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二、填空题
8.如图所示，点B,C在线段AD上，AB=CD，∠A=∠D，要使△ACE≌△DBF，还需补充一个条件是
8.如图所示，点B,C在线段AD上，AB=CD，∠A=∠D，要使△ACE≌△DBF，还需补充一个条件是
∠E=∠F或∠1=∠2或AE=DF
。答案
8. ∠E=∠F或∠1=∠2或AE=DF
解析
【分析】
要判定△ACE≌△DBF，首先先推导已知条件能得到的结论：由AB=CD，利用线段和差可得AB+BC=CD+BC，即AC=BD，此时已知两组对应条件：AC=BD，∠A=∠D。接下来结合全等三角形的判定定理分析缺什么条件：如果用SAS判定，需要夹∠A和∠D的另一边相等，即AE=DF；如果用ASA判定，需要AC、BD的另一组邻角相等，即∠ACE=∠DBF（也就是∠1=∠2）；如果用AAS判定，需要两组边的对角相等，即∠E=∠F，据此补充对应条件即可。
【解析】
解：
∵点B、C在线段AD上，AB=CD
∴AB + BC = CD + BC，即AC = BD
此时△ACE和△DBF中已有对应相等的条件：AC=BD，∠A=∠D
① 若补充∠E=∠F，可根据AAS判定△ACE≌△DBF；
② 若补充∠1=∠2（即∠ACE=∠DBF），可根据ASA判定△ACE≌△DBF；
③ 若补充AE=DF，可根据SAS判定△ACE≌△DBF。
综上，可补充的条件为∠E=∠F或∠1=∠2或AE=DF。
【答案】
∠E=∠F或∠1=∠2或AE=DF
【知识点】
线段的和差性质，全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的开放性试题，答案不唯一，解题的关键是先挖掘出隐含的AC=BD这组对应边相等的条件，再结合全等三角形的判定定理补充符合要求的条件，注意要使用全等判定的有效定理，避免使用SSA等不成立的判定方法。
【难度系数】
0.7
要判定△ACE≌△DBF，首先先推导已知条件能得到的结论：由AB=CD，利用线段和差可得AB+BC=CD+BC，即AC=BD，此时已知两组对应条件：AC=BD，∠A=∠D。接下来结合全等三角形的判定定理分析缺什么条件：如果用SAS判定，需要夹∠A和∠D的另一边相等，即AE=DF；如果用ASA判定，需要AC、BD的另一组邻角相等，即∠ACE=∠DBF（也就是∠1=∠2）；如果用AAS判定，需要两组边的对角相等，即∠E=∠F，据此补充对应条件即可。
【解析】
解：
∵点B、C在线段AD上，AB=CD
∴AB + BC = CD + BC，即AC = BD
此时△ACE和△DBF中已有对应相等的条件：AC=BD，∠A=∠D
① 若补充∠E=∠F，可根据AAS判定△ACE≌△DBF；
② 若补充∠1=∠2（即∠ACE=∠DBF），可根据ASA判定△ACE≌△DBF；
③ 若补充AE=DF，可根据SAS判定△ACE≌△DBF。
综上，可补充的条件为∠E=∠F或∠1=∠2或AE=DF。
【答案】
∠E=∠F或∠1=∠2或AE=DF
【知识点】
线段的和差性质，全等三角形的判定
【点评】
本题是全等三角形判定的开放性试题，答案不唯一，解题的关键是先挖掘出隐含的AC=BD这组对应边相等的条件，再结合全等三角形的判定定理补充符合要求的条件，注意要使用全等判定的有效定理，避免使用SSA等不成立的判定方法。
【难度系数】
0.7
9. 如图所示,要测量河岸相对的A,B两点之间的距离,先在BC的延长线上取一点D,使CD=BC,再过点D作垂线DE,由A,C,E在一条直线上,则△EDC≌△ABC的依据是
ASA
。答案
9.ASA
解析
【分析】
解题时首先从题目和图形中提取相等的边和角的条件：首先由AB、DE都垂直于BD，可得两个直角相等；题目直接给出CD=BC；再由A、C、E三点共线，可得一组对顶角相等。接下来梳理三个条件的位置关系：两个相等的角分别夹在相等边BC、CD的两侧，符合角边角（ASA）的全等判定条件，即可得出结论。
【解析】
解：
∵AB⊥BC，DE⊥BD，
∴∠B=∠EDC=90°，
已知CD=BC，
又
∵A、C、E在同一条直线上，
∴∠ACB=∠ECD（对顶角相等），
在△EDC和△ABC中：
$\{\begin{array}{l}∠EDC=∠B \\DC=BC \\∠ECD=∠ACB\end{array} $
∴△EDC≌△ABC（ASA）。
【答案】
ASA
【知识点】
全等三角形的判定；对顶角的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于全等三角形判定的实际应用类题目，将几何知识和实际测量场景结合，主要考查学生从实际问题中提取几何条件、匹配全等判定定理的能力，熟练掌握各全等判定定理的适用条件即可解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先从题目和图形中提取相等的边和角的条件：首先由AB、DE都垂直于BD，可得两个直角相等；题目直接给出CD=BC；再由A、C、E三点共线，可得一组对顶角相等。接下来梳理三个条件的位置关系：两个相等的角分别夹在相等边BC、CD的两侧，符合角边角（ASA）的全等判定条件，即可得出结论。
【解析】
解：
∵AB⊥BC，DE⊥BD，
∴∠B=∠EDC=90°，
已知CD=BC，
又
∵A、C、E在同一条直线上，
∴∠ACB=∠ECD（对顶角相等），
在△EDC和△ABC中：
$\{\begin{array}{l}∠EDC=∠B \\DC=BC \\∠ECD=∠ACB\end{array} $
∴△EDC≌△ABC（ASA）。
【答案】
ASA
【知识点】
全等三角形的判定；对顶角的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于全等三角形判定的实际应用类题目，将几何知识和实际测量场景结合，主要考查学生从实际问题中提取几何条件、匹配全等判定定理的能力，熟练掌握各全等判定定理的适用条件即可解题。
【难度系数】
0.8
10. 如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=
55°
。答案
10.55°
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：有两组边相等AB=AC、AD=AE，还有一组角相等∠BAC=∠DAE，第一步先通过角的和差推导得到△ABD和△ACE的一组夹角相等，再利用SAS判定两个三角形全等，得到对应角相等，最后利用三角形外角的性质即可求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠1=∠CAE
在△ABD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠1=∠CAE \\AD=AE\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠ABD=∠2=30°
∵∠3是△ABD的外角
∴∠3=∠1 + ∠ABD = 25° + 30° = 55°
【答案】
55°
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，角的和差计算
【点评】
本题是几何角度计算的基础题型，解题的核心是通过角的和差关系推出全等所需的等角条件，再结合全等性质和外角定理求解，是全等三角形应用的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：有两组边相等AB=AC、AD=AE，还有一组角相等∠BAC=∠DAE，第一步先通过角的和差推导得到△ABD和△ACE的一组夹角相等，再利用SAS判定两个三角形全等，得到对应角相等，最后利用三角形外角的性质即可求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠1=∠CAE
在△ABD和△ACE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AC \\∠1=∠CAE \\AD=AE\end{array} $
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠ABD=∠2=30°
∵∠3是△ABD的外角
∴∠3=∠1 + ∠ABD = 25° + 30° = 55°
【答案】
55°
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，角的和差计算
【点评】
本题是几何角度计算的基础题型，解题的核心是通过角的和差关系推出全等所需的等角条件，再结合全等性质和外角定理求解，是全等三角形应用的典型考法。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11.已知:如图所示,AB=DC,试再写一 个 条件,使得△ABC≌△DCB,并根据你写的条件加以证明.
11.已知:如图所示,AB=DC,试再写
答案
11.$AC=BD$.证明提示:利用SSS证全等.
解析
【分析】
要证明△ABC≌△DCB，首先梳理现有条件：题目已知AB=DC，观察图形可得BC是两个三角形的公共边，因此BC=CB，此时已有两组边对应相等。结合三角形全等的判定定理，若选择SSS判定全等，只需补充第三组对应边AC=BD即可；若选择SAS判定全等，可补充两组已知边的夹角∠ABC=∠DCB。此处以补充AC=BD为例进行解答。
【解析】
解：添加条件：$AC=BD$（答案不唯一）。
证明过程：
在$△ ABC$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}AB = DC \quad (\mathrm{已知}) \\BC = CB \quad (\mathrm{公共边相等}) \\AC = BD \quad (\mathrm{添加的条件})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DCB \ (\mathrm{SSS})$
【答案】
添加的条件为$AC=BD$，利用SSS即可证明△ABC≌△DCB（答案不唯一）
【知识点】
SSS判定全等、公共边的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的开放类题目，需要结合已知条件和图形隐含的公共边条件，灵活选择全等判定定理补充缺失的条件，能够很好地考查对全等判定定理的掌握程度。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC≌△DCB，首先梳理现有条件：题目已知AB=DC，观察图形可得BC是两个三角形的公共边，因此BC=CB，此时已有两组边对应相等。结合三角形全等的判定定理，若选择SSS判定全等，只需补充第三组对应边AC=BD即可；若选择SAS判定全等，可补充两组已知边的夹角∠ABC=∠DCB。此处以补充AC=BD为例进行解答。
【解析】
解：添加条件：$AC=BD$（答案不唯一）。
证明过程：
在$△ ABC$和$△ DCB$中：
$\begin{cases}AB = DC \quad (\mathrm{已知}) \\BC = CB \quad (\mathrm{公共边相等}) \\AC = BD \quad (\mathrm{添加的条件})\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DCB \ (\mathrm{SSS})$
【答案】
添加的条件为$AC=BD$，利用SSS即可证明△ABC≌△DCB（答案不唯一）
【知识点】
SSS判定全等、公共边的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的开放类题目，需要结合已知条件和图形隐含的公共边条件，灵活选择全等判定定理补充缺失的条件，能够很好地考查对全等判定定理的掌握程度。
【难度系数】
0.8
12.如图所示,已知线段a,b和m.
求作$△ ABC$,使$BC=a,AC=b,BC$上的中线$AM=m$.
求作$△ ABC$,使$BC=a,AC=b,BC$上的中线$AM=m$.
答案
12.解:作法:(1)以b, $\frac{a}{2}$, m 为边作$△CMA$;(2)延长 CM 至 B,使 MB = CM.(3)连接 BA. 则$△ABC$就是所求作的三角形,如图
.解析
【分析】
我们可以结合三角形中线的性质推导解题思路：已知AM是BC边上的中线，说明M是BC的中点，因此$CM=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$，此时△CMA的三条边$AC=b$、$CM=\frac{a}{2}$、$AM=m$均为已知长度的线段，可先通过三边作三角形的方法作出△CMA，确定A、C、M三点的位置，再延长CM得到点B，最后连接AB即可得到符合要求的△ABC。
【解析】
作图步骤如下：
1. 利用尺规，分别以长度$b$、$\frac{a}{2}$、$m$为三角形的三条边，作出△CMA；
2. 延长CM到点B，使线段MB的长度和CM相等，此时$BC=CM+MB=a$，满足BC=a的要求；
3. 连接点B和点A，得到的△ABC就是所求作的三角形。
【答案】
解:作法:(1)以b, $\frac{a}{2}$, m 为边作$△CMA$;(2)延长 CM 至 B,使 MB = CM.(3)连接 BA. 则$△ABC$就是所求作的三角形,如图
【知识点】
尺规作三角形，三角形中线定义
【点评】
本题是尺规作图的典型题型，解题关键是借助中线的性质将待作的大三角形转化为已知三边的小三角形先完成作图，再扩展得到目标图形，能很好地考查学生对三角形基础性质的应用能力和作图实操能力。
【难度系数】
0.7
我们可以结合三角形中线的性质推导解题思路：已知AM是BC边上的中线，说明M是BC的中点，因此$CM=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$，此时△CMA的三条边$AC=b$、$CM=\frac{a}{2}$、$AM=m$均为已知长度的线段，可先通过三边作三角形的方法作出△CMA，确定A、C、M三点的位置，再延长CM得到点B，最后连接AB即可得到符合要求的△ABC。
【解析】
作图步骤如下：
1. 利用尺规，分别以长度$b$、$\frac{a}{2}$、$m$为三角形的三条边，作出△CMA；
2. 延长CM到点B，使线段MB的长度和CM相等，此时$BC=CM+MB=a$，满足BC=a的要求；
3. 连接点B和点A，得到的△ABC就是所求作的三角形。
【答案】
解:作法:(1)以b, $\frac{a}{2}$, m 为边作$△CMA$;(2)延长 CM 至 B,使 MB = CM.(3)连接 BA. 则$△ABC$就是所求作的三角形,如图
【知识点】
尺规作三角形，三角形中线定义
【点评】
本题是尺规作图的典型题型，解题关键是借助中线的性质将待作的大三角形转化为已知三边的小三角形先完成作图，再扩展得到目标图形，能很好地考查学生对三角形基础性质的应用能力和作图实操能力。
【难度系数】
0.7
