第13讲 特殊平行四边形(2)
问题情境
【生活情境】越王勾践剑,一把在地下埋藏了2000多年的古剑,出土时依然寒气逼人,锋利无比,稍一用力,便可将多层白纸划破,剑身上还整齐排列着黑色菱形暗花纹.

【问题提出】你能否利用直尺和圆规画一个菱形,并说明作图方法.
【问题分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”来作图.
【问题解决】
【问题反思】菱形在生活中应用广泛,具有数学美、独特美.解答此题的关键在于熟悉基本图形的作图方法,同时还要学好菱形的相关知识(定义、判定、性质、应用),体会数学与生活的密不可分.

作法一:可根据“四边相等的四边形是菱形”来作图,先作一个角,在角的两边上截取相等的边作为菱形的边长,再分别以两个截点为圆心,菱形的边长为半径画弧,两弧相交于一点,这点即为菱形的第四个顶点；作法二:可利用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”来作图,可先作出两条互相垂直平分的线段,再将两条线段的四个端点顺次连结起来,即可作出一个菱形.

【分析】
要完成菱形的尺规作图，需结合菱形的判定定理，菱形的判定方法包括“四边相等的四边形是菱形”“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”等，我们可依据这些判定定理，结合尺规作图的基本操作，设计出符合要求的作图步骤，保证最终图形满足菱形的定义与判定条件。
【解析】
作法一（依据“四边相等的四边形是菱形”）：
1. 作任意一个角∠AOB；
2. 在射线OA、OB上分别截取线段OC、OD，使OC=OD；
3. 分别以点C、D为圆心，以OC（或OD）的长度为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点E；
4. 顺次连接O、C、E、D，得到的四边形即为菱形。
作法二（依据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）：
1. 作线段AC，通过尺规作出AC的垂直平分线，AC与垂直平分线交于中点O；
2. 在垂直平分线上截取线段BD，使O为BD中点（即OB=OD），且AC⊥BD；
3. 顺次连接A、B、C、D，得到的四边形即为菱形。
【答案】
作法一:可根据“四边相等的四边形是菱形”来作图,先作一个角,在角的两边上截取相等的边作为菱形的边长,再分别以两个截点为圆心,菱形的边长为半径画弧,两弧相交于一点,这点即为菱形的第四个顶点；作法二:可利用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”来作图,可先作出两条互相垂直平分的线段,再将两条线段的四个端点顺次连结起来,即可作出一个菱形.
【知识点】
菱形的判定、尺规作图
【点评】
本题结合越王勾践剑的生活情境，将菱形的判定知识与尺规作图结合，既考查了菱形的核心判定定理，又体现了数学在生活中的应用，解题关键是熟练掌握菱形的判定方法，难度适中，适合巩固基础作图技能。
【难度系数】
0.5