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1. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则∠ADB=（
A.100°
B.115°
C.130°
D.145°
B
）A.100°
B.115°
C.130°
D.145°
答案
1.B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先从已知的等腰三角形条件出发，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和180°算出底角∠C的度数；其次根据DA⊥AC的垂直条件得到90°的直角；最后利用三角形外角的性质（或邻补角互补的规律）计算出∠ADB的度数，每一步紧扣已知条件推导即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=130°，
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-130°)÷2=25°，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∵∠ADB是△ADC的外角，三角形外角等于不相邻两个内角的和，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=25°+90°=115°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是对等腰三角形性质和三角形角度相关计算规律的运用，只要熟练掌握对应知识点，仔细推导计算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：首先从已知的等腰三角形条件出发，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和180°算出底角∠C的度数；其次根据DA⊥AC的垂直条件得到90°的直角；最后利用三角形外角的性质（或邻补角互补的规律）计算出∠ADB的度数，每一步紧扣已知条件推导即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=130°，
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-130°)÷2=25°，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∵∠ADB是△ADC的外角，三角形外角等于不相邻两个内角的和，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=25°+90°=115°。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是对等腰三角形性质和三角形角度相关计算规律的运用，只要熟练掌握对应知识点，仔细推导计算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.8
2. [2026合肥期末] 如图，在$△ ABC$中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若$△ ABC$的周长为26 cm，$△ ACE$的周长为16 cm，则线段AD的长为（
A.5 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm
A
）A.5 cm
B.6 cm
C.8 cm
D.10 cm
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先运用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，且垂直平分线与线段的交点是线段中点，可得AE=BE，AD=½AB。再结合两个三角形的周长条件，将△ACE的周长中的AE替换为BE，可得到AC+BC的长度，再用△ABC的周长减去AC+BC的长度就能求出AB的长，最后取AB长度的一半即为AD的长。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，AD=BD=½AB。
已知△ACE的周长为16 cm，即：
$AC + CE + AE = 16\ \mathrm{cm}$
把AE替换为BE，可得：
$AC + CE + BE = AC + BC = 16\ \mathrm{cm}$
又已知△ABC的周长为26 cm，即：
$AB + BC + AC = 26\ \mathrm{cm}$
将$AC+BC=16\ \mathrm{cm}$代入上式，得：
$AB = 26 - 16 = 10\ \mathrm{cm}$
因此$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×10 = 5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础类题型，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将两个三角形的周长条件建立关联，进而求出目标线段的长度，熟练掌握垂直平分线的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先运用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，且垂直平分线与线段的交点是线段中点，可得AE=BE，AD=½AB。再结合两个三角形的周长条件，将△ACE的周长中的AE替换为BE，可得到AC+BC的长度，再用△ABC的周长减去AC+BC的长度就能求出AB的长，最后取AB长度的一半即为AD的长。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，AD=BD=½AB。
已知△ACE的周长为16 cm，即：
$AC + CE + AE = 16\ \mathrm{cm}$
把AE替换为BE，可得：
$AC + CE + BE = AC + BC = 16\ \mathrm{cm}$
又已知△ABC的周长为26 cm，即：
$AB + BC + AC = 26\ \mathrm{cm}$
将$AC+BC=16\ \mathrm{cm}$代入上式，得：
$AB = 26 - 16 = 10\ \mathrm{cm}$
因此$AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×10 = 5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是几何基础类题型，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量代换，将两个三角形的周长条件建立关联，进而求出目标线段的长度，熟练掌握垂直平分线的性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 如图,已知O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°,则∠DAO+∠DCO的大小是 （
A.$70°$
B.$110°$
C.$140°$
D.$150°$
D
）A.$70°$
B.$110°$
C.$140°$
D.$150°$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先从已知条件OA=OB=OC入手，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可推出∠OAB+∠OCB与∠ABC相等，为70°；再利用四边形内角和为360°，计算出∠BAD与∠BCD的和；最后结合角的和差关系，用∠BAD+∠BCD的和减去∠OAB+∠OCB的和，即可求出∠DAO+∠DCO的度数。
【解析】
1. 因为OA=OB，OB=OC，所以△OAB、△OBC均为等腰三角形，根据等边对等角得：$∠ OAB=∠ OBA$，$∠ OCB=∠ OBC$。
2. 已知$∠ ABC=∠ OBA+∠ OBC=70°$，因此$∠ OAB+∠ OCB=∠ OBA+∠ OBC=70°$。
3. 四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$，已知$∠ ABC=∠ ADC=70°$，所以$∠ BAD+∠ BCD=360°-∠ ABC-∠ ADC=360°-70°-70°=220°$。
4. 由角的和差关系可知：$∠ BAD=∠ DAO+∠ OAB$，$∠ BCD=∠ DCO+∠ OCB$，代入上式得：
$∠ DAO+∠ OAB+∠ DCO+∠ OCB=220°$
将$∠ OAB+∠ OCB=70°$代入，得：
$∠ DAO+∠ DCO=220°-70°=150°$
【答案】D
【知识点】
等腰三角形的性质、四边形内角和定理、角的和差计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是利用等腰三角形的性质实现角的等量代换，再结合四边形内角和定理将待求角与已知角建立关联，考查了学生的逻辑推理能力和几何基础知识的运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件OA=OB=OC入手，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可推出∠OAB+∠OCB与∠ABC相等，为70°；再利用四边形内角和为360°，计算出∠BAD与∠BCD的和；最后结合角的和差关系，用∠BAD+∠BCD的和减去∠OAB+∠OCB的和，即可求出∠DAO+∠DCO的度数。
【解析】
1. 因为OA=OB，OB=OC，所以△OAB、△OBC均为等腰三角形，根据等边对等角得：$∠ OAB=∠ OBA$，$∠ OCB=∠ OBC$。
2. 已知$∠ ABC=∠ OBA+∠ OBC=70°$，因此$∠ OAB+∠ OCB=∠ OBA+∠ OBC=70°$。
3. 四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$，已知$∠ ABC=∠ ADC=70°$，所以$∠ BAD+∠ BCD=360°-∠ ABC-∠ ADC=360°-70°-70°=220°$。
4. 由角的和差关系可知：$∠ BAD=∠ DAO+∠ OAB$，$∠ BCD=∠ DCO+∠ OCB$，代入上式得：
$∠ DAO+∠ OAB+∠ DCO+∠ OCB=220°$
将$∠ OAB+∠ OCB=70°$代入，得：
$∠ DAO+∠ DCO=220°-70°=150°$
【答案】D
【知识点】
等腰三角形的性质、四边形内角和定理、角的和差计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是利用等腰三角形的性质实现角的等量代换，再结合四边形内角和定理将待求角与已知角建立关联，考查了学生的逻辑推理能力和几何基础知识的运用能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，以点$A$为圆心，适当长为半径画弧分别交$AB$，$AC$于点$M$，$N$，再分别以点$M$，$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧交于点$P$，连接$AP$并延长交$BC$于点$D$。若$△ ACD$的面积为$8$，则$△ ABD$的面积是（
A.$8$
B.$16$
C.$12$
D.$24$
B
）A.$8$
B.$16$
C.$12$
D.$24$
答案
4.B 【点拨】
∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°.由作图知 AD 平分∠BAC,
∴∠CAD=∠DAB=30°.
∴CD=$\frac{1}{2}$AD,∠B = ∠BAD.
∴ AD = BD.
∴ CD = $\frac{1}{2}$BD.
∴$\frac{S_{△ACD}}{S_{△ABD}}=\frac{\frac{1}{2}CD· AC}{\frac{1}{2}BD· AC}=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$. 又
∵△ACD 的面积为 8,
∴△ABD 的面积是 2×8=16.
∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°.由作图知 AD 平分∠BAC,
∴∠CAD=∠DAB=30°.
∴CD=$\frac{1}{2}$AD,∠B = ∠BAD.
∴ AD = BD.
∴ CD = $\frac{1}{2}$BD.
∴$\frac{S_{△ACD}}{S_{△ABD}}=\frac{\frac{1}{2}CD· AC}{\frac{1}{2}BD· AC}=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$. 又
∵△ACD 的面积为 8,
∴△ABD 的面积是 2×8=16.
解析
【分析】
首先观察作图步骤，可判断AD是∠BAC的角平分线，这是解题的第一个切入点。接下来结合已知△ABC中∠C=90°、∠B=30°，先求出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质得到各角度数，结合30°角所对直角边是斜边一半、等角对等边的性质，推导出BD和CD的长度关系。最后注意到△ACD和△ABD的高都是AC，等高的两个三角形面积之比等于底边长的比，结合已知△ACD的面积就能求出△ABD的面积。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，
∴$∠ BAC=180°-90°-30°=60°$，
由尺规作图的步骤可知，AD平分$∠ BAC$，
∴$∠ CAD=∠ BAD=30°$，
在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD=30°$，
∴$CD=\frac{1}{2}AD$，
又
∵$∠ BAD=∠ B=30°$，
∴$AD=BD$，
∴$CD=\frac{1}{2}BD$，即$BD=2CD$，
∵$△ ACD$和$△ ABD$以CD、BD为底时，高均为点A到BC的距离即AC的长度，
∴$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABD}}=\frac{\frac{1}{2}·CD·AC}{\frac{1}{2}·BD·AC}=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，
已知$S_{△ ACD}=8$，
∴$S_{△ ABD}=2×8=16$。
【答案】B
【知识点】角平分线的尺规作图；30°直角三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】本题综合考查了尺规作图的识别、三角形内角和、特殊直角三角形的性质及等高三角形的面积关系，解题的核心是先识别出角平分线，再通过角度推导得到两条底的数量关系，属于常规综合基础题。
【难度系数】0.7
首先观察作图步骤，可判断AD是∠BAC的角平分线，这是解题的第一个切入点。接下来结合已知△ABC中∠C=90°、∠B=30°，先求出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质得到各角度数，结合30°角所对直角边是斜边一半、等角对等边的性质，推导出BD和CD的长度关系。最后注意到△ACD和△ABD的高都是AC，等高的两个三角形面积之比等于底边长的比，结合已知△ACD的面积就能求出△ABD的面积。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，
∴$∠ BAC=180°-90°-30°=60°$，
由尺规作图的步骤可知，AD平分$∠ BAC$，
∴$∠ CAD=∠ BAD=30°$，
在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD=30°$，
∴$CD=\frac{1}{2}AD$，
又
∵$∠ BAD=∠ B=30°$，
∴$AD=BD$，
∴$CD=\frac{1}{2}BD$，即$BD=2CD$，
∵$△ ACD$和$△ ABD$以CD、BD为底时，高均为点A到BC的距离即AC的长度，
∴$\frac{S_{△ ACD}}{S_{△ ABD}}=\frac{\frac{1}{2}·CD·AC}{\frac{1}{2}·BD·AC}=\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，
已知$S_{△ ACD}=8$，
∴$S_{△ ABD}=2×8=16$。
【答案】B
【知识点】角平分线的尺规作图；30°直角三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】本题综合考查了尺规作图的识别、三角形内角和、特殊直角三角形的性质及等高三角形的面积关系，解题的核心是先识别出角平分线，再通过角度推导得到两条底的数量关系，属于常规综合基础题。
【难度系数】0.7
5. 情境题方案策略型 直线$ l $表示一条河，$ P,Q $表示两个村庄，欲在$ l $上的某处修建一个水泵站$ M $，分别向$ P,Q $两村供水。现有如图所示的四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（
D
）答案
5.D 【点拨】作点 P 关于直线 l 的对称点 P',连接P'Q,交直线 l 于点 M,根据两点之间线段最短,可知沿 PM,QM 铺设,所需的管道最短,作图即为 D 选项.
解析
【分析】
要解决在直线$l$上找一点$M$使$PM+QM$最短的问题，首先明确两点之间线段最短，但$P$、$Q$在直线$l$的同侧，直接连接$PQ$不与$l$相交，因此需要利用轴对称将同侧点转化为异侧点：作其中一个点关于直线$l$的对称点，就能将$PM$转化为和它相等的线段，从而把两条线段的和转化为异侧两点之间的线段长度，即可得到最小值，再对应选项判断即可。
【解析】
我们的目标是使铺设管道的总长度$PM+QM$最小：
1. 由于$P$、$Q$在直线$l$的同侧，根据轴对称的性质，作点$P$关于直线$l$的对称点$P'$，此时对直线$l$上任意点$M$，都有$PM=P'M$，因此$PM+QM=P'M+QM$。
2. 根据“两点之间，线段最短”的原理，当点$M$落在$P'Q$与直线$l$的交点处时，$P'M+QM$的和最小，最小值为$P'Q$的长度，此时对应的管道铺设方案即为D选项所示。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是生活中的几何应用问题，属于经典的“将军饮马”模型，解题关键是通过轴对称实现线段的等量转化，结合线段的基本性质找到最短路径，考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决在直线$l$上找一点$M$使$PM+QM$最短的问题，首先明确两点之间线段最短，但$P$、$Q$在直线$l$的同侧，直接连接$PQ$不与$l$相交，因此需要利用轴对称将同侧点转化为异侧点：作其中一个点关于直线$l$的对称点，就能将$PM$转化为和它相等的线段，从而把两条线段的和转化为异侧两点之间的线段长度，即可得到最小值，再对应选项判断即可。
【解析】
我们的目标是使铺设管道的总长度$PM+QM$最小：
1. 由于$P$、$Q$在直线$l$的同侧，根据轴对称的性质，作点$P$关于直线$l$的对称点$P'$，此时对直线$l$上任意点$M$，都有$PM=P'M$，因此$PM+QM=P'M+QM$。
2. 根据“两点之间，线段最短”的原理，当点$M$落在$P'Q$与直线$l$的交点处时，$P'M+QM$的和最小，最小值为$P'Q$的长度，此时对应的管道铺设方案即为D选项所示。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是生活中的几何应用问题，属于经典的“将军饮马”模型，解题关键是通过轴对称实现线段的等量转化，结合线段的基本性质找到最短路径，考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
6.[2026人大附中期末]如图,每个小方格的边长为1,A,B两点都在小方格的顶点上,点C也是图中小方格的顶点,并且△ABC是等腰三角形,那么点C的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6.C 【点拨】如图,当 AB 为腰时,分别以 A,B 两点为圆心,以 AB 长为半径作圆,可找出 2 个格点 C;当 AB 为底时,作 AB 的垂直平分线,可找出 1个格点 C,
∴点 C 的个数为 2+1=3.
解析
【分析】
解决本题需结合等腰三角形的定义采用分类讨论思想：等腰三角形有两条边相等，因此分两种情况分析：①AB为等腰三角形的腰；②AB为等腰三角形的底。当AB为腰时，分别以A、B为圆心、AB长为半径作圆，圆经过的格点即为候选点C，需排除三点共线的无效点；当AB为底时，点C在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线，查找线上的格点即可，最后统计所有符合条件的点C的数量。
【解析】
我们分两类讨论符合条件的点C：
1. 当AB为等腰三角形的腰时：
分别以点A、点B为圆心，以AB的长度为半径作弧，查找弧经过的格点，排除三点共线的情况后，共得到2个符合要求的格点C；
2. 当AB为等腰三角形的底时：
此时点C到A、B的距离相等，即点C在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线，可找到1个符合要求的格点C。
综上，符合条件的点C总个数为2+1=3。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形判定，线段垂直平分线性质，圆的基本性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在几何问题中的应用，解题时要注意分AB为腰、AB为底两种情况逐一排查，同时需排除三点共线的无效情况，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.65
解决本题需结合等腰三角形的定义采用分类讨论思想：等腰三角形有两条边相等，因此分两种情况分析：①AB为等腰三角形的腰；②AB为等腰三角形的底。当AB为腰时，分别以A、B为圆心、AB长为半径作圆，圆经过的格点即为候选点C，需排除三点共线的无效点；当AB为底时，点C在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线，查找线上的格点即可，最后统计所有符合条件的点C的数量。
【解析】
我们分两类讨论符合条件的点C：
1. 当AB为等腰三角形的腰时：
分别以点A、点B为圆心，以AB的长度为半径作弧，查找弧经过的格点，排除三点共线的情况后，共得到2个符合要求的格点C；
2. 当AB为等腰三角形的底时：
此时点C到A、B的距离相等，即点C在AB的垂直平分线上，作AB的垂直平分线，可找到1个符合要求的格点C。
综上，符合条件的点C总个数为2+1=3。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形判定，线段垂直平分线性质，圆的基本性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在几何问题中的应用，解题时要注意分AB为腰、AB为底两种情况逐一排查，同时需排除三点共线的无效情况，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.65
7. 在凸五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，F是CD的中点，连接AF.下列条件中，不能推出AF与CD一定垂直的是（
A.$∠ ABC=∠ AED$
B.$∠ BAF=∠ EAF$
C.$∠ BCF=∠ EDF$
D.$∠ ABD=∠ AEC$
D
）A.$∠ ABC=∠ AED$
B.$∠ BAF=∠ EAF$
C.$∠ BCF=∠ EDF$
D.$∠ ABD=∠ AEC$
答案
7.D 【点拨】A. 如图①,连接 AC,AD,
∵AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=DE,
∴△ACB≌△ADE(SAS).
∴ AC = AD. 又
∵ F 为 CD 的中点,
∴AF⊥CD,故不符合题意. B. 如图②,连接 BF,EF,
∵AB=AE,∠BAF=∠EAF,AF=AF,
∴△ABF≌△AEF(SAS).
∴ BF=EF,∠AFB=∠AFE.
∵ F 为 CD 的中点,
∴CF=DF. 又
∵ BC=DE,
∴△CBF≌△DEF(SSS).
∴∠CFB=∠DFE.
∴∠CFB+∠AFB=∠DFE+∠AFE=90°.
∴AF⊥CD,故不符合题意. C. 如图②,
∵CF=DF,∠BCF=∠EDF,BC=DE,
∴△CBF≌△DEF(SAS).
∴ BF=EF,∠CFB=∠DFE. 又
∵AB=AE,AF=AF,
∴△ABF≌△AEF(SSS).
∴∠AFB=∠AFE.
∴∠CFB+∠AFB=∠DFE+∠AFE=90°.
∴AF⊥CD,故不符合题意. D. 由∠ABD=∠AEC,无法得出题干结论,符合题意.故选 D.
解析
【分析】
要判断哪个条件无法推出AF⊥CD，需对四个选项逐一验证：结合已知的AB=AE、BC=DE、F是CD中点的条件，通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到边、角关系，再结合等腰三角形“三线合一”或平角的性质推导AF与CD是否垂直，无法完成推导的选项即为答案。
【解析】
选项A
如图①，连接AC、AD
已知AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=DE，根据SAS判定可得$△ ACB ≌ △ ADE$，因此$AC=AD$，即$△ ACD$为等腰三角形。
又因为F是CD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AF ⊥ CD$，故A不符合题意。
选项B
如图②，连接BF、EF
已知AB=AE，∠BAF=∠EAF，AF为公共边，根据SAS判定可得$△ ABF ≌ △ AEF$，因此$BF=EF$，$∠ AFB=∠ AFE$。
因为F是CD中点，所以$CF=DF$，又已知$BC=DE$，根据SSS判定可得$△ CBF ≌ △ DEF$，因此$∠ CFB=∠ DFE$。
由此可得$∠ CFB+∠ AFB=∠ DFE+∠ AFE$，结合平角为$180°$，可知$∠ AFC=∠ AFD=90°$，即$AF ⊥ CD$，故B不符合题意。
选项C
已知$CF=DF$，∠BCF=∠EDF，$BC=DE$，根据SAS判定可得$△ CBF ≌ △ DEF$，因此$BF=EF$，$∠ CFB=∠ DFE$。
又因为$AB=AE$，AF为公共边，根据SSS判定可得$△ ABF ≌ △ AEF$，因此$∠ AFB=∠ AFE$。
由此可得$∠ CFB+∠ AFB=∠ DFE+∠ AFE$，结合平角为$180°$，可知$∠ AFC=∠ AFD=90°$，即$AF ⊥ CD$，故C不符合题意。
选项D
仅给出$∠ ABD=∠ AEC$，结合已知条件无法通过全等推导或其他性质得到AF与CD垂直的相关结论，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直的判定
【点评】
本题属于几何条件探究类题目，需要对每个选项逐一分析，通过构造辅助线证明全等，再结合等腰三角形的性质推导垂直关系，能够有效考查几何逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要判断哪个条件无法推出AF⊥CD，需对四个选项逐一验证：结合已知的AB=AE、BC=DE、F是CD中点的条件，通过作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到边、角关系，再结合等腰三角形“三线合一”或平角的性质推导AF与CD是否垂直，无法完成推导的选项即为答案。
【解析】
选项A
如图①，连接AC、AD
已知AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=DE，根据SAS判定可得$△ ACB ≌ △ ADE$，因此$AC=AD$，即$△ ACD$为等腰三角形。
又因为F是CD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AF ⊥ CD$，故A不符合题意。
选项B
如图②，连接BF、EF
已知AB=AE，∠BAF=∠EAF，AF为公共边，根据SAS判定可得$△ ABF ≌ △ AEF$，因此$BF=EF$，$∠ AFB=∠ AFE$。
因为F是CD中点，所以$CF=DF$，又已知$BC=DE$，根据SSS判定可得$△ CBF ≌ △ DEF$，因此$∠ CFB=∠ DFE$。
由此可得$∠ CFB+∠ AFB=∠ DFE+∠ AFE$，结合平角为$180°$，可知$∠ AFC=∠ AFD=90°$，即$AF ⊥ CD$，故B不符合题意。
选项C
已知$CF=DF$，∠BCF=∠EDF，$BC=DE$，根据SAS判定可得$△ CBF ≌ △ DEF$，因此$BF=EF$，$∠ CFB=∠ DFE$。
又因为$AB=AE$，AF为公共边，根据SSS判定可得$△ ABF ≌ △ AEF$，因此$∠ AFB=∠ AFE$。
由此可得$∠ CFB+∠ AFB=∠ DFE+∠ AFE$，结合平角为$180°$，可知$∠ AFC=∠ AFD=90°$，即$AF ⊥ CD$，故C不符合题意。
选项D
仅给出$∠ ABD=∠ AEC$，结合已知条件无法通过全等推导或其他性质得到AF与CD垂直的相关结论，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直的判定
【点评】
本题属于几何条件探究类题目，需要对每个选项逐一分析，通过构造辅助线证明全等，再结合等腰三角形的性质推导垂直关系，能够有效考查几何逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
8. [2026广州期末] 如图,在等边$△ ABC$中,$AD⊥ BC$,$E$为线段$AD$上一点,连接$BE$,$CE$,$∠ ABE=15°$,将$△ ABE$沿$BE$折叠,使点$A$落在点$F$处,连接$AF$,$CF$.有下列结论:①$BE⊥ AF$;②$△ AEC≌△ FEB$;③$AF=CF$;④$△ AEF$是等腰直角三角形;⑤$S_{△ ABF}=2S_{△ EFC}$,其中,正确的结论个数是 (
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
B
)A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
8.B 【点拨】①如图,延长 BE 交 AF 于点 H,由折叠的性质可得,∠FBE=∠ABE=15°,FB=AB,
∴∠ABF=∠FBE+∠ABE=30°,∠BAF=∠BFA.
∵∠BAF+∠BFA+∠ABF=180°,
∴2∠BAF+30°=180°,
∴∠BAF=75°,
∴∠BHA=180°-(∠ABE+∠BAF)=90°,即 BE⊥AF.故①正确,符合题意.②由折叠的性质可得,△AEB≌△FEB,
∵△ABC 是等边三角形,AD⊥BC,
∴∠CAE=∠BAE=30°,AC=AB.
在△AEC 和△AEB 中,$\{\begin{array}{l} AC=AB,\\ ∠CAE=∠BAE,\\ AE=AE,\end{array} $
∴△AEC≌△AEB(SAS),
∴△AEC≌△FEB,故②正确,符合题意.
③
∵AB=BC,∠ABC=60°,∠ABF=30°,
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=30°,
∴∠ABF=∠FBC. 又
∵ BF=BF,
∴△ABF≌△CBF(SAS).
∴AF=CF,故③正确,符合题意. ④
∵△AEC≌△FEB,
∴AE=EF. 又
∵∠BAF=75°,∠BAD = 30°,
∴∠EFA=∠EAF = ∠BAF - ∠BAD=45°,
∴△AEF 是等腰直角三角形,故④正确,符合题意. ⑤
∵△AEF 是等腰直角三角形,
∴EF⊥AE. 又
∵ AD ⊥ BC,
∴ EF // BC,
∴ $S_{△BEF} = S_{△EFC}$.
∵△BEA≌△BEF,
∴$S_{△BEA}=S_{△BEF}$.
∴$S_{△ABF}=S_{△BEA}+S_{△BEF}+S_{△AEF}=2S_{△BEF}+S_{△AEF}=2S_{△EFC}+S_{△AEF}$.
∴$S_{△ABF}＞2S_{△EFC}$,故⑤错误,不符合题意,综上所述,正确的有①②③④,共 4 个,故选 B.
解析
【分析】
这是一道等边三角形结合折叠变换的几何结论判断题，解题时需结合折叠性质、等边三角形性质、全等三角形判定、等腰直角三角形判定、同底等高三角形面积相等的规律逐个验证5个结论：1. 利用折叠的轴对称性，折痕与对应点连线垂直，可判断①；2. 先由折叠得△AEB≌△FEB，再结合等边三角形三线合一的性质证明△AEC≌△AEB，通过全等的传递性判断②；3. 证明△ABF和△CBF全等即可判断③；4. 计算△AEF的内角角度，结合边的关系判断是否为等腰直角三角形，验证④；5. 利用平行线间同底等高三角形面积相等，结合面积和的关系判断⑤，最后统计正确结论个数即可。
【解析】
我们逐个分析结论：
① 延长BE交AF于点H，由折叠的性质可得，∠FBE=∠ABE=15°，FB=AB，
∴∠ABF=∠FBE+∠ABE=30°，∠BAF=∠BFA。
∵∠BAF+∠BFA+∠ABF=180°，
∴2∠BAF+30°=180°，解得∠BAF=75°，
∴∠BHA=180°-(∠ABE+∠BAF)=180°-(15°+75°)=90°，即BE⊥AF，故①正确。
② 由折叠的性质可得△AEB≌△FEB，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠CAE=∠BAE=30°，AC=AB。
在△AEC和△AEB中，
$\{\begin{array}{l} AC=AB,\\ ∠CAE=∠BAE,\\ AE=AE,\end{array} $
∴△AEC≌△AEB(SAS)，
∴△AEC≌△FEB，故②正确。
③
∵AB=BC，∠ABC=60°，∠ABF=30°，
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=30°，即∠ABF=∠FBC。
又
∵BF=BF，
∴△ABF≌△CBF(SAS)，
∴AF=CF，故③正确。
④
∵△AEC≌△FEB，
∴AE=EF。
又
∵∠BAF=75°，∠BAD=30°，
∴∠EAF=∠BAF-∠BAD=75°-30°=45°，
∴∠EFA=∠EAF=45°，
∴∠AEF=180°-45°×2=90°，即△AEF是等腰直角三角形，故④正确。
⑤
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴EF⊥AE，
又
∵AD⊥BC，
∴EF//BC，
∴△BEF和△EFC同底等高，即$S_{△BEF} = S_{△EFC}$。
∵△BEA≌△BEF，
∴$S_{△BEA}=S_{△BEF}$。
∴$S_{△ABF}=S_{△BEA}+S_{△BEF}+S_{△AEF}=2S_{△BEF}+S_{△AEF}=2S_{△EFC}+S_{△AEF}$，
∴$S_{△ABF}＞2S_{△EFC}$，故⑤错误。
综上，正确的结论有①②③④，共4个。
【答案】B
【知识点】
折叠的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，融合了折叠变换、特殊三角形的性质与判定、全等证明、面积关系推导等多个考点，需要逐一推导验证每个结论，易错点是第⑤个结论的面积推导，易遗漏△AEF的面积导致判断错误。
【难度系数】
0.6
这是一道等边三角形结合折叠变换的几何结论判断题，解题时需结合折叠性质、等边三角形性质、全等三角形判定、等腰直角三角形判定、同底等高三角形面积相等的规律逐个验证5个结论：1. 利用折叠的轴对称性，折痕与对应点连线垂直，可判断①；2. 先由折叠得△AEB≌△FEB，再结合等边三角形三线合一的性质证明△AEC≌△AEB，通过全等的传递性判断②；3. 证明△ABF和△CBF全等即可判断③；4. 计算△AEF的内角角度，结合边的关系判断是否为等腰直角三角形，验证④；5. 利用平行线间同底等高三角形面积相等，结合面积和的关系判断⑤，最后统计正确结论个数即可。
【解析】
我们逐个分析结论：
① 延长BE交AF于点H，由折叠的性质可得，∠FBE=∠ABE=15°，FB=AB，
∴∠ABF=∠FBE+∠ABE=30°，∠BAF=∠BFA。
∵∠BAF+∠BFA+∠ABF=180°，
∴2∠BAF+30°=180°，解得∠BAF=75°，
∴∠BHA=180°-(∠ABE+∠BAF)=180°-(15°+75°)=90°，即BE⊥AF，故①正确。
② 由折叠的性质可得△AEB≌△FEB，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴∠CAE=∠BAE=30°，AC=AB。
在△AEC和△AEB中，
$\{\begin{array}{l} AC=AB,\\ ∠CAE=∠BAE,\\ AE=AE,\end{array} $
∴△AEC≌△AEB(SAS)，
∴△AEC≌△FEB，故②正确。
③
∵AB=BC，∠ABC=60°，∠ABF=30°，
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=30°，即∠ABF=∠FBC。
又
∵BF=BF，
∴△ABF≌△CBF(SAS)，
∴AF=CF，故③正确。
④
∵△AEC≌△FEB，
∴AE=EF。
又
∵∠BAF=75°，∠BAD=30°，
∴∠EAF=∠BAF-∠BAD=75°-30°=45°，
∴∠EFA=∠EAF=45°，
∴∠AEF=180°-45°×2=90°，即△AEF是等腰直角三角形，故④正确。
⑤
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴EF⊥AE，
又
∵AD⊥BC，
∴EF//BC，
∴△BEF和△EFC同底等高，即$S_{△BEF} = S_{△EFC}$。
∵△BEA≌△BEF，
∴$S_{△BEA}=S_{△BEF}$。
∴$S_{△ABF}=S_{△BEA}+S_{△BEF}+S_{△AEF}=2S_{△BEF}+S_{△AEF}=2S_{△EFC}+S_{△AEF}$，
∴$S_{△ABF}＞2S_{△EFC}$，故⑤错误。
综上，正确的结论有①②③④，共4个。
【答案】B
【知识点】
折叠的性质；等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何综合题，融合了折叠变换、特殊三角形的性质与判定、全等证明、面积关系推导等多个考点，需要逐一推导验证每个结论，易错点是第⑤个结论的面积推导，易遗漏△AEF的面积导致判断错误。
【难度系数】
0.6
9.等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为
6
。答案
9.6
解析
【分析】
解题时首先结合等腰三角形“两腰长度相等”的性质，确定第三边的两种可能取值：6或2；再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）对两种情况分别验证，排除无法构成三角形的情况，即可得到正确的第三边长。
【解析】
已知等腰三角形的两边长分别为6和2，需分两种情况讨论：
1. 若第三边长为2，此时三角形三边长为2、2、6。
因为 $2+2=4＜6$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，该情况舍去；
2. 若第三边长为6，此时三角形三边长为2、6、6。
验证三边关系：$2+6＞6$，$6+6＞2$，满足三角形三边关系，可以构成三角形，该情况成立。
综上，第三边长为6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的定义，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础易错题，解题的关键是不能仅依据等腰三角形的性质确定边长，还要结合三角形三边关系验证所得到的边长是否能构成合法的三角形，避免因忽略验证导致错解。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合等腰三角形“两腰长度相等”的性质，确定第三边的两种可能取值：6或2；再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）对两种情况分别验证，排除无法构成三角形的情况，即可得到正确的第三边长。
【解析】
已知等腰三角形的两边长分别为6和2，需分两种情况讨论：
1. 若第三边长为2，此时三角形三边长为2、2、6。
因为 $2+2=4＜6$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的要求，无法构成三角形，该情况舍去；
2. 若第三边长为6，此时三角形三边长为2、6、6。
验证三边关系：$2+6＞6$，$6+6＞2$，满足三角形三边关系，可以构成三角形，该情况成立。
综上，第三边长为6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的定义，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的基础易错题，解题的关键是不能仅依据等腰三角形的性质确定边长，还要结合三角形三边关系验证所得到的边长是否能构成合法的三角形，避免因忽略验证导致错解。
【难度系数】
0.7
10. [2026 六安期末] 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$于点$D$,$∠ A=30°$,$BD=2$,则$AD$的长度是
6
.答案
10.6
解析
【分析】
解题时先利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，再结合CD⊥AB推出∠BCD=30°，依据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”先求出BC的长度，再在Rt△ABC中用相同性质求出AB的总长度，最后用AB减去BD的长度即可得到AD的长。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=60°$，且$AB=2BC$（直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半）。
$\because CD⊥ AB$，$\therefore ∠ CDB=90°$，
在$Rt△ BCD$中，$∠ BCD=90°-∠ B=30°$，
$\therefore BC=2BD$。
已知$BD=2$，代入得$BC=2×2=4$，
$\therefore AB=2BC=2×4=8$，
$\therefore AD=AB-BD=8-2=6$。
【答案】
6
【知识点】
直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题是几何基础常考题，核心考查含30°角的直角三角形的边的性质，解题时需要结合图形两次运用该性质，逐步推导得到所求线段的长度，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题时先利用直角三角形两锐角互余求出∠B的度数，再结合CD⊥AB推出∠BCD=30°，依据“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”先求出BC的长度，再在Rt△ABC中用相同性质求出AB的总长度，最后用AB减去BD的长度即可得到AD的长。
【解析】
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=60°$，且$AB=2BC$（直角三角形中30°角所对直角边为斜边的一半）。
$\because CD⊥ AB$，$\therefore ∠ CDB=90°$，
在$Rt△ BCD$中，$∠ BCD=90°-∠ B=30°$，
$\therefore BC=2BD$。
已知$BD=2$，代入得$BC=2×2=4$，
$\therefore AB=2BC=2×4=8$，
$\therefore AD=AB-BD=8-2=6$。
【答案】
6
【知识点】
直角三角形两锐角互余；含30°角的直角三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题是几何基础常考题，核心考查含30°角的直角三角形的边的性质，解题时需要结合图形两次运用该性质，逐步推导得到所求线段的长度，难度不大。
【难度系数】
0.7
11.如图，$AB// CD$，BP和CP分别平分$∠ ABC$和$∠ DCB$，AD过点P，且与AB垂直，若点P到BC的距离是4，则AD的长为
8
。答案
11.8
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AB//CD、AD⊥AB可推出AD⊥CD，得到PA⊥AB、PD⊥CD的垂直关系；再结合BP、CP是角平分线的条件，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可得PA与点P到BC的距离相等，PD也与点P到BC的距离相等；最后AD是PA与PD的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：过点P作PE⊥BC于点E，由题意可知点P到BC的距离为4，即PE=4。
∵AB//CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD（两直线平行，同旁内角互补，一个角为90°则另一个角也为90°），即PA⊥AB，PD⊥CD。
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴PA=PE=4（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵CP平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，
∴PD=PE=4（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴AD=PA+PD=4+4=8。
【答案】
8
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；线段和差计算
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是运用角平分线的性质实现线段的等量转化，解题时要注意挖掘题目中的垂直、角平分线等隐含条件，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先由AB//CD、AD⊥AB可推出AD⊥CD，得到PA⊥AB、PD⊥CD的垂直关系；再结合BP、CP是角平分线的条件，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可得PA与点P到BC的距离相等，PD也与点P到BC的距离相等；最后AD是PA与PD的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：过点P作PE⊥BC于点E，由题意可知点P到BC的距离为4，即PE=4。
∵AB//CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD（两直线平行，同旁内角互补，一个角为90°则另一个角也为90°），即PA⊥AB，PD⊥CD。
∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴PA=PE=4（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵CP平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，
∴PD=PE=4（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴AD=PA+PD=4+4=8。
【答案】
8
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；线段和差计算
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是运用角平分线的性质实现线段的等量转化，解题时要注意挖掘题目中的垂直、角平分线等隐含条件，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
