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12. ★★★★★ 新考法对称法 如图，AD是等边三角形ABC的BC边上的高，AD=6，M是AD上的动点，E是AC边的中点，则EM+CM的最小值为
6
。答案
12.6 【点拨】易知点 B 和点 C 关于 AD 所在直线对称,连接 BE 交 AD 于点 M,此时 EM+CM 的值最小,EM+CM=EM+BM=BE.
∵△ABC 是等边三角形,E是 AC 的中点,
∴BE⊥AC,
∴BE,AD 都是等边三角形ABC 的高,
∴BE=AD=6,即EM+CM 的最小值为 6.
∵△ABC 是等边三角形,E是 AC 的中点,
∴BE⊥AC,
∴BE,AD 都是等边三角形ABC 的高,
∴BE=AD=6,即EM+CM 的最小值为 6.
解析
【分析】
本题属于最短路径（将军饮马）类问题，解题思路可分三步：第一步找对称点，AD是等边三角形ABC的高，也是BC边的垂直平分线，因此点C关于AD的对称点为点B；第二步转化线段，根据轴对称性质，CM=BM，因此待求的EM+CM可转化为EM+BM；第三步求最小值，根据两点之间线段最短，当B、M、E三点共线时，EM+BM的长度最小，即为线段BE的长，再结合等边三角形高的性质即可求出BE的长度。
【解析】
解：
∵AD是等边△ABC的BC边上的高
∴AD垂直平分BC，即点B与点C关于AD所在直线对称
∴CM=BM
∴EM+CM=EM+BM
根据两点之间线段最短，连接BE交AD于点M时，EM+BM的值最小，最小值为BE的长度。
∵△ABC是等边三角形，E是AC的中点
∴BE是AC边上的高（等边三角形的中线与高互相重合）
∵等边三角形的三条高长度相等，已知AD=6
∴BE=AD=6
即EM+CM的最小值为6。
【答案】
6
【知识点】
轴对称的性质，等边三角形的性质，最短路径求解
【点评】
本题是对称法求线段和最小值的典型题，属于将军饮马模型的常规应用，解题核心是通过轴对称将同侧两条线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合等边三角形的性质计算，熟练掌握该模型可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.6
本题属于最短路径（将军饮马）类问题，解题思路可分三步：第一步找对称点，AD是等边三角形ABC的高，也是BC边的垂直平分线，因此点C关于AD的对称点为点B；第二步转化线段，根据轴对称性质，CM=BM，因此待求的EM+CM可转化为EM+BM；第三步求最小值，根据两点之间线段最短，当B、M、E三点共线时，EM+BM的长度最小，即为线段BE的长，再结合等边三角形高的性质即可求出BE的长度。
【解析】
解：
∵AD是等边△ABC的BC边上的高
∴AD垂直平分BC，即点B与点C关于AD所在直线对称
∴CM=BM
∴EM+CM=EM+BM
根据两点之间线段最短，连接BE交AD于点M时，EM+BM的值最小，最小值为BE的长度。
∵△ABC是等边三角形，E是AC的中点
∴BE是AC边上的高（等边三角形的中线与高互相重合）
∵等边三角形的三条高长度相等，已知AD=6
∴BE=AD=6
即EM+CM的最小值为6。
【答案】
6
【知识点】
轴对称的性质，等边三角形的性质，最短路径求解
【点评】
本题是对称法求线段和最小值的典型题，属于将军饮马模型的常规应用，解题核心是通过轴对称将同侧两条线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合等边三角形的性质计算，熟练掌握该模型可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共48分)
13.(10分)如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角三角形ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法)
13.(10分)如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个等腰直角三角形ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法)
答案
13.【解】等腰直角三角形 ABC 如图所示.(答案不唯一)
解析
【分析】
要作出满足条件的等腰直角三角形，可先结合等腰直角三角形“有一个直角、两条直角边相等”的特征确定作图思路：我们可以将直角顶点设为直线l上的点B，首先过点A作直线l的垂线，垂足即为点B，此时得到直角∠ABC；接下来只需在直线l上截取长度等于AB的线段BC，即可满足AB=BC，连接AC后得到的△ABC就是符合要求的等腰直角三角形。也可选择直角顶点为A或C，只要满足题设要求均正确。
【解析】
作图步骤参考：
1. 用尺规过点A作直线l的垂线，垂线与直线l的交点记为B；
2. 以B为圆心，AB的长度为半径画弧，弧与直线l的其中一个交点记为C；
3. 连接线段AC，所得△ABC即为所求等腰直角三角形。
（本题作法不唯一，只要符合等腰直角三角形的定义且B、C在直线l上即可，需保留清晰的作图痕迹。）
【答案】
等腰直角三角形 ABC 如图所示.(答案不唯一)
【知识点】
尺规作图、等腰直角三角形的判定、垂线的尺规作法
【点评】
本题是开放性尺规作图题，考查对等腰直角三角形性质的理解和基本尺规作图的实操能力，解法多样，能有效锻炼发散思维和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
要作出满足条件的等腰直角三角形，可先结合等腰直角三角形“有一个直角、两条直角边相等”的特征确定作图思路：我们可以将直角顶点设为直线l上的点B，首先过点A作直线l的垂线，垂足即为点B，此时得到直角∠ABC；接下来只需在直线l上截取长度等于AB的线段BC，即可满足AB=BC，连接AC后得到的△ABC就是符合要求的等腰直角三角形。也可选择直角顶点为A或C，只要满足题设要求均正确。
【解析】
作图步骤参考：
1. 用尺规过点A作直线l的垂线，垂线与直线l的交点记为B；
2. 以B为圆心，AB的长度为半径画弧，弧与直线l的其中一个交点记为C；
3. 连接线段AC，所得△ABC即为所求等腰直角三角形。
（本题作法不唯一，只要符合等腰直角三角形的定义且B、C在直线l上即可，需保留清晰的作图痕迹。）
【答案】
等腰直角三角形 ABC 如图所示.(答案不唯一)
【知识点】
尺规作图、等腰直角三角形的判定、垂线的尺规作法
【点评】
本题是开放性尺规作图题，考查对等腰直角三角形性质的理解和基本尺规作图的实操能力，解法多样，能有效锻炼发散思维和动手操作能力。
【难度系数】
0.7
14. (12分) ⋯ [2025长沙] 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ B=72°$,以点$C$为圆心,适当长为半径作弧,交$CA$于点$M$,交$CB$于点$N$,再分别以点$M$,$N$为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径作弧,两弧相交于点$P$,作射线$CP$交$AB$于点$D$.
(1)求$∠ BCD$的度数;
(2)若$BC=2.5$,求$AD$的长.
(1)求$∠ BCD$的度数;
(2)若$BC=2.5$,求$AD$的长.
答案
14. 【解】(1)
∵AB=AC,∠B=72°,
∴∠ACB=∠B=72°.
由作图可知,CD 是∠ACB 的平分线,
∴∠BCD=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=36°.
(2)在△BCD 中,由三角形内角和定理得∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°,
∴∠BDC=∠B,
∴CD=CB.
在△ACD 中,
∵∠BDC=∠A+∠ACD,∠ACD=36°,
∴∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°.
∴∠A=∠ACD.
∴AD=CD.
∴AD=BC.
∵BC=2.5,
∴AD=2.5.
∵AB=AC,∠B=72°,
∴∠ACB=∠B=72°.
由作图可知,CD 是∠ACB 的平分线,
∴∠BCD=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=36°.
(2)在△BCD 中,由三角形内角和定理得∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°,
∴∠BDC=∠B,
∴CD=CB.
在△ACD 中,
∵∠BDC=∠A+∠ACD,∠ACD=36°,
∴∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°.
∴∠A=∠ACD.
∴AD=CD.
∴AD=BC.
∵BC=2.5,
∴AD=2.5.
解析
【分析】
（1）首先根据已知AB=AC，利用等腰三角形等边对等角的性质可得到∠ACB的度数；再识别题中的尺规作图是作角平分线的标准步骤，可知CD平分∠ACB，将∠ACB平分即可求出∠BCD的度数。
（2）先在△BCD中，利用三角形内角和定理计算∠BDC的度数，可得∠BDC=∠B，根据等角对等边得到CD=BC；再计算出∠A的度数，结合∠ACD的度数可得∠A=∠ACD，再次利用等角对等边得到AD=CD，通过等量代换即可求出AD的长度。
【解析】
(1)
∵AB=AC，∠B=72°，
∴∠ACB=∠B=72°。
由作图痕迹可知，CD是∠ACB的平分线，
∴$∠ BCD=∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×72°=36°$。
(2) 在△BCD中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ BDC=180°-∠ B-∠ BCD=180°-72°-36°=72°$，
∴∠BDC=∠B，
∴CD=CB。
在△ABC中，$∠ A=180°-∠ ACB-∠ B=180°-72°-72°=36°$，
∴∠A=∠ACD=36°，
∴AD=CD。
∴AD=BC，
∵BC=2.5，
∴AD=2.5。
【答案】
(1) $\boxed{36°}$；(2) $\boxed{2.5}$
【知识点】
等腰三角形性质与判定，角平分线尺规作图，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形相关知识的基础应用题型，解题核心是先准确识别角平分线的尺规作图痕迹，再结合等腰三角形等边对等角、等角对等边的规律，通过推导角的等量关系得到边的等量关系，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据已知AB=AC，利用等腰三角形等边对等角的性质可得到∠ACB的度数；再识别题中的尺规作图是作角平分线的标准步骤，可知CD平分∠ACB，将∠ACB平分即可求出∠BCD的度数。
（2）先在△BCD中，利用三角形内角和定理计算∠BDC的度数，可得∠BDC=∠B，根据等角对等边得到CD=BC；再计算出∠A的度数，结合∠ACD的度数可得∠A=∠ACD，再次利用等角对等边得到AD=CD，通过等量代换即可求出AD的长度。
【解析】
(1)
∵AB=AC，∠B=72°，
∴∠ACB=∠B=72°。
由作图痕迹可知，CD是∠ACB的平分线，
∴$∠ BCD=∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×72°=36°$。
(2) 在△BCD中，根据三角形内角和为180°可得：
$∠ BDC=180°-∠ B-∠ BCD=180°-72°-36°=72°$，
∴∠BDC=∠B，
∴CD=CB。
在△ABC中，$∠ A=180°-∠ ACB-∠ B=180°-72°-72°=36°$，
∴∠A=∠ACD=36°，
∴AD=CD。
∴AD=BC，
∵BC=2.5，
∴AD=2.5。
【答案】
(1) $\boxed{36°}$；(2) $\boxed{2.5}$
【知识点】
等腰三角形性质与判定，角平分线尺规作图，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形相关知识的基础应用题型，解题核心是先准确识别角平分线的尺规作图痕迹，再结合等腰三角形等边对等角、等角对等边的规律，通过推导角的等量关系得到边的等量关系，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
15.(12分) 如图,在$△ ABC$中,点D在边BC的延长线上,$∠ ACE=28°$,$∠ ABC$的平分线交AD于点E,过点E作$EH⊥ BD$于点H,且$∠ CEH=62°$.
(1)证明:AE平分$∠ CAF$;
(2)若$AB=8$,$CD=10$,$AC=6$,且$S_{△ ABE}=16$,求$△ ACD$的面积.
(1)证明:AE平分$∠ CAF$;
(2)若$AB=8$,$CD=10$,$AC=6$,且$S_{△ ABE}=16$,求$△ ACD$的面积.
答案
15. (1)【证明】如图,过点 E 作 EM⊥BF 于点 M,EN ⊥ AC 于点 N.
∵BE 平分∠ABC,
∴EM=EH.
∵∠ACE=28°,∠CEH=62°,
∴∠HCE=90°-∠CEH=90°-62°=28°=∠ACE,
∴EN=EH,
∴EM=EN,
∴AE 平分∠CAF.
(2)【解】
∵AB=8,CD=10,AC=6,且$S_{△ABE}=16$,
∴$\frac{1}{2}AB· EM=\frac{1}{2}×8EM=16$,
∴EM=4,
∴EN=EH=EM=4,
∴$S_{△ACD}=S_{△ACE}+S_{△CED}=\frac{1}{2}AC· EN+\frac{1}{2}CD· EH=\frac{1}{2}×6×4+\frac{1}{2}×10×4=32$,
∴△ACD 的面积为 32.
解析
【分析】
(1) 要证明AE平分∠CAF，根据角平分线的判定定理，只需证明点E到∠CAF两边的距离相等即可。已知BE是∠ABC的平分线，EH⊥BD，可过E作EM⊥BF于M，EN⊥AC于N，首先由角平分线的性质得EM=EH；再结合∠CEH=62°、EH⊥BD，利用直角三角形两锐角互余求出∠HCE=28°，与∠ACE相等，可得CE平分∠ACD，进而得EN=EH，等量代换得EM=EN，即可证明AE平分∠CAF。
(2) 要求△ACD的面积，可将其拆分为△ACE和△CED的面积之和，两个三角形的高分别为EN和EH，由(1)可知EN=EH=EM，先根据△ABE的面积和AB的长度求出EM的长度，再代入面积公式分别计算两个小三角形的面积，求和即可得到△ACD的面积。
【解析】
(1) 证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N。
∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD，
∴由角平分线的性质可得EM=EH。
∵EH⊥BD，
∴∠EHC=90°，
在Rt△ECH中，∠HCE=90°-∠CEH=90°-62°=28°，
又
∵∠ACE=28°，
∴∠ACE=∠HCE，即CE平分∠ACD，
∵EN⊥AC，EH⊥BD，
∴由角平分线的性质可得EN=EH，
∴EM=EN，根据角平分线的判定定理，可得AE平分∠CAF。
(2) 解：已知$S_{△ABE}=16$，$AB=8$，EM⊥BF，
由三角形面积公式得：$S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·EM$，即$\frac{1}{2}×8×EM=16$，
解得$EM=4$，
由(1)可知$EN=EH=EM=4$，
将△ACD拆分为△ACE和△CED，可得：
$S_{△ACD}=S_{△ACE}+S_{△CED}=\frac{1}{2}AC·EN+\frac{1}{2}CD·EH$，
代入$AC=6$，$CD=10$，$EN=EH=4$，得：
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×6×4+\frac{1}{2}×10×4=12+20=32$。
【答案】
15. (1)【证明】如图,过点 E 作 EM⊥BF 于点 M,EN ⊥ AC 于点 N.
∵BE 平分∠ABC,
∴EM=EH.
∵∠ACE=28°,∠CEH=62°,
∴∠HCE=90°-∠CEH=90°-62°=28°=∠ACE,
∴EN=EH,
∴EM=EN,
∴AE 平分∠CAF.
(2)【解】
∵AB=8,CD=10,AC=6,且$S_{△ABE}=16$,
∴$\frac{1}{2}AB· EM=\frac{1}{2}×8EM=16$,
∴EM=4,
∴EN=EH=EM=4,
∴$S_{△ACD}=S_{△ACE}+S_{△CED}=\frac{1}{2}AC· EN+\frac{1}{2}CD· EH=\frac{1}{2}×6×4+\frac{1}{2}×10×4=32$,
∴△ACD 的面积为 32.
【知识点】
角平分线的性质与判定，三角形面积计算，直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，既考查了角平分线相关定理的应用，也考查了分割法求解三角形面积，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和判定，根据需求合理作辅助线，将所求面积转化为易求的两个小三角形面积之和。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明AE平分∠CAF，根据角平分线的判定定理，只需证明点E到∠CAF两边的距离相等即可。已知BE是∠ABC的平分线，EH⊥BD，可过E作EM⊥BF于M，EN⊥AC于N，首先由角平分线的性质得EM=EH；再结合∠CEH=62°、EH⊥BD，利用直角三角形两锐角互余求出∠HCE=28°，与∠ACE相等，可得CE平分∠ACD，进而得EN=EH，等量代换得EM=EN，即可证明AE平分∠CAF。
(2) 要求△ACD的面积，可将其拆分为△ACE和△CED的面积之和，两个三角形的高分别为EN和EH，由(1)可知EN=EH=EM，先根据△ABE的面积和AB的长度求出EM的长度，再代入面积公式分别计算两个小三角形的面积，求和即可得到△ACD的面积。
【解析】
(1) 证明：如图，过点E作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N。
∵BE平分∠ABC，EM⊥BF，EH⊥BD，
∴由角平分线的性质可得EM=EH。
∵EH⊥BD，
∴∠EHC=90°，
在Rt△ECH中，∠HCE=90°-∠CEH=90°-62°=28°，
又
∵∠ACE=28°，
∴∠ACE=∠HCE，即CE平分∠ACD，
∵EN⊥AC，EH⊥BD，
∴由角平分线的性质可得EN=EH，
∴EM=EN，根据角平分线的判定定理，可得AE平分∠CAF。
(2) 解：已知$S_{△ABE}=16$，$AB=8$，EM⊥BF，
由三角形面积公式得：$S_{△ABE}=\frac{1}{2}AB·EM$，即$\frac{1}{2}×8×EM=16$，
解得$EM=4$，
由(1)可知$EN=EH=EM=4$，
将△ACD拆分为△ACE和△CED，可得：
$S_{△ACD}=S_{△ACE}+S_{△CED}=\frac{1}{2}AC·EN+\frac{1}{2}CD·EH$，
代入$AC=6$，$CD=10$，$EN=EH=4$，得：
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×6×4+\frac{1}{2}×10×4=12+20=32$。
【答案】
15. (1)【证明】如图,过点 E 作 EM⊥BF 于点 M,EN ⊥ AC 于点 N.
∵BE 平分∠ABC,
∴EM=EH.
∵∠ACE=28°,∠CEH=62°,
∴∠HCE=90°-∠CEH=90°-62°=28°=∠ACE,
∴EN=EH,
∴EM=EN,
∴AE 平分∠CAF.
(2)【解】
∵AB=8,CD=10,AC=6,且$S_{△ABE}=16$,
∴$\frac{1}{2}AB· EM=\frac{1}{2}×8EM=16$,
∴EM=4,
∴EN=EH=EM=4,
∴$S_{△ACD}=S_{△ACE}+S_{△CED}=\frac{1}{2}AC· EN+\frac{1}{2}CD· EH=\frac{1}{2}×6×4+\frac{1}{2}×10×4=32$,
∴△ACD 的面积为 32.
【知识点】
角平分线的性质与判定，三角形面积计算，直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合题，既考查了角平分线相关定理的应用，也考查了分割法求解三角形面积，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和判定，根据需求合理作辅助线，将所求面积转化为易求的两个小三角形面积之和。
【难度系数】
0.6
16. (14分) 新考法化动为定法 如图，$△ ABC$是边长为6 cm的等边三角形，动点$P,Q$同时从$A,B$两点出发，分别沿$AB,BC$方向匀速运动.设运动时间为$t$ s.
(1)若点$P$的运动速度是1 cm/s，点$Q$的运动速度是2 cm/s，当点$Q$到达点$C$时，$P,Q$两点都停止运动.当$t=2$时，判断$△ BPQ$的形状，并说明理由.
(2)若它们的运动速度都是1 cm/s，当点$P$到达点$B$时，$P,Q$两点都停止运动，则当$t$为何值时，$△ PBQ$是直角三角形？
(1)若点$P$的运动速度是1 cm/s，点$Q$的运动速度是2 cm/s，当点$Q$到达点$C$时，$P,Q$两点都停止运动.当$t=2$时，判断$△ BPQ$的形状，并说明理由.
(2)若它们的运动速度都是1 cm/s，当点$P$到达点$B$时，$P,Q$两点都停止运动，则当$t$为何值时，$△ PBQ$是直角三角形？
答案
16. 【解】(1)△BPQ 是等边三角形. 理由如下：
由题意得当 t=2 时,AP=2 cm,BQ=4 cm,
∴BP=AB-AP=4 cm.
∴BP=BQ.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠B=60°.
∴△BPQ 是等边三角形.
(2)由题意得 AP=t cm,BQ=t cm,
∴BP=AB-AP=(6-t)cm.
如图①所示,当∠PQB=90°时,
∵∠B=60°,
∴∠BPQ=90°-∠B=30°.
∴BP=2BQ,
∴6-t=2t,解得 t=2.
如图②,当∠BPQ=90°时,同理可得∠BQP=30°,
∴BQ=2BP.
∴t=2(6-t),解得 t=4.
综上所述,当 t 的值为 2 或 4 时,△PBQ 是直角三角形.
解析
【分析】
(1) 要判断t=2时△BPQ的形状，先根据两点的运动速度和运动时间计算出AP、BQ的长度，再求出BP的长度，结合等边△ABC中∠B=60°的性质，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可判定△BPQ的形状。
(2) △PBQ为直角三角形时，已知∠B=60°，因此直角只能是∠PQB或∠BPQ两种情况，分两种情况讨论：利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”列关于t的方程，解方程即可得到t的取值，注意验证结果是否符合运动时间的范围。
【解析】
(1) △BPQ是等边三角形，理由如下：
当t=2时，根据运动速度可得AP=1×2=2 cm，BQ=2×2=4 cm，
因为AB=6 cm，所以BP=AB-AP=6-2=4 cm，因此BP=BQ。
又因为△ABC是等边三角形，所以∠B=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此△BPQ是等边三角形。
(2) 由题意得AP=t cm，BQ=t cm，所以BP=AB-AP=(6-t)cm，运动时间t的取值范围为0＜t≤6。
① 当∠PQB=90°时，
因为∠B=60°，所以∠BPQ=90°-∠B=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，斜边BP=2BQ，
代入得：6-t=2t，解得t=2，符合取值范围。
② 当∠BPQ=90°时，同理可得∠BQP=30°，斜边BQ=2BP，
代入得：t=2(6-t)，解得t=4，符合取值范围。
综上即可得到符合要求的t的值。
【答案】
(1)△BPQ 是等边三角形. 理由如下：
由题意得当 t=2 时,AP=2 cm,BQ=4 cm,
∴BP=AB-AP=4 cm.
∴BP=BQ.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠B=60°.
∴△BPQ 是等边三角形.
(2)由题意得 AP=t cm,BQ=t cm,
∴BP=AB-AP=(6-t)cm.
如图①所示,当∠PQB=90°时,
∵∠B=60°,
∴∠BPQ=90°-∠B=30°.
∴BP=2BQ,
∴6-t=2t,解得 t=2.
如图②,当∠BPQ=90°时,同理可得∠BQP=30°,
∴BQ=2BP.
∴t=2(6-t),解得 t=4.
综上所述,当 t 的值为 2 或 4 时,△PBQ 是直角三角形.
【知识点】
等边三角形的判定，含30°角的直角三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是几何动点类基础题型，重点考查等边三角形和直角三角形的核心性质，解题时需注意对直角三角形的直角位置进行分类讨论，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断t=2时△BPQ的形状，先根据两点的运动速度和运动时间计算出AP、BQ的长度，再求出BP的长度，结合等边△ABC中∠B=60°的性质，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可判定△BPQ的形状。
(2) △PBQ为直角三角形时，已知∠B=60°，因此直角只能是∠PQB或∠BPQ两种情况，分两种情况讨论：利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”列关于t的方程，解方程即可得到t的取值，注意验证结果是否符合运动时间的范围。
【解析】
(1) △BPQ是等边三角形，理由如下：
当t=2时，根据运动速度可得AP=1×2=2 cm，BQ=2×2=4 cm，
因为AB=6 cm，所以BP=AB-AP=6-2=4 cm，因此BP=BQ。
又因为△ABC是等边三角形，所以∠B=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此△BPQ是等边三角形。
(2) 由题意得AP=t cm，BQ=t cm，所以BP=AB-AP=(6-t)cm，运动时间t的取值范围为0＜t≤6。
① 当∠PQB=90°时，
因为∠B=60°，所以∠BPQ=90°-∠B=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，斜边BP=2BQ，
代入得：6-t=2t，解得t=2，符合取值范围。
② 当∠BPQ=90°时，同理可得∠BQP=30°，斜边BQ=2BP，
代入得：t=2(6-t)，解得t=4，符合取值范围。
综上即可得到符合要求的t的值。
【答案】
(1)△BPQ 是等边三角形. 理由如下：
由题意得当 t=2 时,AP=2 cm,BQ=4 cm,
∴BP=AB-AP=4 cm.
∴BP=BQ.
∵△ABC 是等边三角形,
∴∠B=60°.
∴△BPQ 是等边三角形.
(2)由题意得 AP=t cm,BQ=t cm,
∴BP=AB-AP=(6-t)cm.
如图①所示,当∠PQB=90°时,
∵∠B=60°,
∴∠BPQ=90°-∠B=30°.
∴BP=2BQ,
∴6-t=2t,解得 t=2.
如图②,当∠BPQ=90°时,同理可得∠BQP=30°,
∴BQ=2BP.
∴t=2(6-t),解得 t=4.
综上所述,当 t 的值为 2 或 4 时,△PBQ 是直角三角形.
【知识点】
等边三角形的判定，含30°角的直角三角形性质，分类讨论思想
【点评】
本题是几何动点类基础题型，重点考查等边三角形和直角三角形的核心性质，解题时需注意对直角三角形的直角位置进行分类讨论，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
