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20. (12分)进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制,逢二进一就是二进制,即“逢几进一”就是几进制,几进制的基数就是几.为区分不同的进位制,常在数的右下角标明基数(十进制数一般不标注基数).
一个其他进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式,从而转化成一个十进制数,反之,可以将一个十进制数表示成一个其他进位制数.
规定:当$ a≠0 $时,$ a^0=1 $.
例如:$ (1011)_2=1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=11 $,即$ (1011)_2=11 $;
$ (135)_6=1×6^2+3×6^1+5×6^0=59 $,即$ (135)_6=59 $;
$ 64=1×7^2+2×7^1+1×7^0=(121)_7 $,即$ 64=(121)_7 $.
【初步感知】
(1) ① 请把$ (12021)_3 $转化为十进制数:
【类比探究】
(2) 类比十进制数的四则运算可进行其他进位制的运算,例如:$ (11011)_2 + (1101)_2=(12112)_2=(101000)_2 $.
计算:① $ (21011)_3 + (10112)_3 $. ② $ (24103)_5 ×2 $.
【拓展提升】
(3) 小聪发现不同进制数都可以化为十进制数,故不同进制数也可以进行加法运算.例如:$ (101011)_2 + (2011)_3=43+58=101 $.若$ (mm3)_4 + (nn1)_6=234 $,则$ (m5)_8 + (n3)_7= $
一个其他进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式,从而转化成一个十进制数,反之,可以将一个十进制数表示成一个其他进位制数.
规定:当$ a≠0 $时,$ a^0=1 $.
例如:$ (1011)_2=1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=11 $,即$ (1011)_2=11 $;
$ (135)_6=1×6^2+3×6^1+5×6^0=59 $,即$ (135)_6=59 $;
$ 64=1×7^2+2×7^1+1×7^0=(121)_7 $,即$ 64=(121)_7 $.
【初步感知】
(1) ① 请把$ (12021)_3 $转化为十进制数:
$142$
. ② 请把$ (1010111)_2 $转化为八进制数.【类比探究】
(2) 类比十进制数的四则运算可进行其他进位制的运算,例如:$ (11011)_2 + (1101)_2=(12112)_2=(101000)_2 $.
计算:① $ (21011)_3 + (10112)_3 $. ② $ (24103)_5 ×2 $.
【拓展提升】
(3) 小聪发现不同进制数都可以化为十进制数,故不同进制数也可以进行加法运算.例如:$ (101011)_2 + (2011)_3=43+58=101 $.若$ (mm3)_4 + (nn1)_6=234 $,则$ (m5)_8 + (n3)_7= $
$51$
(结果用十进制数表示).答案
20. (1) ① 142. $(12021)_3=1×3^4+2×3^3+0×3^2+2×3^1+1×3^0=81+54+6+1=142$. ② $(1010111)_2=1×2^6+0×2^5+1×2^4+0×2^3+1×2^2+1×2^1+1×2^0=64+16+4+2+1=87$,$87=1×8^2+2×8^1+7×8^0$,所以$87=(127)_8$.
(2) ① 原式$=(31123)_3=(101200)_3$. ② 原式$=(48206)_5=(103211)_5$.
(3) 51. 因为$(mm3)_4+(nn1)_6=234$,所以$16m+4m+3+36n+6n+1=234$,即$20m+42n=230$. 所以$10m+21n=115$. 因为$m＜4$,$n＜6$,且$m,n$为正整数,所以$m=1$,$n=5$. 所以$(m5)_8+(n3)_7=8m+5+7n+3=8×1+5+7×5+3=8+35+3=51$。
(2) ① 原式$=(31123)_3=(101200)_3$. ② 原式$=(48206)_5=(103211)_5$.
(3) 51. 因为$(mm3)_4+(nn1)_6=234$,所以$16m+4m+3+36n+6n+1=234$,即$20m+42n=230$. 所以$10m+21n=115$. 因为$m＜4$,$n＜6$,且$m,n$为正整数,所以$m=1$,$n=5$. 所以$(m5)_8+(n3)_7=8m+5+7n+3=8×1+5+7×5+3=8+35+3=51$。
