11.「2026 安徽合肥中科大附中期中，★☆」阅读材料:对于任意数,我们规定符号$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$的意义是$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$.例如:$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1×4-2×3=-2$.
(1)按照上述规定,请你计算$\begin{vmatrix}5&6\\-2&8\end{vmatrix}$的值.
(2)按照上述规定,请你计算当$m=-3,n=1$时,$\begin{vmatrix}2&3m+2n\\-1&m^2-2n\end{vmatrix}$的值.

(1)原式$=5×8-6×(-2)=52$.
(2)因为$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$,
所以原式$=2(m^2-2n)-(3m+2n)×(-1)$
$=2m^2-4n+3m+2n=2m^2+3m-2n$,
当$m=-3$,$n=1$时,原式$=2×(-3)^2+3×(-3)-2×1=18-9-2=7$.

【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是准确理解题目给出的二阶行列式运算规则：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，即左上与右下元素的乘积减去右上与左下元素的乘积。(1)问直接将对应数字代入规则计算即可；(2)问先按照规则将行列式展开为整式，先化简整式再代入m、n的取值计算，可减少计算错误。
【解析】
(1) 根据新定义的运算规则可得：
$\begin{vmatrix}5&6\\-2&8\end{vmatrix}=5×8 - 6×(-2)=40 + 12=52$
(2) 先根据新定义展开行列式：
$\begin{vmatrix}2&3m+2n\\-1&m^2-2n\end{vmatrix}=2(m^2-2n) - (3m+2n)×(-1)$
去括号得：$2m^2 - 4n + 3m + 2n$
合并同类项化简得：$2m^2 + 3m - 2n$
将$m=-3$，$n=1$代入化简后的式子：
原式$=2×(-3)^2 + 3×(-3) - 2×1=2×9 -9 -2=18-9-2=7$
【答案】
(1) $\boxed{52}$；(2) $\boxed{7}$
【知识点】
新定义运算，整式加减，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，重点考查对新运算规则的理解和应用能力，解题时只要严格按照给定规则展开运算，注意去括号时的符号问题，就能顺利求解。
【难度系数】
0.85

12.核心素养应用意识「2026安徽合肥庐江期中」某超市在国庆假期对顾客实行优惠，规定如下：

(1)若王老师一次性购物450元，则他实际付款元.
(2)若某顾客在该超市一次性购物x元.
①当x元低于500元但不低于200元时，他实际付款元.
②当x元等于500元或超过500元时，他实际付款多少元？(用含x的代数式表示)
(3)如果王老师两次购物金额合计820元，第一次购物金额为a元(低于300元但不低于200元)，求王老师两次购物实际共付款多少元.(用含a的代数式表示)

(1)405.
详解:因为200＜450＜500,所以王老师实际付款450×0.9=405(元).
(2)①$0.9x$.
②当$x≥500$时,实际付款$500×0.9+0.8(x-500)=(0.8x+50)$元.
(3)第一次的购物金额为a元,则第二次的购物金额为$(820-a)$元,因为$200≤a＜300$,
所以820-a的值一定大于500,所以王老师两次购物实际共付款$0.9a+500×0.9+0.8×(820-a-500)=0.9a+450+256-0.8a=(0.1a+706)$元.

【分析】
这是一道分段计费的实际应用问题，解题时首先要明确不同购物金额区间对应的优惠规则，再将对应金额匹配到所属区间，按规则计算实际付款即可：
1. 解决第(1)问时，先判断450元所属的优惠区间，再用对应折扣计算；
2. 解决第(2)问时，①对应200≤x＜500的区间，直接用原价乘折扣即可；②对应x≥500的区间，要拆分500元以内和超过500元两部分分别计算优惠后求和；
3. 解决第(3)问时，先根据a的取值范围判断第二次购物金额所属的优惠区间，分别计算两次的实际付款后相加，再化简代数式得到结果。
【解析】
(1) 因为200＜450＜500，符合“低于500元但不低于200元”的优惠规则，享受九折优惠，所以实际付款为：$450×0.9=405$（元）。
(2) ①当$200≤x＜500$时，享受九折优惠，实际付款为$x×0.9=0.9x$元。
②当$x≥500$时，其中500元打九折，超过500元的部分$(x-500)$打八折，因此实际付款为：
$500×0.9 + 0.8(x-500) = 450 + 0.8x - 400 = (0.8x + 50)$元。
(3) 已知第一次购物金额为$a$元（$200≤a＜300$），则第二次购物金额为$(820 - a)$元。
因为$a＜300$，所以$820 - a ＞ 820 - 300 = 520 ＞ 500$，符合“500元或超过500元”的优惠规则。
第一次实际付款：$0.9a$元；
第二次实际付款：$500×0.9 + 0.8×(820-a-500)$元；
两次共付款：
$0.9a + 450 + 0.8×(320-a)$
$=0.9a + 450 + 256 - 0.8a$
$=(0.1a + 706)$元。
【答案】
(1) $\boxed{405}$
(2) ①$\boxed{0.9x}$；②$\boxed{(0.8x+50)}$元
(3) $\boxed{(0.1a+706)}$元
【知识点】
分段计费问题，列代数式，整式加减
【点评】
本题结合生活中的超市优惠场景命题，核心是准确匹配金额对应的优惠区间，再按规则列式计算，需要注意分段计算时不要混淆不同区间的折扣，化简代数式时要注意运算正确性。
【难度系数】
0.7

1.「2026 江苏宿迁宿豫期中」多项式$2q^2 + 2p + 3q$与$q^2 + 2p - 3q$的大小关系 （）

A.与$p,q$都有关
B.只与$p$有关
C.只与$q$有关
D.与$p,q$都无关

因为$2q^2+2p+3q-(q^2+2p-3q)=2q^2+2p+3q-q^2-2p+3q=q^2+6q$,所以多项式$2q^2+2p+3q$与$q^2+2p-3q$的大小关系只与q有关.故选C.

【分析】
比较两个多项式的大小通常采用作差法，解题思路如下：第一步将两个多项式相减，第二步按照去括号法则去掉括号，第三步合并同类项化简差的结果，最后观察化简后的式子中包含哪些字母，就能判断两个多项式的大小关系和哪些变量有关。
【解析】
计算两个多项式的差：
$\begin{aligned}&2q^2 + 2p + 3q-(q^2 + 2p - 3q)\\=&2q^2 + 2p + 3q-q^2 - 2p + 3q\\=&(2q^2-q^2)+(2p-2p)+(3q+3q)\\=&q^2+6q\end{aligned}$
化简后的结果$q^2+6q$中仅含有字母$q$，不含字母$p$，说明两个多项式的大小关系只与$q$有关。故选C。
【答案】C
【知识点】
作差比较法、整式加减、合并同类项
【点评】
本题是整式加减的典型应用题型，解题核心是熟练掌握作差法比较大小的思路，以及整式加减的运算规则，只要能正确合并同类项，就能快速判断出结果。
【难度系数】
0.8

2.「2026江苏盐城盐都期中」若$M=2(a^2+a)+4$，$N=a^2+2a-1$，则$M,N$的大小关系为。

答案 $M＞N$
解析 因为$M-N=2(a^2+a)+4-(a^2+2a-1)=2a^2+2a+4-a^2-2a+1=a^2+5＞0$,所以$M＞N$.

【分析】
要比较两个整式M和N的大小，常用作差法：计算M-N的值，若结果大于0，则M＞N；若结果小于0，则M＜N；若结果等于0，则M=N。解题时先将M、N的表达式代入M-N中，按照整式加减的运算法则，先去括号，再合并同类项得到最简结果，最后根据平方的非负性判断结果的正负，即可得出M、N的大小关系。
【解析】
解：计算M与N的差：
$M-N=2(a^2+a)+4-(a^2+2a-1)$
去括号，得：
$M-N=2a^2+2a+4-a^2-2a+1$
合并同类项，得：
$M-N=a^2+5$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$a^2≥0$
∴ $a^2+5≥5＞0$，即$M-N＞0$
∴ $M＞N$
【答案】
$M＞N$
【知识点】
作差法比较大小，整式的加减运算，平方的非负性
【点评】
本题属于整式加减的基础应用题型，解题核心是掌握作差法比较大小的思路，准确完成去括号、合并同类项运算，再结合非负数的性质判断差的符号即可求解，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的基础。
【难度系数】
0.85

3.某电商在促销活动期间,为买家包装商品时用到长、宽、高分别为$a$厘米、$c$厘米、$b$厘米的箱子,准备采用如图1、图2、图3所示的三种打包方式,所需打包带的长度分别为$l_1,l_2,l_3$(不计接头处的长).
(1)用含$a,b,c$的代数式分别表示$l_1,l_2,l_3$.
(2)当$a＜b＜c$时,三种打包方式中,哪种方式最节省打包带?请说明理由.

(1)$l_1=4a+4b+4c$,$l_2=4a+6b+2c$,$l_3=2a+6b+4c$.
(2)题图2中的打包方式最节省打包带.
理由:因为$a＜b＜c$,所以$b-a＞0$,$c-b＞0$,
因为$l_1-l_2=2c-2b=2(c-b)＞0$,所以$l_1＞l_2$,
因为$l_3-l_1=2b-2a=2(b-a)＞0$,
所以$l_3＞l_1$,所以$l_2＜l_1＜l_3$,
所以题图2中的打包方式最节省打包带.

【分析】
（1）要表示三种打包方式的打包带长度，只需分别数出每种打包方式中长度为a、b、c的打包带各有多少段，再将对应段数乘长度相加，即可得到$l_1、l_2、l_3$的代数式。（2）要判断哪种打包方式最节省，本质是比较三个代数式的大小，可采用作差法：若两个式子的差大于0，则被减数更大；若差小于0，则被减数更小，结合已知$a＜b＜c$判断差的正负，排序后即可得到最节省的打包方式。
【解析】
(1) 观察各图打包带的分布计数：
图1中，长度为a的打包带共4段，长度为b的共4段，长度为c的共4段，因此$l_1=4a+4b+4c$；
图2中，长度为a的打包带共4段，长度为b的共6段，长度为c的共2段，因此$l_2=4a+6b+2c$；
图3中，长度为a的打包带共2段，长度为b的共6段，长度为c的共4段，因此$l_3=2a+6b+4c$。
(2) 用作差法比较三个长度的大小：
已知$a＜b＜c$，因此$b-a＞0$，$c-b＞0$。
① 计算$l_1-l_2$：
$l_1-l_2=(4a+4b+4c)-(4a+6b+2c)=2c-2b=2(c-b)$，
因为$c-b＞0$，所以$2(c-b)＞0$，即$l_1-l_2＞0$，可得$l_1＞l_2$；
② 计算$l_3-l_1$：
$l_3-l_1=(2a+6b+4c)-(4a+4b+4c)=2b-2a=2(b-a)$，
因为$b-a＞0$，所以$2(b-a)＞0$，即$l_3-l_1＞0$，可得$l_3＞l_1$；
综上可推出$l_2＜l_1＜l_3$，因此图2的打包方式最节省打包带。
【答案】
(1)$l_1=4a+4b+4c$，$l_2=4a+6b+2c$，$l_3=2a+6b+4c$；
(2)图2所示的打包方式最节省打包带，理由见解析。
【知识点】
列代数式，整式加减，作差法比较大小
【点评】
本题结合生活中的打包场景考查整式的实际应用，解题核心是准确计数各方向打包带的数量列出代数式，再利用作差法结合已知条件判断大小，能够有效锻炼学生的观察能力和数学知识的应用能力。
【难度系数】
0.7