登录
1.“直角都相等”与“相等的角是直角”是 （
A.互为逆命题
B.互逆定理
C.公理
D.假命题
A
）A.互为逆命题
B.互逆定理
C.公理
D.假命题
答案
1.A
解析
【分析】
解题首先要明确命题的基本结构和相关概念：每个命题都由题设、结论两部分组成，互为逆命题的核心特征是两个命题的题设和结论恰好互换。我们先拆分题干中两个命题的题设和结论，再逐一对应选项判断即可：①先找“直角都相等”的题设和结论，②再找“相等的角是直角”的题设和结论，对比二者结构，最后排除不符合的选项。
【解析】
第一步：拆分两个命题的题设和结论
命题1“直角都相等”：题设是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”，属于真命题。
命题2“相等的角是直角”：题设是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”，属于假命题。
第二步：逐一分析选项
A. 两个命题的题设和结论恰好互换，符合互为逆命题的定义，该选项正确。
B. 互逆定理要求两个互逆命题都是真命题，而“相等的角是直角”是假命题，因此不是互逆定理，该选项错误。
C. 公理是公认的真命题，“相等的角是直角”是假命题，不属于公理，该选项错误。
D. “直角都相等”是真命题，因此两个命题不都是假命题，该选项错误。
【答案】
A
【知识点】
互逆命题；命题的结构；真假命题判断
【点评】
本题考查命题相关基础概念，解题关键是准确拆分命题的题设和结论，需注意互逆命题仅要求题设结论互换，对命题真假没有要求，而互逆定理要求两个互逆命题都为真命题。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确命题的基本结构和相关概念：每个命题都由题设、结论两部分组成，互为逆命题的核心特征是两个命题的题设和结论恰好互换。我们先拆分题干中两个命题的题设和结论，再逐一对应选项判断即可：①先找“直角都相等”的题设和结论，②再找“相等的角是直角”的题设和结论，对比二者结构，最后排除不符合的选项。
【解析】
第一步：拆分两个命题的题设和结论
命题1“直角都相等”：题设是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等”，属于真命题。
命题2“相等的角是直角”：题设是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角”，属于假命题。
第二步：逐一分析选项
A. 两个命题的题设和结论恰好互换，符合互为逆命题的定义，该选项正确。
B. 互逆定理要求两个互逆命题都是真命题，而“相等的角是直角”是假命题，因此不是互逆定理，该选项错误。
C. 公理是公认的真命题，“相等的角是直角”是假命题，不属于公理，该选项错误。
D. “直角都相等”是真命题，因此两个命题不都是假命题，该选项错误。
【答案】
A
【知识点】
互逆命题；命题的结构；真假命题判断
【点评】
本题考查命题相关基础概念，解题关键是准确拆分命题的题设和结论，需注意互逆命题仅要求题设结论互换，对命题真假没有要求，而互逆定理要求两个互逆命题都为真命题。
【难度系数】
0.7
2.若$△ ABC≌△ DEF$，且$AB=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，$AC=7\ \mathrm{cm}$，那么$DF$的长为 （
A.8 cm
B.6 cm
C.7 cm
D.5 cm
C
）A.8 cm
B.6 cm
C.7 cm
D.5 cm
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等。要确定DF的长度，首先需要找到DF的对应边，全等符号≌前后的顶点顺序是一一对应的，即△ABC和△DEF中，A对应D、B对应E、C对应F，因此DF的对应边是AC，直接代入AC的长度即可得到DF的长。
【解析】
∵△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应边相等，且对应顶点A与D对应，C与F对应，
∴DF=AC，
又
∵AC=7 cm，
∴DF=7 cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查全等三角形对应边相等的应用，解题的关键是根据全等的书写顺序准确匹配对应顶点，进而找到对应边，只要不混淆对应关系就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等。要确定DF的长度，首先需要找到DF的对应边，全等符号≌前后的顶点顺序是一一对应的，即△ABC和△DEF中，A对应D、B对应E、C对应F，因此DF的对应边是AC，直接代入AC的长度即可得到DF的长。
【解析】
∵△ABC≌△DEF，根据全等三角形的对应边相等，且对应顶点A与D对应，C与F对应，
∴DF=AC，
又
∵AC=7 cm，
∴DF=7 cm，故选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查全等三角形对应边相等的应用，解题的关键是根据全等的书写顺序准确匹配对应顶点，进而找到对应边，只要不混淆对应关系就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 下列条件能判定两个三角形全等的是 （
A.有两边和第三边上的高对应相等
B.有两边和其中一边的对角对应相等
C.有两边和其中一边上的中线对应相等
D.有两边和第三边上的中线对应相等
C
）A.有两边和第三边上的高对应相等
B.有两边和其中一边的对角对应相等
C.有两边和其中一边上的中线对应相等
D.有两边和第三边上的中线对应相等
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先回忆全等三角形的判定定理：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角的对边对应相等）、HL（直角三角形斜边直角边对应相等），其中SSA（两边及其中一边的对角）不能判定全等。接下来逐一分析每个选项：首先直接排除不符合判定定理的选项，对涉及高、中线的选项，要么通过推导验证能否得到全等判定的条件，要么举反例证明其无法判定全等，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 有两边和第三边上的高对应相等：可构造反例，如一个锐角三角形和一个钝角三角形，满足两边相等、第三边上的高相等，但两个三角形形状不同，不全等，故A不符合要求。
B. 有两边和其中一边的对角对应相等：这是典型的SSA条件，不属于全等三角形的判定定理，无法判定两个三角形全等，故B不符合要求。
C. 有两边和其中一边上的中线对应相等：设两个三角形为△ABC和△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，AC边上的中线BD与A'C'边上的中线B'D'相等。因为BD、B'D'是中线，所以AD=1/2AC，A'D'=1/2A'C'，结合AC=A'C'得AD=A'D'。此时△ABD和△A'B'D'满足AB=A'B'，AD=A'D'，BD=B'D'，可通过SSS判定全等，得∠A=∠A'。再看△ABC和△A'B'C'，AB=A'B'，∠A=∠A'，AC=A'C'，可通过SAS判定全等，故C符合要求。
D. 有两边和第三边上的中线对应相等：可构造出满足条件但不全等的两个三角形，无法判定全等，故D不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
三角形全等的判定；三角形的中线与高
【点评】
本题重点考查全等三角形判定定理的应用，需要准确掌握各判定定理的适用条件，能灵活通过推导或举反例的方式判断命题的正确性，易错点是容易忽略高的位置差异、混淆中线对应的全等推导条件。
【难度系数】
0.65
解题时先回忆全等三角形的判定定理：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角的对边对应相等）、HL（直角三角形斜边直角边对应相等），其中SSA（两边及其中一边的对角）不能判定全等。接下来逐一分析每个选项：首先直接排除不符合判定定理的选项，对涉及高、中线的选项，要么通过推导验证能否得到全等判定的条件，要么举反例证明其无法判定全等，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 有两边和第三边上的高对应相等：可构造反例，如一个锐角三角形和一个钝角三角形，满足两边相等、第三边上的高相等，但两个三角形形状不同，不全等，故A不符合要求。
B. 有两边和其中一边的对角对应相等：这是典型的SSA条件，不属于全等三角形的判定定理，无法判定两个三角形全等，故B不符合要求。
C. 有两边和其中一边上的中线对应相等：设两个三角形为△ABC和△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，AC边上的中线BD与A'C'边上的中线B'D'相等。因为BD、B'D'是中线，所以AD=1/2AC，A'D'=1/2A'C'，结合AC=A'C'得AD=A'D'。此时△ABD和△A'B'D'满足AB=A'B'，AD=A'D'，BD=B'D'，可通过SSS判定全等，得∠A=∠A'。再看△ABC和△A'B'C'，AB=A'B'，∠A=∠A'，AC=A'C'，可通过SAS判定全等，故C符合要求。
D. 有两边和第三边上的中线对应相等：可构造出满足条件但不全等的两个三角形，无法判定全等，故D不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
三角形全等的判定；三角形的中线与高
【点评】
本题重点考查全等三角形判定定理的应用，需要准确掌握各判定定理的适用条件，能灵活通过推导或举反例的方式判断命题的正确性，易错点是容易忽略高的位置差异、混淆中线对应的全等推导条件。
【难度系数】
0.65
4.若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等,则这两个三角形的第三边所对的角之间的关系是 (
A.不相等
B.相等
C.互补或相等
D.互余
C
)A.不相等
B.相等
C.互补或相等
D.互余
答案
4.C
解析
【分析】
首先我们可以将题目条件转化为具体的几何模型：设两个三角形有两组对应边相等，取其中一组相等的边，作出这条边上的高，高也对应相等。解题时需要分类讨论高的位置：①当两个三角形的高都在三角形内部/都在外部时，可通过全等三角形判定得到对应角相等；②当一个高在内部、另一个高在外部时，得到的两个角相加等于180°，即互补。结合两种情况就能得到最终关系。
【解析】
设两个三角形分别为△ABC和△A'B'C'，满足AB=A'B'，AC=A'C'，CD为AB边上的高，C'D'为A'B'边上的高，且CD=C'D'，第三边BC、B'C'所对的角分别为∠A、∠A'。
1. 当两个高均在三角形内部（或均在外部）时：
在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中，$\{\begin{array}{l}AC=A'C'\\CD=C'D'\end{array} $，根据斜边直角边（HL）定理，可得Rt△ACD≌Rt△A'C'D'，因此∠A=∠A'，即两角相等。
2. 当一个高在三角形内部，另一个高在三角形外部时：
同理可证Rt△ACD≌Rt△A'C'D'，得∠CAD=∠C'A'D'，此时∠A'=180°-∠C'A'D'=180°-∠CAD=180°-∠A，即两角互补。
综上，两个角的关系为相等或互补，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的性质；全等三角形的判定；补角的概念
【点评】
本题解题的关键是运用分类讨论思想，全面考虑三角形高的位置：锐角三角形的高都在内部，钝角三角形有两条高在外部，若仅考虑高在内部的情况会误选B选项。
【难度系数】
0.6
首先我们可以将题目条件转化为具体的几何模型：设两个三角形有两组对应边相等，取其中一组相等的边，作出这条边上的高，高也对应相等。解题时需要分类讨论高的位置：①当两个三角形的高都在三角形内部/都在外部时，可通过全等三角形判定得到对应角相等；②当一个高在内部、另一个高在外部时，得到的两个角相加等于180°，即互补。结合两种情况就能得到最终关系。
【解析】
设两个三角形分别为△ABC和△A'B'C'，满足AB=A'B'，AC=A'C'，CD为AB边上的高，C'D'为A'B'边上的高，且CD=C'D'，第三边BC、B'C'所对的角分别为∠A、∠A'。
1. 当两个高均在三角形内部（或均在外部）时：
在Rt△ACD和Rt△A'C'D'中，$\{\begin{array}{l}AC=A'C'\\CD=C'D'\end{array} $，根据斜边直角边（HL）定理，可得Rt△ACD≌Rt△A'C'D'，因此∠A=∠A'，即两角相等。
2. 当一个高在三角形内部，另一个高在三角形外部时：
同理可证Rt△ACD≌Rt△A'C'D'，得∠CAD=∠C'A'D'，此时∠A'=180°-∠C'A'D'=180°-∠CAD=180°-∠A，即两角互补。
综上，两个角的关系为相等或互补，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的性质；全等三角形的判定；补角的概念
【点评】
本题解题的关键是运用分类讨论思想，全面考虑三角形高的位置：锐角三角形的高都在内部，钝角三角形有两条高在外部，若仅考虑高在内部的情况会误选B选项。
【难度系数】
0.6
5. 如图所示，AB和CD相交于点E，$EA=EC$，$DE=BE$，若使$△ AED ≌ △ CEB$，则 (
A.必须补充条件$∠ A = ∠ C$
B.必须补充条件$∠ B = ∠ D$
C.不用补充条件
D.以上说法都不正确
第5题图 第6题图
C
)A.必须补充条件$∠ A = ∠ C$
B.必须补充条件$∠ B = ∠ D$
C.不用补充条件
D.以上说法都不正确
第5题图 第6题图
答案
5.C
解析
【分析】
首先回忆全等三角形的判定定理，常见的有SSS、SAS、ASA、AAS等。解题时先梳理已知条件：题目给出$EA=EC$、$DE=BE$，再观察图形可得AB和CD相交于点E，隐含对顶角相等的条件，只需验证现有条件是否满足全等判定定理，即可判断是否需要补充条件。
【解析】
∵ AB与CD相交于点E，
∴ $∠ AED=∠ CEB$（对顶角相等）。
在$△ AED$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}EA=EC（已知）\\∠ AED=∠ CEB（已证）\\DE=BE（已知）\end{cases}$
∴ $△ AED≌△ CEB$（SAS）。
因此无需补充额外条件即可证明两个三角形全等。
【答案】
C
【知识点】
对顶角相等，全等三角形SAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题关键是挖掘题目中隐含的对顶角相等的条件，结合已知的边相等的条件即可直接判定全等，无需额外补充条件。
【难度系数】
0.8
首先回忆全等三角形的判定定理，常见的有SSS、SAS、ASA、AAS等。解题时先梳理已知条件：题目给出$EA=EC$、$DE=BE$，再观察图形可得AB和CD相交于点E，隐含对顶角相等的条件，只需验证现有条件是否满足全等判定定理，即可判断是否需要补充条件。
【解析】
∵ AB与CD相交于点E，
∴ $∠ AED=∠ CEB$（对顶角相等）。
在$△ AED$和$△ CEB$中：
$\begin{cases}EA=EC（已知）\\∠ AED=∠ CEB（已证）\\DE=BE（已知）\end{cases}$
∴ $△ AED≌△ CEB$（SAS）。
因此无需补充额外条件即可证明两个三角形全等。
【答案】
C
【知识点】
对顶角相等，全等三角形SAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题关键是挖掘题目中隐含的对顶角相等的条件，结合已知的边相等的条件即可直接判定全等，无需额外补充条件。
【难度系数】
0.8
6. 如图所示，$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$，$D$为$BC$边的中点，那么以下结论不正确的是（
A.$△ ABD ≌ △ ACD$
B.$∠ B = ∠ C$
C.$AD$平分$∠ BAC$
D.$△ ABC$是等边三角形
D
）A.$△ ABD ≌ △ ACD$
B.$∠ B = ∠ C$
C.$AD$平分$∠ BAC$
D.$△ ABC$是等边三角形
答案
6.D
解析
【分析】
首先梳理已知条件：AD垂直BC，可得∠ADB和∠ADC都是直角；D是BC中点，可得BD=CD。首先利用全等三角形的判定定理证明△ABD和△ACD全等，再根据全等三角形的性质判断B、C选项是否正确，最后结合等腰、等边三角形的定义判断D选项即可。
【解析】
已知AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°；
因为D为BC边的中点，所以BD=CD。
在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD(公共边)\\ ∠ ADB=∠ ADC(已证)\\ BD=CD(已证)\end{array} $
所以$△ ABD≌△ ACD$（SAS），故A选项正确，不符合题意；
由全等三角形对应角相等，可得$∠ B=∠ C$，$∠ BAD=∠ CAD$，即AD平分$∠ BAC$，故B、C选项正确，不符合题意；
由上述结论仅能推出AB=AC，即△ABC是等腰三角形，无法证明AB=AC=BC，因此不能判定△ABC是等边三角形，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题核心考查等腰三角形的三线合一性质、全等三角形的判定，解题时要注意区分等腰三角形和等边三角形的判定条件，等边三角形属于特殊的等腰三角形，需要额外满足三边相等或者有一个内角为60°的条件，不能将二者混淆。
【难度系数】
0.8
首先梳理已知条件：AD垂直BC，可得∠ADB和∠ADC都是直角；D是BC中点，可得BD=CD。首先利用全等三角形的判定定理证明△ABD和△ACD全等，再根据全等三角形的性质判断B、C选项是否正确，最后结合等腰、等边三角形的定义判断D选项即可。
【解析】
已知AD⊥BC，所以∠ADB=∠ADC=90°；
因为D为BC边的中点，所以BD=CD。
在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD(公共边)\\ ∠ ADB=∠ ADC(已证)\\ BD=CD(已证)\end{array} $
所以$△ ABD≌△ ACD$（SAS），故A选项正确，不符合题意；
由全等三角形对应角相等，可得$∠ B=∠ C$，$∠ BAD=∠ CAD$，即AD平分$∠ BAC$，故B、C选项正确，不符合题意；
由上述结论仅能推出AB=AC，即△ABC是等腰三角形，无法证明AB=AC=BC，因此不能判定△ABC是等边三角形，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题核心考查等腰三角形的三线合一性质、全等三角形的判定，解题时要注意区分等腰三角形和等边三角形的判定条件，等边三角形属于特殊的等腰三角形，需要额外满足三边相等或者有一个内角为60°的条件，不能将二者混淆。
【难度系数】
0.8
7. 如图所示，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别是边$AC$，$BC$上的点，若$△ ADB ≌ △ EDB$，且$△ EDB ≌ △ EDC$，则$∠ C$的度数为 （
A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
D
）A.$15°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$30°$
答案
7.D
解析
【分析】
解题时先从已知的全等三角形条件入手，根据全等三角形对应角相等的性质，先确定相等的角，再结合DE⊥BC的垂直关系得到直角，进一步推导∠A的度数，最后利用三角形内角和为180°建立关于∠C的等式求解即可。
【解析】
解：
∵△EDB ≌ △EDC
∴∠DEB=∠DEC，∠DBE=∠C
∵DE⊥BC，
∴∠DEB+∠DEC=180°
∴∠DEB=∠DEC=90°
又
∵△ADB ≌ △EDB
∴∠A=∠DEB=90°，∠ABD=∠DBE
∴∠ABD=∠DBE=∠C
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°
而∠ABC=∠ABD+∠DBE=2∠C
代入得：$90° + 2∠ C + ∠ C = 180°$
$3∠ C=90°$，解得$∠ C=30°$
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题考查全等三角形性质与三角形内角和的综合应用，解题的关键是通过全等关系找出多个相等的角，理清各角之间的数量关系，进而建立等式求解角度。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的全等三角形条件入手，根据全等三角形对应角相等的性质，先确定相等的角，再结合DE⊥BC的垂直关系得到直角，进一步推导∠A的度数，最后利用三角形内角和为180°建立关于∠C的等式求解即可。
【解析】
解：
∵△EDB ≌ △EDC
∴∠DEB=∠DEC，∠DBE=∠C
∵DE⊥BC，
∴∠DEB+∠DEC=180°
∴∠DEB=∠DEC=90°
又
∵△ADB ≌ △EDB
∴∠A=∠DEB=90°，∠ABD=∠DBE
∴∠ABD=∠DBE=∠C
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°
而∠ABC=∠ABD+∠DBE=2∠C
代入得：$90° + 2∠ C + ∠ C = 180°$
$3∠ C=90°$，解得$∠ C=30°$
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题考查全等三角形性质与三角形内角和的综合应用，解题的关键是通过全等关系找出多个相等的角，理清各角之间的数量关系，进而建立等式求解角度。
【难度系数】
0.7
