8. 如图,正比例函数$y = kx与反比例函数y = \frac{6}{x}的图象有一个交点A(2,m)$,$AB\perp x轴于点B$。平移直线$y = kx$,使其经过点$B$,得到直线$l$,则直线$l$对应的函数表达式是()

A. $y = \frac{3}{2}x + 3$
B. $y = \frac{3}{2}x - 3$
C. $y = \frac{2}{3}x$
D. $y = \frac{2}{3}x + 3$

B

9. 一只蚂蚁先向上爬4个单位长度,再向左爬3个单位长度后,到达$(0,0)$,则它最开始所在位置的坐标是______。

(3,−4)

10. 在平面直角坐标系中,把点$P(-5,3)$向右平移8个单位得到点$P_1$,再将点$P_1绕原点旋转90^{\circ}得到点P_2$,则点$P_2$的坐标是______。

(3,−3)或(−3,3)

11. 甲、乙两动点分别从正八边形$ABCDEFGH的顶点A$,$G$同时出发,沿正八边形的边移动。甲点按顺时针环形运动,乙点按逆时针环形运动。若乙的速度是甲的速度的3倍,则它们第2025次相遇在正八边形的边______上。

AH

12. 如图,$\triangle AOB$中,$\angle AOB = 90^{\circ}$,$AO = 3$,$BO = 6$,$\triangle AOB绕顶点O逆时针旋转到\triangle A'OB'$处,此时线段$A'B'与BO的交点E为BO$的中点,则线段$B'E$的长度为______。

$\frac{9\sqrt{5}}{5}$

13. 如图,点$C是线段AB$上的一个动点,$\triangle ACD和\triangle BCE是在AB$同侧的两个等边三角形,$DM$,$EN分别是\triangle ACD和\triangle BCE$的高,点$C在线段AB上沿着从点A向点B$的方向移动(不与点$A$,$B$重合),连结$DE$,得到四边形$DMNE$。这个四边形的面积的变化情况为______。(填“逐渐增大”“逐渐变小”“始终不变”或“先增大后变小”)

始终不变

14. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(-3,0)$,$B(0,4)$,对$\triangle OAB$连续作旋转变换,依次得到$\triangle 1$,$\triangle 2$,$\triangle 3$,$\triangle 4$,…$$,则$\triangle 16$的直角顶点的坐标为______。

(60,0)

15. 如图,已知点$A$、点$B是直线l$上的两点,$AB = 12$厘米,点$C在线段AB$上,且$BC = 4$厘米。点$P$、点$Q是直线l$上的两个动点,点$P$的速度为1厘米/秒,点$Q$的速度为2厘米/秒。点$P$,$Q分别从点C$、点$B$同时出发在直线上运动,则经过______秒时,线段$PQ$的长为5厘米。

$\frac{1}{3}$或1或3或9
解析:设经过t秒时，线段PQ的长为5厘米。
①若点P向左、点Q向右运动，
由题意，得t + 2t = 5 - 4，解得t = $\frac{1}{3}$；
②若点P，Q都向右运动，
由题意，得2t - t = 5 - 4，解得t = 1；
③若点P，Q都向左运动，
由题意，得2t - t = 5 + 4，解得t = 9；
④若点P向右，点Q向左运动，
由题意，得2t - 4 + t = 5，解得t = 3。
综上所述，经过$\frac{1}{3}$或1或9或3秒时，线段PQ的长为5厘米。

16. 如图,点$M是直线y = 2x + 3$上的动点,过点$M作MN\perp x轴于点N$,当点$M$位于第二象限时,在$y轴上有一点P$,使$\triangle MNP$为等腰直角三角形,则点$P$的坐标为______。

(0,1)，(0,0)，(0,$\frac{3}{4}$) 解析:(i)如图①，当等腰直角三角形的两条直角边是MN，MP时，
设点P的坐标为(0,a)，则点M的坐标为(−a,a)。因为点M是直线y = 2x + 3上的动点，所以a = 2×(−a) + 3，解得a = 1，所以点P的坐标为(0,1)。
(ii)如图②，当等腰直角三角形的两条直角边是MN，NP时，P点与原点重合，
所以点P的坐标为(0,0)，设点M的坐标为(−b,b)，因为点M是直线y = 2x + 3上的动点，所以b = 2×(−b) + 3，解得b = 1，即点M的坐标为(−1,1)，点N的坐标为(−1,0)，点P的坐标为(0,0)，此时满足题意；
(iii)如图③，当等腰直角三角形的两条直角边是MP，NP时，作PQ⊥MN交MN于点Q，设点P的坐标为(0,c)，
因为MP = NP，∠MPN = 90°，所以点M的坐标为(−c,2c)。
因为点M是直线y = 2x + 3上的动点，所以2c = 2×(−c) + 3，解得c = $\frac{3}{4}$，所以点P的坐标为(0,$\frac{3}{4}$)。
综上可得，点P的坐标为(0,1)，(0,0)，(0,$\frac{3}{4}$)。