt}△ AEF$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADF$ 中，$\because \begin{cases}AE=AD,\\AF=AF,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEF≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL}). \therefore ∠ EAF=∠ DAF,$
$\therefore AF$ 平分 $∠ BAC$.
在 $△ AEB$ 和 $△ ADC$ 中，$\because \begin{cases}∠ AEB=∠ ADC,\\∠ BAE=∠ CAD,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ AEB≌△ ADC(\mathrm{AAS}). \therefore AE=AD.$
在 $\mathrm{Rt}△ AEF$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADF$ 中，$\because \begin{cases}AE=AD,\\AF=AF,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEF≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL}). \therefore ∠ EAF=∠ DAF,$
$\therefore AF$ 平分 $∠ BAC$.
解析
【分析】
要证明AF平分∠BAC，即需证明∠EAF=∠DAF。观察可知∠EAF和∠DAF分别在Rt△AEF和Rt△ADF中，若能证明这两个直角三角形全等，即可得到对应角相等。要证Rt△AEF≌Rt△ADF，已有公共边AF=AF，还需证明直角边AE=AD。结合已知AB=AC，BE⊥AC、CD⊥AB的条件，可先通过AAS证明△AEB≌△ADC，得到AE=AD，再利用HL证明两个直角三角形全等，即可推导得到角相等，完成证明。
【解析】
证明：$\because BE⊥ AC, CD⊥ AB, \therefore ∠ AEB=∠ ADC=90°.$
在 $△ AEB$ 和 $△ ADC$ 中，
$\begin{cases}∠ AEB=∠ ADC,\\∠ BAE=∠ CAD,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ AEB≌△ ADC(\mathrm{AAS})$，可得 $AE=AD$.
在 $\mathrm{Rt}△ AEF$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADF$ 中，
$\begin{cases}AE=AD,\\AF=AF,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEF≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL})$，可得 $∠ EAF=∠ DAF$,
$\therefore AF$ 平分 $∠ BAC$.
【答案】
$AF$平分$∠ BAC$，得证
【知识点】
三角形全等判定，HL定理，全等三角形性质
【点评】
本题是全等三角形相关知识的基础综合应用题，可采用逆向思维从待证结论倒推所需条件，再结合已知条件逐步推导全等关系，解题关键是熟练掌握各类三角形全等的判定方法。
【难度系数】
0.7
要证明AF平分∠BAC，即需证明∠EAF=∠DAF。观察可知∠EAF和∠DAF分别在Rt△AEF和Rt△ADF中，若能证明这两个直角三角形全等，即可得到对应角相等。要证Rt△AEF≌Rt△ADF，已有公共边AF=AF，还需证明直角边AE=AD。结合已知AB=AC，BE⊥AC、CD⊥AB的条件，可先通过AAS证明△AEB≌△ADC，得到AE=AD，再利用HL证明两个直角三角形全等，即可推导得到角相等，完成证明。
【解析】
证明：$\because BE⊥ AC, CD⊥ AB, \therefore ∠ AEB=∠ ADC=90°.$
在 $△ AEB$ 和 $△ ADC$ 中，
$\begin{cases}∠ AEB=∠ ADC,\\∠ BAE=∠ CAD,\\AB=AC,\end{cases}$
$\therefore △ AEB≌△ ADC(\mathrm{AAS})$，可得 $AE=AD$.
在 $\mathrm{Rt}△ AEF$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADF$ 中，
$\begin{cases}AE=AD,\\AF=AF,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEF≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL})$，可得 $∠ EAF=∠ DAF$,
$\therefore AF$ 平分 $∠ BAC$.
【答案】
$AF$平分$∠ BAC$，得证
【知识点】
三角形全等判定，HL定理，全等三角形性质
【点评】
本题是全等三角形相关知识的基础综合应用题，可采用逆向思维从待证结论倒推所需条件，再结合已知条件逐步推导全等关系，解题关键是熟练掌握各类三角形全等的判定方法。
【难度系数】
0.7
11. 如图，B,E,C,F是直线$l$上的四点，AC,DE相交于点G，AB=DF，AC=DE，BC=EF.
(1)求证:$△ GEC$是等腰三角形；
(2)连接AD,则AD与$l$的位置关系是
(1)求证:$△ GEC$是等腰三角形；
(2)连接AD,则AD与$l$的位置关系是
AD// l
.答案
11. (1) 证明略
(2) $AD// l$ 【点拨】$\because AC=DE, EG=CG$,
$\therefore AC-CG=DE-EG$,
$\therefore AG=DG$,
$\therefore ∠ GAD=∠ GDA=\frac{1}{2}(180°-∠ AGD).$
$\because ∠ ACE=∠ DEF=\frac{1}{2}(180°-∠ CGE)$,
$∠ AGD=∠ CGE, \therefore ∠ CAD=∠ ACB$,
$\therefore AD// l.$
(2) $AD// l$ 【点拨】$\because AC=DE, EG=CG$,
$\therefore AC-CG=DE-EG$,
$\therefore AG=DG$,
$\therefore ∠ GAD=∠ GDA=\frac{1}{2}(180°-∠ AGD).$
$\because ∠ ACE=∠ DEF=\frac{1}{2}(180°-∠ CGE)$,
$∠ AGD=∠ CGE, \therefore ∠ CAD=∠ ACB$,
$\therefore AD// l.$
解析
【分析】
(1) 要证△GEC是等腰三角形，只需证明它有两个内角相等即可。首先观察已知给出三组对应边相等，可先通过SSS判定△ABC和△DFE全等，利用全等三角形对应角相等得到∠ACB=∠DEF，即可推出△GEC的两个底角相等，从而得证等腰。
(2) 判断AD与l的位置关系，结合(1)的结论EG=CG，结合已知AC=DE，可推出AG=DG，得到△AGD也为等腰三角形，再利用对顶角相等推导∠GAD和∠ACB相等，根据内错角相等两直线平行即可得到AD和l的位置关系。
【解析】
(1) 证明：在△ABC和△DFE中，
$\{\begin{array}{l}AB=DF\\AC=DE\\BC=EF\end{array} $
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB=∠DEF，即∠GCE=∠GEC，
∴EG=CG，
∴△GEC是等腰三角形。
(2) 推导：
∵AC=DE，EG=CG，
∴$AC - CG = DE - EG$，即$AG=DG$，
∴$∠ GAD=∠ GDA=\frac{1}{2}(180°-∠ AGD)$，
同理$∠ GCE=∠ GEC=\frac{1}{2}(180°-∠ CGE)$，
又
∵$∠ AGD=∠ CGE$（对顶角相等），
∴$∠ GAD=∠ GCE$，
∴$AD// l$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) △GEC是等腰三角形，证明成立；
(2) $\boldsymbol{AD// l}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题是几何综合基础题，解题突破口是先利用三边相等证明三角形全等得到等角，再结合等腰三角形的性质推导角的关系，最终判断直线的位置关系，能够较好地训练逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证△GEC是等腰三角形，只需证明它有两个内角相等即可。首先观察已知给出三组对应边相等，可先通过SSS判定△ABC和△DFE全等，利用全等三角形对应角相等得到∠ACB=∠DEF，即可推出△GEC的两个底角相等，从而得证等腰。
(2) 判断AD与l的位置关系，结合(1)的结论EG=CG，结合已知AC=DE，可推出AG=DG，得到△AGD也为等腰三角形，再利用对顶角相等推导∠GAD和∠ACB相等，根据内错角相等两直线平行即可得到AD和l的位置关系。
【解析】
(1) 证明：在△ABC和△DFE中，
$\{\begin{array}{l}AB=DF\\AC=DE\\BC=EF\end{array} $
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB=∠DEF，即∠GCE=∠GEC，
∴EG=CG，
∴△GEC是等腰三角形。
(2) 推导：
∵AC=DE，EG=CG，
∴$AC - CG = DE - EG$，即$AG=DG$，
∴$∠ GAD=∠ GDA=\frac{1}{2}(180°-∠ AGD)$，
同理$∠ GCE=∠ GEC=\frac{1}{2}(180°-∠ CGE)$，
又
∵$∠ AGD=∠ CGE$（对顶角相等），
∴$∠ GAD=∠ GCE$，
∴$AD// l$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) △GEC是等腰三角形，证明成立；
(2) $\boldsymbol{AD// l}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平行线的判定
【点评】
本题是几何综合基础题，解题突破口是先利用三边相等证明三角形全等得到等角，再结合等腰三角形的性质推导角的关系，最终判断直线的位置关系，能够较好地训练逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
12. ★★ [2026杭州期中] 如图，$△ ABC$是等边三角形，$D,E$为$BC$上两点，满足$BD=EC$.
(1)证明:$AD=AE$;
(2)若$F$为$△ ABC$外一点，连接$EF,AF,CF$，若$AC$垂直平分$EF$，请判断$△ ADF$是否为等边三角形，并说明理由.
(1)证明:$AD=AE$;
(2)若$F$为$△ ABC$外一点，连接$EF,AF,CF$，若$AC$垂直平分$EF$，请判断$△ ADF$是否为等边三角形，并说明理由.
答案
12. (1)【证明】$\because △ ABC$ 为等边三角形，
$\therefore AB=AC, ∠ ABC=∠ ACB=60°.$
又 $\because BD=EC, \therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AD=AE.$
(2)【解】$△ ADF$ 是等边三角形. 理由如下：
$\because △ ABC$ 为等边三角形，
$\therefore AB=AC, ∠ B=∠ ACB=∠ BAC=60°.$
$\because AC$ 垂直平分 $EF$, $\therefore EC=FC.$
$\because BD=EC, \therefore BD=FC.$
设 $AC$ 与 $EF$ 交于点 $P$, 在 $\mathrm{Rt}△ EPC$ 和 $\mathrm{Rt}△ FPC$ 中，
$\because \begin{cases}EC=FC,\\EP=FP,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ EPC≌\mathrm{Rt}△ FPC(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ ACF=∠ ACE=60°.$
在 $△ ABD$ 和 $△ ACF$ 中，$\because \begin{cases}AB=AC,\\∠ B=∠ ACF=60°,\\BD=CF,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACF(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AD=AF, ∠ BAD=∠ CAF,$
$\therefore ∠ BAD+∠ DAC=∠ CAF+∠ DAC,$
即 $∠ BAC=∠ DAF=60°$,
$\therefore △ ADF$ 为等边三角形.
$\therefore AB=AC, ∠ ABC=∠ ACB=60°.$
又 $\because BD=EC, \therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AD=AE.$
(2)【解】$△ ADF$ 是等边三角形. 理由如下：
$\because △ ABC$ 为等边三角形，
$\therefore AB=AC, ∠ B=∠ ACB=∠ BAC=60°.$
$\because AC$ 垂直平分 $EF$, $\therefore EC=FC.$
$\because BD=EC, \therefore BD=FC.$
设 $AC$ 与 $EF$ 交于点 $P$, 在 $\mathrm{Rt}△ EPC$ 和 $\mathrm{Rt}△ FPC$ 中，
$\because \begin{cases}EC=FC,\\EP=FP,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ EPC≌\mathrm{Rt}△ FPC(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ ACF=∠ ACE=60°.$
在 $△ ABD$ 和 $△ ACF$ 中，$\because \begin{cases}AB=AC,\\∠ B=∠ ACF=60°,\\BD=CF,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACF(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AD=AF, ∠ BAD=∠ CAF,$
$\therefore ∠ BAD+∠ DAC=∠ CAF+∠ DAC,$
即 $∠ BAC=∠ DAF=60°$,
$\therefore △ ADF$ 为等边三角形.
解析
【分析】
(1) 要证$AD=AE$，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知$△ ABC$是等边三角形，可得$AB=AC$、$∠ B=∠ ACE=60°$，结合题干给出的$BD=EC$，满足SAS全等判定条件，证得$△ ABD≌△ ACE$即可得到对应边相等。
(2) 判断$△ ADF$是否为等边三角形，可根据“有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形”推导。首先利用线段垂直平分线的性质得$EC=FC$，结合$BD=EC$推出$BD=FC$；再证$∠ ACF=∠ B=60°$，进而证明$△ ABD≌△ ACF$，得到$AD=AF$，同时推导$∠ DAF=∠ BAC=60°$，即可判定三角形形状。
【解析】
(1) 证明：$\because △ ABC$为等边三角形，
$\therefore AB=AC, ∠ ABC=∠ ACB=60°$。
又$\because BD=EC$，
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD=AE$。
(2) $△ ADF$是等边三角形，理由如下：
$\because △ ABC$为等边三角形，
$\therefore AB=AC, ∠ B=∠ ACB=∠ BAC=60°$。
$\because AC$垂直平分$EF$，
$\therefore EC=FC$。
$\because BD=EC$，
$\therefore BD=FC$。
设$AC$与$EF$交于点$P$，在$\mathrm{Rt}△ EPC$和$\mathrm{Rt}△ FPC$中，
$\because \begin{cases}EC=FC,\\EP=FP,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ EPC≌\mathrm{Rt}△ FPC(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ ACF=∠ ACE=60°$。
在$△ ABD$和$△ ACF$中，$\because \begin{cases}AB=AC,\\∠ B=∠ ACF=60°,\\BD=CF,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD=AF, ∠ BAD=∠ CAF$，
$\therefore ∠ BAD+∠ DAC=∠ CAF+∠ DAC$，
即$∠ BAC=∠ DAF=60°$，
$\therefore △ ADF$为等边三角形。
【答案】
(1) $AD=AE$，证明成立；
(2) $△ ADF$是等边三角形，理由见解析。
【知识点】
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是灵活利用全等三角形推导边、角的等量关系，结合相关几何性质得到结论，能有效考察逻辑推理能力和几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$AD=AE$，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知$△ ABC$是等边三角形，可得$AB=AC$、$∠ B=∠ ACE=60°$，结合题干给出的$BD=EC$，满足SAS全等判定条件，证得$△ ABD≌△ ACE$即可得到对应边相等。
(2) 判断$△ ADF$是否为等边三角形，可根据“有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形”推导。首先利用线段垂直平分线的性质得$EC=FC$，结合$BD=EC$推出$BD=FC$；再证$∠ ACF=∠ B=60°$，进而证明$△ ABD≌△ ACF$，得到$AD=AF$，同时推导$∠ DAF=∠ BAC=60°$，即可判定三角形形状。
【解析】
(1) 证明：$\because △ ABC$为等边三角形，
$\therefore AB=AC, ∠ ABC=∠ ACB=60°$。
又$\because BD=EC$，
$\therefore △ ABD≌△ ACE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD=AE$。
(2) $△ ADF$是等边三角形，理由如下：
$\because △ ABC$为等边三角形，
$\therefore AB=AC, ∠ B=∠ ACB=∠ BAC=60°$。
$\because AC$垂直平分$EF$，
$\therefore EC=FC$。
$\because BD=EC$，
$\therefore BD=FC$。
设$AC$与$EF$交于点$P$，在$\mathrm{Rt}△ EPC$和$\mathrm{Rt}△ FPC$中，
$\because \begin{cases}EC=FC,\\EP=FP,\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ EPC≌\mathrm{Rt}△ FPC(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ ACF=∠ ACE=60°$。
在$△ ABD$和$△ ACF$中，$\because \begin{cases}AB=AC,\\∠ B=∠ ACF=60°,\\BD=CF,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore AD=AF, ∠ BAD=∠ CAF$，
$\therefore ∠ BAD+∠ DAC=∠ CAF+∠ DAC$，
即$∠ BAC=∠ DAF=60°$，
$\therefore △ ADF$为等边三角形。
【答案】
(1) $AD=AE$，证明成立；
(2) $△ ADF$是等边三角形，理由见解析。
【知识点】
等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题核心是灵活利用全等三角形推导边、角的等量关系，结合相关几何性质得到结论，能有效考察逻辑推理能力和几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
13. 如图，A，B两点在直线l的两侧，在直线l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大，并说明理由。
答案
13. 【解】如图，以直线 $l$ 为对称轴，作点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A'$, 连接 $A'B$ 并延长交直线 $l$ 于点 $C$, 则点 $C$ 即为所求.
理由：如图，在直线 $l$ 上任取一点 $C'$(异于点 $C$), 连接 $CA,C'A,C'A',C'B$.
$\because$ 点 $A,A'$ 关于直线 $l$ 对称，
$\therefore$ 直线 $l$ 为线段 $AA'$ 的垂直平分线.
$\therefore CA=CA'. \therefore CA-CB=CA'-CB=A'B.$
$\because$ 点 $C'$ 也在直线 $l$ 上，
$\therefore C'A=C'A', \therefore C'A-C'B=C'A'-C'B.$
在 $△ A'BC'$ 中，$C'A'-C'B＜A'B$,
$\therefore C'A-C'B＜CA-CB$, 即直线 $l$ 上的 $C$ 点使 $C$ 到点 $A,B$ 的距离之差最大.
解析
【分析】
要解决在直线l上找一点C使C到A、B的距离之差最大的问题，我们可以利用轴对称性质转化相等线段，把原问题进行等价转化：首先作点A关于直线l的对称点A'，根据轴对称性质，直线l上任意点到A和A'的距离相等，因此CA=CA'，原问题就转化为求|CA'-CB|的最大值。再结合三角形三边关系“三角形任意两边之差小于第三边”可知，只有当C、A'、B三点共线时，CA'-CB=A'B，此时距离差取得最大值，其余不共线的点对应的距离差均小于A'B，按照这个思路即可确定点C的位置。
【解析】
1. 作图：以直线$l$为对称轴，作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$并延长，与直线$l$的交点即为所求点$C$。
2. 理由证明：
在直线$l$上任取异于点$C$的点$C'$，连接$CA、C'A、C'A'、C'B$。
$\because$点$A、A'$关于直线$l$对称，
$\therefore$直线$l$是线段$AA'$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得$CA=CA'$，$C'A=C'A'$。
$\therefore CA-CB=CA'-CB=A'B$。
对于点$C'$，有$C'A-C'B=C'A'-C'B$，在$△ A'BC'$中，根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，因此$C'A'-C'B＜A'B$，即$C'A-C'B＜CA-CB$。
综上，点$C$到点$A、B$的距离之差最大。
【答案】
如图，以直线 $l$ 为对称轴，作点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A'$, 连接 $A'B$ 并延长交直线 $l$ 于点 $C$, 则点 $C$ 即为所求.
理由：如图，在直线 $l$ 上任取一点 $C'$(异于点 $C$), 连接 $CA,C'A,C'A',C'B$.
$\because$ 点 $A,A'$ 关于直线 $l$ 对称，
$\therefore$ 直线 $l$ 为线段 $AA'$ 的垂直平分线.
$\therefore CA=CA'. \therefore CA-CB=CA'-CB=A'B.$
$\because$ 点 $C'$ 也在直线 $l$ 上，
$\therefore C'A=C'A', \therefore C'A-C'B=C'A'-C'B.$
在 $△ A'BC'$ 中，$C'A'-C'B＜A'B$,
$\therefore C'A-C'B＜CA-CB$, 即直线 $l$ 上的 $C$ 点使 $C$ 到点 $A,B$ 的距离之差最大.
【知识点】
轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是线段差最值的典型问题，解题核心是通过轴对称将异侧点的距离差问题转化为同侧点的距离差问题，再结合三角形三边关系验证最值，体现了转化的数学思想，需要熟练掌握这类最值问题的通用处理思路。
【难度系数】
0.6
要解决在直线l上找一点C使C到A、B的距离之差最大的问题，我们可以利用轴对称性质转化相等线段，把原问题进行等价转化：首先作点A关于直线l的对称点A'，根据轴对称性质，直线l上任意点到A和A'的距离相等，因此CA=CA'，原问题就转化为求|CA'-CB|的最大值。再结合三角形三边关系“三角形任意两边之差小于第三边”可知，只有当C、A'、B三点共线时，CA'-CB=A'B，此时距离差取得最大值，其余不共线的点对应的距离差均小于A'B，按照这个思路即可确定点C的位置。
【解析】
1. 作图：以直线$l$为对称轴，作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$并延长，与直线$l$的交点即为所求点$C$。
2. 理由证明：
在直线$l$上任取异于点$C$的点$C'$，连接$CA、C'A、C'A'、C'B$。
$\because$点$A、A'$关于直线$l$对称，
$\therefore$直线$l$是线段$AA'$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得$CA=CA'$，$C'A=C'A'$。
$\therefore CA-CB=CA'-CB=A'B$。
对于点$C'$，有$C'A-C'B=C'A'-C'B$，在$△ A'BC'$中，根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，因此$C'A'-C'B＜A'B$，即$C'A-C'B＜CA-CB$。
综上，点$C$到点$A、B$的距离之差最大。
【答案】
如图，以直线 $l$ 为对称轴，作点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A'$, 连接 $A'B$ 并延长交直线 $l$ 于点 $C$, 则点 $C$ 即为所求.
理由：如图，在直线 $l$ 上任取一点 $C'$(异于点 $C$), 连接 $CA,C'A,C'A',C'B$.
$\because$ 点 $A,A'$ 关于直线 $l$ 对称，
$\therefore$ 直线 $l$ 为线段 $AA'$ 的垂直平分线.
$\therefore CA=CA'. \therefore CA-CB=CA'-CB=A'B.$
$\because$ 点 $C'$ 也在直线 $l$ 上，
$\therefore C'A=C'A', \therefore C'A-C'B=C'A'-C'B.$
在 $△ A'BC'$ 中，$C'A'-C'B＜A'B$,
$\therefore C'A-C'B＜CA-CB$, 即直线 $l$ 上的 $C$ 点使 $C$ 到点 $A,B$ 的距离之差最大.
【知识点】
轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是线段差最值的典型问题，解题核心是通过轴对称将异侧点的距离差问题转化为同侧点的距离差问题，再结合三角形三边关系验证最值，体现了转化的数学思想，需要熟练掌握这类最值问题的通用处理思路。
【难度系数】
0.6
