登录
1.「2026 黑龙江牡丹江期中」已知关于$x,y$的代数式$A$，$B$，且$A=3x^2 - axy + y^2$，$B=x^2 + 4xy - 2y^2$。
(1)当$a=2$时，化简$2A - B$。
(2)若$2A - B$不含$xy$项，求$a^2 + 1$的值。
(1)当$a=2$时，化简$2A - B$。
(2)若$2A - B$不含$xy$项，求$a^2 + 1$的值。
答案
(1) $2A-B=2(3x^2-axy+y^2)-(x^2+4xy-2y^2)=6x^2-2axy+2y^2-x^2-4xy+2y^2=5x^2-(2a+4)xy+4y^2$，当$a=2$时，$2A-B=5x^2-8xy+4y^2$。
(2) 由(1)得$2A-B=5x^2-(2a+4)xy+4y^2$，因为$2A-B$不含$xy$项，所以$-(2a+4)=0$，所以$a=-2$，所以$a^2+1=(-2)^2+1=5$。
题型解读 整式化简求值中的“不含”型问题,解题关键在于准确合并同类项,依据“不含某项即该项系数为0”求参数。
(2) 由(1)得$2A-B=5x^2-(2a+4)xy+4y^2$，因为$2A-B$不含$xy$项，所以$-(2a+4)=0$，所以$a=-2$，所以$a^2+1=(-2)^2+1=5$。
题型解读 整式化简求值中的“不含”型问题,解题关键在于准确合并同类项,依据“不含某项即该项系数为0”求参数。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：(1) 先将A、B的表达式代入2A-B，按照整式加减的运算规则，先去括号，再合并同类项得到含参数a的化简结果，最后将a=2代入化简后的式子计算即可。(2) 整式不含某一项的含义是该项的系数为0，因此先找到2A-B中xy项的系数，令其等于0求出a的值，再代入a²+1计算即可。
【解析】
(1) 先推导2A-B的通用化简式：
$\begin{aligned}2A-B&=2(3x^2 - axy + y^2)-(x^2 + 4xy - 2y^2)\\&=6x^2 - 2axy + 2y^2 - x^2 - 4xy + 2y^2\\&=5x^2 -(2a+4)xy + 4y^2\end{aligned}$
当a=2时，代入上式得：
$\begin{aligned}2A-B&=5x^2 -(2×2 +4)xy +4y^2\\&=5x^2 -8xy +4y^2\end{aligned}$
(2) 由(1)可知2A-B中xy项的系数为$-(2a+4)$，因为2A-B不含xy项，所以xy项的系数为0，即：
$-(2a+4)=0$
解得a=-2，将a=-2代入a²+1得：
$a^2+1=(-2)^2 +1=4+1=5$
【答案】
(1) $5x^2 -8xy +4y^2$；(2) $5$
【知识点】
整式的加减运算，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的经典题型，核心考察去括号、合并同类项的运算能力，以及对“多项式不含某项则该项系数为0”这一规则的应用，计算时需注意去括号的符号变化，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：(1) 先将A、B的表达式代入2A-B，按照整式加减的运算规则，先去括号，再合并同类项得到含参数a的化简结果，最后将a=2代入化简后的式子计算即可。(2) 整式不含某一项的含义是该项的系数为0，因此先找到2A-B中xy项的系数，令其等于0求出a的值，再代入a²+1计算即可。
【解析】
(1) 先推导2A-B的通用化简式：
$\begin{aligned}2A-B&=2(3x^2 - axy + y^2)-(x^2 + 4xy - 2y^2)\\&=6x^2 - 2axy + 2y^2 - x^2 - 4xy + 2y^2\\&=5x^2 -(2a+4)xy + 4y^2\end{aligned}$
当a=2时，代入上式得：
$\begin{aligned}2A-B&=5x^2 -(2×2 +4)xy +4y^2\\&=5x^2 -8xy +4y^2\end{aligned}$
(2) 由(1)可知2A-B中xy项的系数为$-(2a+4)$，因为2A-B不含xy项，所以xy项的系数为0，即：
$-(2a+4)=0$
解得a=-2，将a=-2代入a²+1得：
$a^2+1=(-2)^2 +1=4+1=5$
【答案】
(1) $5x^2 -8xy +4y^2$；(2) $5$
【知识点】
整式的加减运算，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是整式化简求值的经典题型，核心考察去括号、合并同类项的运算能力，以及对“多项式不含某项则该项系数为0”这一规则的应用，计算时需注意去括号的符号变化，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
2.「2026安徽六安舒城期末」已知$A=2x^2 +5xy -7y -3$，$B=x^2 -xy +2$。
(1)化简$(2B+A)-2A$。
(2)若$2B -A$的值与y的取值无关，求x的值。
(1)化简$(2B+A)-2A$。
(2)若$2B -A$的值与y的取值无关，求x的值。
答案
(1) $(2B+A)-2A=2B-A=2(x^2-xy+2)-(2x^2+5xy-7y-3)=2x^2-2xy+4-2x^2-5xy+7y+3=-7xy+7y+7$。
(2) 由(1)得$2B-A=-7xy+7y+7=(7-7x)y+7$，因为$2B-A$的值与$y$的取值无关，所以$7-7x=0$，所以$x=1$。
(2) 由(1)得$2B-A=-7xy+7y+7=(7-7x)y+7$，因为$2B-A$的值与$y$的取值无关，所以$7-7x=0$，所以$x=1$。
解析
【分析】
(1) 先对所求式子进行初步化简，去括号合并同类项后转化为$2B-A$的形式，再将A、B对应的整式代入，去括号时注意括号前为负号时括号内各项要变号，最后合并同类项即可得到化简结果。
(2) 若整式的值与y的取值无关，说明整式中所有含y的项的系数之和为0，先将第一问得到的$2B-A$的结果整理为关于y的一次式，令y的系数等于0，解一元一次方程即可求出x的值。
【解析】
(1) 先化简原式：
$\begin{split}(2B+A)-2A&=2B+A-2A\\&=2B-A\end{split}$
将$A=2x^2 +5xy -7y -3$，$B=x^2 -xy +2$代入上式：
$\begin{split}2B-A&=2(x^2 - xy + 2) - (2x^2 + 5xy - 7y - 3)\\&=2x^2 - 2xy + 4 - 2x^2 - 5xy + 7y + 3\\&=-7xy + 7y + 7\end{split}$
(2) 由(1)得$2B - A = -7xy +7y +7$，将式子整理为含y项和常数项的形式：
$2B - A = (7 - 7x)y + 7$
因为$2B - A$的值与y的取值无关，所以y的系数为0，即：
$7 - 7x = 0$
解得$x=1$
【答案】
(1) $-7xy +7y +7$；(2) $x=1$
【知识点】
整式的加减，合并同类项，代数式与字母无关的条件
【点评】
本题重点考查整式加减的运算规则，以及代数式取值和字母无关的应用，熟练掌握去括号、合并同类项的法则是基础，理解“与某个字母取值无关即该字母的系数为0”是解决第二问的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 先对所求式子进行初步化简，去括号合并同类项后转化为$2B-A$的形式，再将A、B对应的整式代入，去括号时注意括号前为负号时括号内各项要变号，最后合并同类项即可得到化简结果。
(2) 若整式的值与y的取值无关，说明整式中所有含y的项的系数之和为0，先将第一问得到的$2B-A$的结果整理为关于y的一次式，令y的系数等于0，解一元一次方程即可求出x的值。
【解析】
(1) 先化简原式：
$\begin{split}(2B+A)-2A&=2B+A-2A\\&=2B-A\end{split}$
将$A=2x^2 +5xy -7y -3$，$B=x^2 -xy +2$代入上式：
$\begin{split}2B-A&=2(x^2 - xy + 2) - (2x^2 + 5xy - 7y - 3)\\&=2x^2 - 2xy + 4 - 2x^2 - 5xy + 7y + 3\\&=-7xy + 7y + 7\end{split}$
(2) 由(1)得$2B - A = -7xy +7y +7$，将式子整理为含y项和常数项的形式：
$2B - A = (7 - 7x)y + 7$
因为$2B - A$的值与y的取值无关，所以y的系数为0，即：
$7 - 7x = 0$
解得$x=1$
【答案】
(1) $-7xy +7y +7$；(2) $x=1$
【知识点】
整式的加减，合并同类项，代数式与字母无关的条件
【点评】
本题重点考查整式加减的运算规则，以及代数式取值和字母无关的应用，熟练掌握去括号、合并同类项的法则是基础，理解“与某个字母取值无关即该字母的系数为0”是解决第二问的关键。
【难度系数】
0.8
3.「2026 河南郑州外国语学校期中」已知 $ A = 2a^2 + 3ab - 2a -1, B = a^2 + ab -1. $
(1) 化简 $ A - 2B. $
(2) 无论 $ a $ 取何值，$ A - 2B $ 都是一个定值，请求出这个定值及 $ b $ 的值.
(1) 化简 $ A - 2B. $
(2) 无论 $ a $ 取何值，$ A - 2B $ 都是一个定值，请求出这个定值及 $ b $ 的值.
答案
(1) $A-2B=(2a^2+3ab-2a-1)-2(a^2+ab-1)=2a^2+3ab-2a-1-2a^2-2ab+2=ab-2a+1$。
(2) $A-2B=ab-2a+1=a(b-2)+1$，根据题意得，$A-2B=1$，$b-2=0$，所以$A-2B$为定值1，$b=2$。
题型解读 整式化简求值中的“定值”型问题,是指含字母的整式的最终化简结果与式中部分或全部字母的取值无关,为一个固定常数,解题关键在于先将整式化为最简形式,化简后含字母的项会相互抵消或系数为0,进而求解字母参数或直接得出定值。
(2) $A-2B=ab-2a+1=a(b-2)+1$，根据题意得，$A-2B=1$，$b-2=0$，所以$A-2B$为定值1，$b=2$。
题型解读 整式化简求值中的“定值”型问题,是指含字母的整式的最终化简结果与式中部分或全部字母的取值无关,为一个固定常数,解题关键在于先将整式化为最简形式,化简后含字母的项会相互抵消或系数为0,进而求解字母参数或直接得出定值。
解析
【分析】
(1) 求解$A-2B$时，先把已知的$A$、$B$代数式代入原式，再按照去括号法则去掉括号，最后合并同类项即可完成化简，注意括号前系数为负时，去括号要变号，且括号内每一项都要乘括号外的系数。
(2) 题目说明无论$a$取何值，$A-2B$都是定值，即$A-2B$的取值和$a$的变化无关，本质是式子中所有含$a$的项的系数之和为0。先将(1)的化简结果整理为“$a$的系数×$a$ + 常数项”的形式，令$a$的系数为0就能求出$b$的值，再代入即可得到定值。
【解析】
(1) 将$ A = 2a^2 + 3ab - 2a -1 $，$ B = a^2 + ab -1 $代入$A-2B$：
$\begin{aligned}A-2B&=(2a^2 + 3ab - 2a -1) - 2(a^2 + ab -1)\\&=2a^2 + 3ab - 2a -1 - 2a^2 - 2ab + 2\\&=ab - 2a +1\end{aligned}$
(2) 对化简后的式子提取公因式$a$变形：
$A-2B = ab -2a +1 = a(b-2) +1$
因为$A-2B$的取值和$a$无关，因此含$a$项的系数为0，即：
$b-2=0$，解得$b=2$
将$b=2$代入上式得：$A-2B=0× a +1=1$，即定值为1。
【答案】
(1) $ab-2a+1$；(2) $b$的值为2，定值为1
【知识点】
整式的加减，合并同类项，代数式定值问题
【点评】
本题是整式化简的常见题型，第一问侧重考查去括号、合并同类项的基础运算能力，运算时需注意符号的正确性；第二问的解题关键是理解“与某字母取值无关”的本质是该字母所有项的系数和为0，掌握这一逻辑就能快速解决同类定值问题。
【难度系数】
0.7
(1) 求解$A-2B$时，先把已知的$A$、$B$代数式代入原式，再按照去括号法则去掉括号，最后合并同类项即可完成化简，注意括号前系数为负时，去括号要变号，且括号内每一项都要乘括号外的系数。
(2) 题目说明无论$a$取何值，$A-2B$都是定值，即$A-2B$的取值和$a$的变化无关，本质是式子中所有含$a$的项的系数之和为0。先将(1)的化简结果整理为“$a$的系数×$a$ + 常数项”的形式，令$a$的系数为0就能求出$b$的值，再代入即可得到定值。
【解析】
(1) 将$ A = 2a^2 + 3ab - 2a -1 $，$ B = a^2 + ab -1 $代入$A-2B$：
$\begin{aligned}A-2B&=(2a^2 + 3ab - 2a -1) - 2(a^2 + ab -1)\\&=2a^2 + 3ab - 2a -1 - 2a^2 - 2ab + 2\\&=ab - 2a +1\end{aligned}$
(2) 对化简后的式子提取公因式$a$变形：
$A-2B = ab -2a +1 = a(b-2) +1$
因为$A-2B$的取值和$a$无关，因此含$a$项的系数为0，即：
$b-2=0$，解得$b=2$
将$b=2$代入上式得：$A-2B=0× a +1=1$，即定值为1。
【答案】
(1) $ab-2a+1$；(2) $b$的值为2，定值为1
【知识点】
整式的加减，合并同类项，代数式定值问题
【点评】
本题是整式化简的常见题型，第一问侧重考查去括号、合并同类项的基础运算能力，运算时需注意符号的正确性；第二问的解题关键是理解“与某字母取值无关”的本质是该字母所有项的系数和为0，掌握这一逻辑就能快速解决同类定值问题。
【难度系数】
0.7
4.「2025安徽六安金安期末」在做一道数学题:“已知A=…,B=x²−$\frac{3}{2}$x+5,试求3A−4B的值”时,某同学误将3A−4B看成3A+4B,得出的结果为13x²−17x+38(其他计算过程正确).
(1)试求3A−4B的正确结果.
(2)若x²−x=3,求3A−4B的值.
(1)试求3A−4B的正确结果.
(2)若x²−x=3,求3A−4B的值.
答案
(1) 因为$B=x^2-\frac{3}{2}x+5$，$3A+4B=13x^2-17x+38$，所以$3A=(13x^2-17x+38)-4(x^2-\frac{3}{2}x+5)=9x^2-11x+18$，所以$3A-4B=(9x^2-11x+18)-4(x^2-\frac{3}{2}x+5)=5x^2-5x-2$。
(2) 因为$x^2-x=3$，所以$3A-4B=5x^2-5x-2=5(x^2-x)-2=5×3-2=13$。
(2) 因为$x^2-x=3$，所以$3A-4B=5x^2-5x-2=5(x^2-x)-2=5×3-2=13$。
解析
【分析】
（1）解题时利用错误计算的正确结果倒推：已知同学误算3A+4B的结果正确，且B的表达式已知，因此先通过3A = 错误结果 - 4B求出3A的表达式，再将3A和B代入正确式子3A-4B，经过去括号、合并同类项即可得到正确结果。
（2）观察第一问所得3A-4B的化简结果，可变形为含(x²-x)的形式，结合已知x²-x=3，采用整体代入的方法计算，无需单独求解x的值，简化计算过程。
【解析】
(1) 由题意可知：$3A+4B=13x^2-17x+38$，且$B=x^2-\frac{3}{2}x+5$
先求3A的表达式：
$3A=(13x^2-17x+38)-4B$
代入B的表达式：
$3A=(13x^2-17x+38)-4(x^2-\frac{3}{2}x+5)$
$=13x^2-17x+38-4x^2+6x-20$
$=9x^2-11x+18$
再计算正确的3A-4B：
$3A-4B=(9x^2-11x+18)-4(x^2-\frac{3}{2}x+5)$
$=9x^2-11x+18-4x^2+6x-20$
$=5x^2-5x-2$
(2) 已知$x^2-x=3$，将3A-4B的结果变形：
$3A-4B=5x^2-5x-2=5(x^2-x)-2$
将$x^2-x=3$整体代入：
原式$=5×3 - 2=15-2=13$
【答案】
(1) $5x^2-5x-2$；(2) $13$
【知识点】
整式的加减运算；代数式化简求值；整体代入求值
【点评】
本题属于整式化简求值的常规题型，核心考查整式加减中去括号、合并同类项的运算能力，易错点为去括号时符号处理错误、系数漏乘。第二问运用整体代入思想可规避求解x的复杂过程，大幅简化计算，解题时要注意观察代数式的结构特征，灵活选用计算方法。
【难度系数】
0.7
（1）解题时利用错误计算的正确结果倒推：已知同学误算3A+4B的结果正确，且B的表达式已知，因此先通过3A = 错误结果 - 4B求出3A的表达式，再将3A和B代入正确式子3A-4B，经过去括号、合并同类项即可得到正确结果。
（2）观察第一问所得3A-4B的化简结果，可变形为含(x²-x)的形式，结合已知x²-x=3，采用整体代入的方法计算，无需单独求解x的值，简化计算过程。
【解析】
(1) 由题意可知：$3A+4B=13x^2-17x+38$，且$B=x^2-\frac{3}{2}x+5$
先求3A的表达式：
$3A=(13x^2-17x+38)-4B$
代入B的表达式：
$3A=(13x^2-17x+38)-4(x^2-\frac{3}{2}x+5)$
$=13x^2-17x+38-4x^2+6x-20$
$=9x^2-11x+18$
再计算正确的3A-4B：
$3A-4B=(9x^2-11x+18)-4(x^2-\frac{3}{2}x+5)$
$=9x^2-11x+18-4x^2+6x-20$
$=5x^2-5x-2$
(2) 已知$x^2-x=3$，将3A-4B的结果变形：
$3A-4B=5x^2-5x-2=5(x^2-x)-2$
将$x^2-x=3$整体代入：
原式$=5×3 - 2=15-2=13$
【答案】
(1) $5x^2-5x-2$；(2) $13$
【知识点】
整式的加减运算；代数式化简求值；整体代入求值
【点评】
本题属于整式化简求值的常规题型，核心考查整式加减中去括号、合并同类项的运算能力，易错点为去括号时符号处理错误、系数漏乘。第二问运用整体代入思想可规避求解x的复杂过程，大幅简化计算，解题时要注意观察代数式的结构特征，灵活选用计算方法。
【难度系数】
0.7
5.「2026江苏盐城期中」符号“f”表示一种运算，$f(x)=3x+1$表示$x$在运算$f$作用下的结果，它对一些数或式的运算结果如下：
$f(1)=3×1+1=4$，$f(-3)=3×(-3)+1=-8$，$f(m+1)=3(m+1)+1=3m+4$，……
利用上述运算定义计算：
(1)$f(\dfrac{1}{4})$.
(2)先化简，再求值：$f(m^2+2n)-f(m^2-2n)$，其中$m=1,n=2$.
$f(1)=3×1+1=4$，$f(-3)=3×(-3)+1=-8$，$f(m+1)=3(m+1)+1=3m+4$，……
利用上述运算定义计算：
(1)$f(\dfrac{1}{4})$.
(2)先化简，再求值：$f(m^2+2n)-f(m^2-2n)$，其中$m=1,n=2$.
答案
(1) 根据题意，得$f(\frac{1}{4})=3×\frac{1}{4}+1=\frac{7}{4}$。
(2) $f(m^2+2n)-f(m^2-2n)=3(m^2+2n)+1-[3(m^2-2n)+1]=3m^2+6n+1-(3m^2-6n+1)=3m^2+6n+1-3m^2+6n-1=12n$，因为$n=2$，所以原式$=12×2=24$。
(2) $f(m^2+2n)-f(m^2-2n)=3(m^2+2n)+1-[3(m^2-2n)+1]=3m^2+6n+1-(3m^2-6n+1)=3m^2+6n+1-3m^2+6n-1=12n$，因为$n=2$，所以原式$=12×2=24$。
解析
【分析】
本题属于新定义运算题型，解题核心是准确理解运算f的规则：将括号内的数或式子整体代入$f(x)=3x+1$中x的位置再计算。(1)问直接将$x=\frac{1}{4}$代入运算公式计算即可；(2)问先分别把$m^2+2n$、$m^2-2n$作为整体代入运算公式，再按照整式加减的法则去括号、合并同类项化简，最后代入已知的n值计算结果即可，化简后不含m，无需代入m的值。
【解析】
(1) 根据题中给出的运算定义，将$x=\frac{1}{4}$代入$f(x)=3x+1$：
$f(\frac{1}{4})=3×\frac{1}{4}+1=\frac{3}{4}+1=\frac{7}{4}$
(2) 先按照运算规则展开两个式子：
$f(m^2+2n)-f(m^2-2n)$
$=3(m^2+2n)+1 - [3(m^2-2n)+1]$
去括号得：
$=3m^2+6n+1 - 3m^2+6n -1$
合并同类项化简得：
$=12n$
将$n=2$代入化简后的式子：
原式$=12×2=24$
【答案】
(1) $\frac{7}{4}$；(2) $24$
【知识点】
新定义运算；整式化简求值；代数式运算
【点评】
本题重点考查对新定义运算规则的理解应用，只要严格按照给定的运算规则代入，结合整式加减的运算法则正确计算即可，需注意去括号时符号的变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义运算题型，解题核心是准确理解运算f的规则：将括号内的数或式子整体代入$f(x)=3x+1$中x的位置再计算。(1)问直接将$x=\frac{1}{4}$代入运算公式计算即可；(2)问先分别把$m^2+2n$、$m^2-2n$作为整体代入运算公式，再按照整式加减的法则去括号、合并同类项化简，最后代入已知的n值计算结果即可，化简后不含m，无需代入m的值。
【解析】
(1) 根据题中给出的运算定义，将$x=\frac{1}{4}$代入$f(x)=3x+1$：
$f(\frac{1}{4})=3×\frac{1}{4}+1=\frac{3}{4}+1=\frac{7}{4}$
(2) 先按照运算规则展开两个式子：
$f(m^2+2n)-f(m^2-2n)$
$=3(m^2+2n)+1 - [3(m^2-2n)+1]$
去括号得：
$=3m^2+6n+1 - 3m^2+6n -1$
合并同类项化简得：
$=12n$
将$n=2$代入化简后的式子：
原式$=12×2=24$
【答案】
(1) $\frac{7}{4}$；(2) $24$
【知识点】
新定义运算；整式化简求值；代数式运算
【点评】
本题重点考查对新定义运算规则的理解应用，只要严格按照给定的运算规则代入，结合整式加减的运算法则正确计算即可，需注意去括号时符号的变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
