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14.如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，计划新建一所学校，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中确定学校的位置.（写出作法）
答案
14. 【解】作法：(1) 连接 $AB, BC$；
(2) 分别作 $AB, BC$ 的垂直平分线，则两垂直平分线的交点 $P$ 就是所要确定的学校的位置，如图所示.
解析
【分析】
要找到到A、B、C三个点距离相等的点，可结合线段垂直平分线的性质推导：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。因此到A、B距离相等的点都在AB的垂直平分线上，到B、C距离相等的点都在BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点可同时满足到A、B、C三点的距离相等，该点就是所求学校的位置。
【解析】
具体作法如下：
(1) 连接线段AB、BC；
(2) 用尺规分别作AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点记为P，点P即为学校的位置。
【答案】
作法：(1) 连接 $AB, BC$；
(2) 分别作 $AB, BC$ 的垂直平分线，则两垂直平分线的交点 $P$ 就是所要确定的学校的位置，如图所示.
【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作垂直平分线
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的实际应用类题目，需要将实际需求转化为数学问题求解，掌握线段垂直平分线的性质、熟练使用尺规作垂直平分线是解题的核心。
【难度系数】
0.8
要找到到A、B、C三个点距离相等的点，可结合线段垂直平分线的性质推导：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。因此到A、B距离相等的点都在AB的垂直平分线上，到B、C距离相等的点都在BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点可同时满足到A、B、C三点的距离相等，该点就是所求学校的位置。
【解析】
具体作法如下：
(1) 连接线段AB、BC；
(2) 用尺规分别作AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点记为P，点P即为学校的位置。
【答案】
作法：(1) 连接 $AB, BC$；
(2) 分别作 $AB, BC$ 的垂直平分线，则两垂直平分线的交点 $P$ 就是所要确定的学校的位置，如图所示.
【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作垂直平分线
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的实际应用类题目，需要将实际需求转化为数学问题求解，掌握线段垂直平分线的性质、熟练使用尺规作垂直平分线是解题的核心。
【难度系数】
0.8
15.如图，$△ ABC$是等腰三角形，$AB=AC$，在$△ ABC$的外部分别作等边三角形$ADB$和等边三角形$ACE$.若$∠ DAE=∠ DBC$，求$△ ABC$三个内角的度数. 
答案
15. 【解】$\because △ ADB$ 和 $△ ACE$ 都是等边三角形，$\therefore ∠ DAB=∠ ABD=∠ CAE=60°$,
$\therefore ∠ DAE=∠ DAB+∠ BAC+∠ CAE=60°+∠ BAC+60°=120°+∠ BAC$, $∠ DBC=∠ DBA+∠ ABC=60°+∠ ABC.$
$\because ∠ DAE=∠ DBC$,
$\therefore 120°+∠ BAC=60°+∠ ABC$, 即 $∠ ABC=60°+∠ BAC.$
又 $\because AB=AC, \therefore ∠ ACB=∠ ABC=60°+∠ BAC.$
$\because ∠ BAC+2∠ ABC=180°$,
$\therefore ∠ BAC+2(60°+∠ BAC)=180°$. 解得 $∠ BAC=20°$.
$\therefore ∠ ACB=∠ ABC=60°+20°=80°$.
$\therefore △ ABC$ 三个内角的度数分别为 $20°, 80°, 80°$.
$\therefore ∠ DAE=∠ DAB+∠ BAC+∠ CAE=60°+∠ BAC+60°=120°+∠ BAC$, $∠ DBC=∠ DBA+∠ ABC=60°+∠ ABC.$
$\because ∠ DAE=∠ DBC$,
$\therefore 120°+∠ BAC=60°+∠ ABC$, 即 $∠ ABC=60°+∠ BAC.$
又 $\because AB=AC, \therefore ∠ ACB=∠ ABC=60°+∠ BAC.$
$\because ∠ BAC+2∠ ABC=180°$,
$\therefore ∠ BAC+2(60°+∠ BAC)=180°$. 解得 $∠ BAC=20°$.
$\therefore ∠ ACB=∠ ABC=60°+20°=80°$.
$\therefore △ ABC$ 三个内角的度数分别为 $20°, 80°, 80°$.
解析
【分析】
解题时首先利用等边三角形的性质，得到其各内角均为60°，将已知相等的∠DAE和∠DBC分别用△ABC的内角表示，得到∠ABC与∠BAC的数量关系；再结合等腰三角形两底角相等的性质，以及三角形内角和为180°的定理，列出关于∠BAC的方程，求解即可得到△ABC各内角的度数。
【解析】
∵△ADB和△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，
∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=60°+∠BAC+60°=120°+∠BAC，
∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°+∠ABC。
∵∠DAE=∠DBC，
∴120°+∠BAC=60°+∠ABC，即∠ABC=60°+∠BAC。
又
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=60°+∠BAC。
∵三角形内角和为180°，即∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC+2(60°+∠BAC)=180°，
解得∠BAC=20°。
∴∠ACB=∠ABC=60°+20°=80°。
【答案】
△ABC三个内角的度数分别为$20°$，$80°$，$80°$。
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何与方程结合的典型计算题，解题核心是利用特殊三角形的角的性质，将已知等角关系转化为待求三角形的内角关系，再结合内角和定理建立方程求解，有效考察了等量转化思想和方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用等边三角形的性质，得到其各内角均为60°，将已知相等的∠DAE和∠DBC分别用△ABC的内角表示，得到∠ABC与∠BAC的数量关系；再结合等腰三角形两底角相等的性质，以及三角形内角和为180°的定理，列出关于∠BAC的方程，求解即可得到△ABC各内角的度数。
【解析】
∵△ADB和△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，
∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=60°+∠BAC+60°=120°+∠BAC，
∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°+∠ABC。
∵∠DAE=∠DBC，
∴120°+∠BAC=60°+∠ABC，即∠ABC=60°+∠BAC。
又
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=60°+∠BAC。
∵三角形内角和为180°，即∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC+2(60°+∠BAC)=180°，
解得∠BAC=20°。
∴∠ACB=∠ABC=60°+20°=80°。
【答案】
△ABC三个内角的度数分别为$20°$，$80°$，$80°$。
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何与方程结合的典型计算题，解题核心是利用特殊三角形的角的性质，将已知等角关系转化为待求三角形的内角关系，再结合内角和定理建立方程求解，有效考察了等量转化思想和方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
16. [2026安阳期中]已知$△ ABC,△ ADE$均为等腰直角三角形,$AB=AC,AD=AE$,点$D$在直线$BC$上,连接$CE$.
(1)若点$D$在线段$BC$上,如图①,求证:$CE=BC-CD$.
(2)若点$D$在$CB$的延长线上,如图②,其他条件不变,线段$CE,BC,CD$有怎样的关系?说明理由.
(3)若点$D$在$CB$的反向延长线上,如图③,其他条件不变,线段$CE,BC,CD$的关系是
(4)若$CE=10,CD=4$,求$BC$的长.
(1)若点$D$在线段$BC$上,如图①,求证:$CE=BC-CD$.
(2)若点$D$在$CB$的延长线上,如图②,其他条件不变,线段$CE,BC,CD$有怎样的关系?说明理由.
(3)若点$D$在$CB$的反向延长线上,如图③,其他条件不变,线段$CE,BC,CD$的关系是
CE=BC+CD
.(4)若$CE=10,CD=4$,求$BC$的长.
答案
16. (1)【证明】$\because △ ABC$ 和 $△ ADE$ 是等腰直角三角形，$AB=AC, AD=AE$,
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE=90°.$
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAE.$
在 $△ DAB$ 和 $△ EAC$ 中，$\because \begin{cases}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
$\therefore △ DAB≌△ EAC(\mathrm{SAS}), \therefore BD=CE.$
$\therefore BC=BD+CD=CE+CD$,
$\therefore CE=BC-CD.$
(2) 当点 $D$ 在 $CB$ 的延长线上时，$CE=CD-BC$. 理由如下：
$\because △ ABC$ 和 $△ ADE$ 是等腰直角三角形，$AB=AC, AD=AE$,
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE=90°.$
$\therefore ∠ BAC-∠ BAE=∠ DAE-∠ BAE$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAE.$
在 $△ DAB$ 和 $△ EAC$ 中，$\because \begin{cases}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
$\therefore △ DAB≌△ EAC(\mathrm{SAS}),$
$\therefore BD=CE.$
$\therefore CD=BD+BC=BC+CE, \therefore CE=CD-BC.$
(3) $CE=BC+CD$ 【点拨】同(2)的方法得 $△ DAB≌△ EAC, \therefore BD=CE, \therefore CE=BD=BC+CD.$
(4) 当点 $D$ 在线段 $BC$ 上时，由(1)知 $CE=BC-CD, \therefore BC=CE+CD=10+4=14$；
当点 $D$ 在 $CB$ 的延长线上时，由(2)知 $CE=CD-BC$,
$\therefore BC=CD-CE=-6$, 不成立，舍去；
当点 $D$ 在 $CB$ 的反向延长线上时，由(3)知，$CE=BC+CD, \therefore BC=CE-CD=10-4=6$. 综上所述，$BC$ 的长为 14 或 6.
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE=90°.$
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAE.$
在 $△ DAB$ 和 $△ EAC$ 中，$\because \begin{cases}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
$\therefore △ DAB≌△ EAC(\mathrm{SAS}), \therefore BD=CE.$
$\therefore BC=BD+CD=CE+CD$,
$\therefore CE=BC-CD.$
(2) 当点 $D$ 在 $CB$ 的延长线上时，$CE=CD-BC$. 理由如下：
$\because △ ABC$ 和 $△ ADE$ 是等腰直角三角形，$AB=AC, AD=AE$,
$\therefore ∠ BAC=∠ DAE=90°.$
$\therefore ∠ BAC-∠ BAE=∠ DAE-∠ BAE$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAE.$
在 $△ DAB$ 和 $△ EAC$ 中，$\because \begin{cases}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
$\therefore △ DAB≌△ EAC(\mathrm{SAS}),$
$\therefore BD=CE.$
$\therefore CD=BD+BC=BC+CE, \therefore CE=CD-BC.$
(3) $CE=BC+CD$ 【点拨】同(2)的方法得 $△ DAB≌△ EAC, \therefore BD=CE, \therefore CE=BD=BC+CD.$
(4) 当点 $D$ 在线段 $BC$ 上时，由(1)知 $CE=BC-CD, \therefore BC=CE+CD=10+4=14$；
当点 $D$ 在 $CB$ 的延长线上时，由(2)知 $CE=CD-BC$,
$\therefore BC=CD-CE=-6$, 不成立，舍去；
当点 $D$ 在 $CB$ 的反向延长线上时，由(3)知，$CE=BC+CD, \therefore BC=CE-CD=10-4=6$. 综上所述，$BC$ 的长为 14 或 6.
解析
【分析】
本题核心是利用“手拉手”全等模型解题，思路如下：1. 先根据等腰直角三角形的性质得到两组相等的边，以及两个顶角均为90°，通过角的和差推导得到∠BAD=∠CAE，用SAS即可证明△DAB≌△EAC，得到核心结论BD=CE；2. 再根据点D在直线BC上的不同位置，分析线段BD与BC、CD的和差关系，即可推出CE、BC、CD的数量关系；3. 第(4)问需分三种位置情况讨论，排除不符合实际的负数结果，即可得到BC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，$AB=AC$，$AD=AE$，
∴$∠ BAC=∠ DAE=90°$，
∴$∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
在$△ DAB$和$△ EAC$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠ BAD=∠ CAE \\ AD=AE \end{cases}$
∴$△ DAB≌△ EAC(\mathrm{SAS})$，
∴$BD=CE$。
∵点D在线段BC上，
∴$BC=BD+CD=CE+CD$，
∴$CE=BC-CD$。
(2) 线段关系为$CE=CD-BC$，理由如下：
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，$AB=AC$，$AD=AE$，
∴$∠ BAC=∠ DAE=90°$，
∴$∠ BAC - ∠ BAE = ∠ DAE - ∠ BAE$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
在$△ DAB$和$△ EAC$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠ BAD=∠ CAE \\ AD=AE \end{cases}$
∴$△ DAB≌△ EAC(\mathrm{SAS})$，
∴$BD=CE$。
∵点D在CB的延长线上，
∴$CD=BD+BC=CE+BC$，
∴$CE=CD-BC$。
(3) 同理可证$△ DAB≌△ EAC$，
∴$BD=CE$，
∵点D在CB的反向延长线上，
∴$BD=BC+CD$，
∴$CE=BC+CD$。
(4) 分三种情况讨论：
① 当点D在线段BC上时，由(1)得$CE=BC-CD$，
∴$BC=CE+CD=10+4=14$；
② 当点D在CB的延长线上时，由(2)得$CE=CD-BC$，
∴$BC=CD-CE=4-10=-6$，线段长度不能为负，舍去；
③ 当点D在CB的反向延长线上时，由(3)得$CE=BC+CD$，
∴$BC=CE-CD=10-4=6$。
综上，BC的长为14或6。
【答案】
(1) 证明成立，$CE=BC-CD$；
(2) $\boldsymbol{CE=CD-BC}$，理由见解析；
(3) $\boldsymbol{CE=BC+CD}$；
(4) $\boldsymbol{14}$或$\boldsymbol{6}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是共顶点等腰直角三角形“手拉手”全等模型的典型考题，既考察了全等三角形的证明和性质应用，也要求结合点的不同位置进行分类讨论，能有效锻炼逻辑推理能力和思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
本题核心是利用“手拉手”全等模型解题，思路如下：1. 先根据等腰直角三角形的性质得到两组相等的边，以及两个顶角均为90°，通过角的和差推导得到∠BAD=∠CAE，用SAS即可证明△DAB≌△EAC，得到核心结论BD=CE；2. 再根据点D在直线BC上的不同位置，分析线段BD与BC、CD的和差关系，即可推出CE、BC、CD的数量关系；3. 第(4)问需分三种位置情况讨论，排除不符合实际的负数结果，即可得到BC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，$AB=AC$，$AD=AE$，
∴$∠ BAC=∠ DAE=90°$，
∴$∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
在$△ DAB$和$△ EAC$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠ BAD=∠ CAE \\ AD=AE \end{cases}$
∴$△ DAB≌△ EAC(\mathrm{SAS})$，
∴$BD=CE$。
∵点D在线段BC上，
∴$BC=BD+CD=CE+CD$，
∴$CE=BC-CD$。
(2) 线段关系为$CE=CD-BC$，理由如下：
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，$AB=AC$，$AD=AE$，
∴$∠ BAC=∠ DAE=90°$，
∴$∠ BAC - ∠ BAE = ∠ DAE - ∠ BAE$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
在$△ DAB$和$△ EAC$中：
$\begin{cases} AB=AC \\ ∠ BAD=∠ CAE \\ AD=AE \end{cases}$
∴$△ DAB≌△ EAC(\mathrm{SAS})$，
∴$BD=CE$。
∵点D在CB的延长线上，
∴$CD=BD+BC=CE+BC$，
∴$CE=CD-BC$。
(3) 同理可证$△ DAB≌△ EAC$，
∴$BD=CE$，
∵点D在CB的反向延长线上，
∴$BD=BC+CD$，
∴$CE=BC+CD$。
(4) 分三种情况讨论：
① 当点D在线段BC上时，由(1)得$CE=BC-CD$，
∴$BC=CE+CD=10+4=14$；
② 当点D在CB的延长线上时，由(2)得$CE=CD-BC$，
∴$BC=CD-CE=4-10=-6$，线段长度不能为负，舍去；
③ 当点D在CB的反向延长线上时，由(3)得$CE=BC+CD$，
∴$BC=CE-CD=10-4=6$。
综上，BC的长为14或6。
【答案】
(1) 证明成立，$CE=BC-CD$；
(2) $\boldsymbol{CE=CD-BC}$，理由见解析；
(3) $\boldsymbol{CE=BC+CD}$；
(4) $\boldsymbol{14}$或$\boldsymbol{6}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题是共顶点等腰直角三角形“手拉手”全等模型的典型考题，既考察了全等三角形的证明和性质应用，也要求结合点的不同位置进行分类讨论，能有效锻炼逻辑推理能力和思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
