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下图是一个活动衣架,在固定后,呈现出来的是两个菱形,连接其中一个菱形四条边的中点,可得到一个矩形.联想学过的四边形知识,试探究:
(1) 一个任意四边形的各边中点连线组成的四边形(中点四边形)是什么图形?
(2) 如果原四边形是特殊四边形(矩形、菱形或正方形),那么中点四边形是什么图形?
(3) 如果中点四边形是特殊四边形(矩形、菱形或正方形),那么原四边形又是什么图形?
(1) 一个任意四边形的各边中点连线组成的四边形(中点四边形)是什么图形?
(2) 如果原四边形是特殊四边形(矩形、菱形或正方形),那么中点四边形是什么图形?
(3) 如果中点四边形是特殊四边形(矩形、菱形或正方形),那么原四边形又是什么图形?
答案
(1) 一个任意四边形的各边中点连线组成的四边形(中点四边形)是平行四边形.
(2) 如果原四边形为矩形,则形成的中点四边形为菱形;如果原四边形为菱形,则形成的中点四边形为矩形;如果原四边形为正方形,则形成的中点四边形为正方形.
(3) 如果中点四边形为矩形,则原四边形为菱形;如果中点四边形为菱形,则原四边形为矩形;如果中点四边形为正方形,则原四边形为正方形.
(2) 如果原四边形为矩形,则形成的中点四边形为菱形;如果原四边形为菱形,则形成的中点四边形为矩形;如果原四边形为正方形,则形成的中点四边形为正方形.
(3) 如果中点四边形为矩形,则原四边形为菱形;如果中点四边形为菱形,则原四边形为矩形;如果中点四边形为正方形,则原四边形为正方形.
解析
【分析】
解决中点四边形类问题，核心思路是借助三角形中位线定理搭建原四边形和中点四边形的关联：①先连接原四边形的对角线，将四边形拆分为两个三角形，此时各边中点连线就是对应三角形的中位线；②根据中位线“平行且等于第三边的一半”的性质，推导中点四边形的对边关系，先判断任意四边形的中点四边形形状；③再结合特殊四边形的对角线特征（相等/垂直/既相等又垂直），分别推导特殊原四边形对应的中点四边形形状，以及反过来由中点四边形特征推导原四边形的类型。
【解析】
(1) 证明任意四边形的中点四边形为平行四边形：
设任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接对角线AC。
根据三角形中位线定理：
在△ABC中，EF是中位线，因此EF//AC，且$EF=\frac{1}{2}AC$；
在△ADC中，GH是中位线，因此GH//AC，且$GH=\frac{1}{2}AC$；
可推出EF//GH且EF=GH，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可知四边形EFGH为平行四边形，即任意四边形的中点四边形是平行四边形。
(2) 原四边形为特殊四边形时的中点四边形形状：
① 若原四边形是矩形：矩形的对角线相等，因此中点四边形的邻边分别等于两条对角线的$\frac{1}{2}$，邻边长度相等，结合(1)的结论（中点四边形为平行四边形），邻边相等的平行四边形是菱形，故矩形的中点四边形为菱形；
② 若原四边形是菱形：菱形的对角线互相垂直，因此中点四边形的邻边分别平行于两条对角线，邻边互相垂直，结合(1)的结论，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故菱形的中点四边形为矩形；
③ 若原四边形是正方形：正方形的对角线既相等又互相垂直，因此中点四边形的邻边既相等又垂直，结合(1)的结论，邻边相等且有直角的平行四边形是正方形，故正方形的中点四边形为正方形。
(3) 中点四边形为特殊四边形时原四边形的形状：
① 若中点四边形是矩形：说明中点四边形的邻边互相垂直，即原四边形的两条对角线互相垂直，因此原四边形为菱形；
② 若中点四边形是菱形：说明中点四边形的邻边长度相等，即原四边形的两条对角线长度相等，因此原四边形为矩形；
③ 若中点四边形是正方形：说明中点四边形的邻边既相等又互相垂直，即原四边形的两条对角线既相等又垂直，因此原四边形为正方形。
【答案】
(1) 一个任意四边形的各边中点连线组成的四边形(中点四边形)是平行四边形。
(2) 如果原四边形为矩形，则形成的中点四边形为菱形；如果原四边形为菱形，则形成的中点四边形为矩形；如果原四边形为正方形，则形成的中点四边形为正方形。
(3) 如果中点四边形为矩形，则原四边形为菱形；如果中点四边形为菱形，则原四边形为矩形；如果中点四边形为正方形，则原四边形为正方形。
【知识点】
三角形中位线定理；特殊平行四边形的判定；中点四边形规律
【点评】
本题是中点四边形的典型探究题，解题的核心是通过作辅助线（对角线）将四边形问题转化为三角形中位线的问题，中点四边形的形状由原四边形对角线的性质决定，熟记两者的对应关系可快速解答同类题型。
【难度系数】
0.7
解决中点四边形类问题，核心思路是借助三角形中位线定理搭建原四边形和中点四边形的关联：①先连接原四边形的对角线，将四边形拆分为两个三角形，此时各边中点连线就是对应三角形的中位线；②根据中位线“平行且等于第三边的一半”的性质，推导中点四边形的对边关系，先判断任意四边形的中点四边形形状；③再结合特殊四边形的对角线特征（相等/垂直/既相等又垂直），分别推导特殊原四边形对应的中点四边形形状，以及反过来由中点四边形特征推导原四边形的类型。
【解析】
(1) 证明任意四边形的中点四边形为平行四边形：
设任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接对角线AC。
根据三角形中位线定理：
在△ABC中，EF是中位线，因此EF//AC，且$EF=\frac{1}{2}AC$；
在△ADC中，GH是中位线，因此GH//AC，且$GH=\frac{1}{2}AC$；
可推出EF//GH且EF=GH，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可知四边形EFGH为平行四边形，即任意四边形的中点四边形是平行四边形。
(2) 原四边形为特殊四边形时的中点四边形形状：
① 若原四边形是矩形：矩形的对角线相等，因此中点四边形的邻边分别等于两条对角线的$\frac{1}{2}$，邻边长度相等，结合(1)的结论（中点四边形为平行四边形），邻边相等的平行四边形是菱形，故矩形的中点四边形为菱形；
② 若原四边形是菱形：菱形的对角线互相垂直，因此中点四边形的邻边分别平行于两条对角线，邻边互相垂直，结合(1)的结论，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故菱形的中点四边形为矩形；
③ 若原四边形是正方形：正方形的对角线既相等又互相垂直，因此中点四边形的邻边既相等又垂直，结合(1)的结论，邻边相等且有直角的平行四边形是正方形，故正方形的中点四边形为正方形。
(3) 中点四边形为特殊四边形时原四边形的形状：
① 若中点四边形是矩形：说明中点四边形的邻边互相垂直，即原四边形的两条对角线互相垂直，因此原四边形为菱形；
② 若中点四边形是菱形：说明中点四边形的邻边长度相等，即原四边形的两条对角线长度相等，因此原四边形为矩形；
③ 若中点四边形是正方形：说明中点四边形的邻边既相等又互相垂直，即原四边形的两条对角线既相等又垂直，因此原四边形为正方形。
【答案】
(1) 一个任意四边形的各边中点连线组成的四边形(中点四边形)是平行四边形。
(2) 如果原四边形为矩形，则形成的中点四边形为菱形；如果原四边形为菱形，则形成的中点四边形为矩形；如果原四边形为正方形，则形成的中点四边形为正方形。
(3) 如果中点四边形为矩形，则原四边形为菱形；如果中点四边形为菱形，则原四边形为矩形；如果中点四边形为正方形，则原四边形为正方形。
【知识点】
三角形中位线定理；特殊平行四边形的判定；中点四边形规律
【点评】
本题是中点四边形的典型探究题，解题的核心是通过作辅助线（对角线）将四边形问题转化为三角形中位线的问题，中点四边形的形状由原四边形对角线的性质决定，熟记两者的对应关系可快速解答同类题型。
【难度系数】
0.7
