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17. 如图,在$\triangle ABC$中,点$O是AC$边上的一个动点,过点$O作直线MN// BC$,设$MN交\angle BCA的平分线于点E$,交$\angle BCA的外角平分线于点F$。
(1) 求证：$EO = FO$。
(2) 当点$O$运动到何处时,四边形$AECF$是矩形？并证明你的结论。
(1) 求证：$EO = FO$。
(2) 当点$O$运动到何处时,四边形$AECF$是矩形？并证明你的结论。
答案
(1)∵CE平分∠BCA，∴∠BCE = ∠ACE。
又MN//BC，∴∠BCE = ∠CEF，∴∠CEF = ∠ACE，∴EO = CO。
同理，FO = CO，∴EO = FO。
(2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形。证明如下:
∵EO = FO，点O是AC的中点，
∴四边形AECF是平行四边形。
又∠BCE = ∠ACE，∠ACF = ∠FCQ。
∴∠ECA + ∠ACF = $\frac{1}{2}$×180° = 90°，
即∠ECF = 90°，
∴四边形AECF是矩形。
又MN//BC，∴∠BCE = ∠CEF，∴∠CEF = ∠ACE，∴EO = CO。
同理，FO = CO，∴EO = FO。
(2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形。证明如下:
∵EO = FO，点O是AC的中点，
∴四边形AECF是平行四边形。
又∠BCE = ∠ACE，∠ACF = ∠FCQ。
∴∠ECA + ∠ACF = $\frac{1}{2}$×180° = 90°，
即∠ECF = 90°，
∴四边形AECF是矩形。
18. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 12$cm,$BC = 6$cm,点$P沿AB边从点A开始向点B$以2cm/s的速度移动,点$Q沿DA边从点D开始向点A$以1cm/s的速度移动,如果点$P$,$Q$同时出发,用$t(s)表示移动时间(0\leq t\leq 6)$。那么：
(1) 当$t$为何值时,$\triangle QAP$为等腰直角三角形？
(2) 求四边形$QAPC$的面积,说明是否与$t$的大小有关。
(1) 当$t$为何值时,$\triangle QAP$为等腰直角三角形？
(2) 求四边形$QAPC$的面积,说明是否与$t$的大小有关。
答案
(1)∵点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s 的速度移动，∴AP = 2tcm，AQ = AD - DQ = (6 - t)cm。
∵△QAP为等腰直角三角形，
∴AP = AQ，∴2t = 6 - t，解得t = 2，
∴当t = 2时，△QAP为等腰直角三角形。
(2)$S_{四边形QAPC} = 12×6 - \frac{1}{2}×12t - \frac{1}{2}×6(12 - 2t) = 36$，
∴四边形QAPC的面积与t无关。
∵△QAP为等腰直角三角形，
∴AP = AQ，∴2t = 6 - t，解得t = 2，
∴当t = 2时，△QAP为等腰直角三角形。
(2)$S_{四边形QAPC} = 12×6 - \frac{1}{2}×12t - \frac{1}{2}×6(12 - 2t) = 36$，
∴四边形QAPC的面积与t无关。
19. 通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题会一类题的目的。下面是一个案例,请补充完整。
原题：如图①,点$E$,$F分别在正方形ABCD的边BC$,$CD$上,$\angle EAF = 45^{\circ}$,连结$EF$,则$EF = BE + DF$,试说明理由。
(1) 思路梳理：
$\because AB = AD$,$\therefore$ 把$\triangle ABE绕点A逆时针旋转90^{\circ}至\triangle ADG$,可使$AB与AD$重合。
$\because \angle ADG = \angle B = 90^{\circ}$,$\therefore \angle FDG = 180^{\circ}$,故点$F$,$D$,$G$共线。
根据______,易证$\triangle AFG\cong$______,得$EF = BE + DF$。
(2) 类比引申：
如图②,四边形$ABCD$中,$AB = AD$,$\angle BAD = 90^{\circ}$。点$E$,$F分别在边BC$,$CD$上,$\angle EAF = 45^{\circ}$。若$\angle B$,$\angle D$都不是直角,则当$\angle B与\angle D$满足等量关系______时,仍有$EF = BE + DF$。
(3) 联想拓展：
如图③,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,点$D$,$E均在边BC$上,且$\angle DAE = 45^{\circ}$。猜想$BD$,$DE$,$EC$应满足的等量关系,并写出推理过程。
原题：如图①,点$E$,$F分别在正方形ABCD的边BC$,$CD$上,$\angle EAF = 45^{\circ}$,连结$EF$,则$EF = BE + DF$,试说明理由。
(1) 思路梳理：
$\because AB = AD$,$\therefore$ 把$\triangle ABE绕点A逆时针旋转90^{\circ}至\triangle ADG$,可使$AB与AD$重合。
$\because \angle ADG = \angle B = 90^{\circ}$,$\therefore \angle FDG = 180^{\circ}$,故点$F$,$D$,$G$共线。
根据______,易证$\triangle AFG\cong$______,得$EF = BE + DF$。
(2) 类比引申：
如图②,四边形$ABCD$中,$AB = AD$,$\angle BAD = 90^{\circ}$。点$E$,$F分别在边BC$,$CD$上,$\angle EAF = 45^{\circ}$。若$\angle B$,$\angle D$都不是直角,则当$\angle B与\angle D$满足等量关系______时,仍有$EF = BE + DF$。
(3) 联想拓展：
如图③,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,点$D$,$E均在边BC$上,且$\angle DAE = 45^{\circ}$。猜想$BD$,$DE$,$EC$应满足的等量关系,并写出推理过程。
答案
(1)SAS △AFE (2)∠B + ∠D = 180°
(3)猜想：$DE^{2} = BD^{2} + EC^{2}$。推理如下:
如图，将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△AE'B，连结DE'，则
△AEC≌△AE'B，∴BE' = EC，AE' = AE，∠C = ∠ABE'，∠EAC = ∠E'AB。
在Rt△ABC中，∵AB = AC，
∴∠ABC = ∠ACB = 45°，
∴∠ABC + ∠ABE' = 90°，即∠E'BD = 90°，∴E'B² + BD² = E'D²。
又∠DAE = 45°，∴∠BAD + ∠EAC = 45°，
∴∠E'AB + ∠BAD = 45°，即∠E'AD = 45°。
在△AE'D和△AED中，$\begin{cases}AE' = AE,\\\angle E'AD = \angle EAD,\\AD = AD,\end{cases}$
∴△AE'D≌△AED(SAS)，∴DE = DE'，
∴DE² = BD² + EC²。
