一、选择题
1. 如果样本方差 $s^{2}=\dfrac{1}{25}[(x_{1}-19)^{2}+(x_{2}-19)^{2}+···+(x_{25}-19)^{2}]$,那么这个样本的平均数和样本容量分别是（）

A.25,25
B.25,19
C.19,19
D.19,25

1. D

【分析】要解决这道题，需牢记样本方差的计算公式：样本方差$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$，其中$n$是样本容量，$\bar{x}$是样本的平均数。对比题目给出的样本方差表达式，找到对应的$n$和$\bar{x}$即可得出答案。
【解析】根据样本方差公式，题目中$s^2=\frac{1}{25}[(x_1-19)^2+(x_2-19)^2+···+(x_{25}-19)^2]$，这里的分母25就是样本容量$n=25$，括号内的减数19就是样本平均数$\bar{x}=19$，因此这个样本的平均数是19，样本容量是25，对应选项D。
【答案】D
【知识点】样本方差、样本平均数、样本容量
【点评】本题属于基础概念题，直接考察样本方差公式的基本构成，只要准确记忆公式中各部分的含义就能快速解答，难度较低。
【难度系数】0.8

2. 一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4.若一次性取出两个球，则一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率是（）

A.$\dfrac{3}{16}$
B.$\dfrac{13}{16}$
C.$\dfrac{1}{6}$
D.$\dfrac{5}{6}$

2. D 解析:画树状图如图所示. 由树状图可知,共有6种等可能的结果,其中一次性取出的两个小球标号的和不小于4的结果有5种,
∴一次性取出的两个小球标号的和不小于4的概率是$\dfrac{5}{6}$.

【分析】
要解决这个概率问题，首先明确这是古典概型的应用，需先找出一次性取出两个小球的所有等可能结果，再从中筛选出“标号和不小于4”的结果，最后用符合条件的结果数除以总结果数得到概率。需注意一次性取两个球是组合问题，不考虑顺序，避免重复计数。
【解析】
1. 列举所有等可能的结果：一次性取出两个小球，标号组合为(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4)，共6种等可能结果。
2. 计算各组合的和：1+2=3，1+3=4，1+4=5，2+3=5，2+4=6，3+4=7。
3. 筛选符合条件的结果：“和不小于4”即和≥4，排除和为3的(1,2)，符合条件的结果有5种。
4. 计算概率：概率=符合条件的结果数÷总结果数=5÷6=5/6，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
古典概型、概率计算、列举法
【点评】
本题考查古典概型的概率计算，核心是正确列举所有等可能的组合结果，需注意区分“一次性取两个球”的组合特性，避免排列的重复计数，属于基础概率题，难度适中，学生通过掌握列举法即可解决。
【难度系数】
0.5

3. 若关于 $x$ 的方程 $ax^2 - 3x + c = 0$ 有两个不相等的实数根,则下列选项中满足条件的实数 $a$、$c$的值可以是（）

A.$a=1,c=3$
B.$a=-2,c=-4$
C.$a=-1,c=3$
D.$a=5,c=1$

3. C 解析:
∵方程有两个不相等的实数根,
∴$(-3)^2-4ac＞0$,解得 $ac＜\dfrac{9}{4}$.对比各选项可知,C选项符合题意.

【分析】首先明确：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）有两个不相等实数根的条件是判别式$\Delta = b^2 -4ac ＞0$。本题中方程为$ax^2 -3x +c=0$，需先满足$a≠0$，再通过判别式得到$ac$的取值范围，最后计算各选项中$a$与$c$的乘积，判断是否符合范围即可。
【解析】要使方程$ax^2 -3x +c=0$有两个不相等的实数根，需满足：
1. 该方程是一元二次方程，即二次项系数$a≠0$；
2. 判别式$\Delta = (-3)^2 -4ac ＞0$，化简得$9 -4ac ＞0$，进一步解得$ac ＜ \frac{9}{4}$。
逐一分析选项：
选项A：$a=1,c=3$，$ac=3$，$3＞\frac{9}{4}$，不满足，排除；
选项B：$a=-2,c=-4$，$ac=(-2)×(-4)=8$，$8＞\frac{9}{4}$，不满足，排除；
选项C：$a=-1,c=3$，$ac=(-1)×3=-3$，$-3＜\frac{9}{4}$，满足条件；
选项D：$a=5,c=1$，$ac=5×1=5$，$5＞\frac{9}{4}$，不满足，排除。
综上，只有选项C符合条件。
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是掌握判别式与根的数量关系，解题时需注意隐含条件“二次项系数不为0”，通过计算乘积快速筛选答案，属于基础题型。
【难度系数】0.5

4. 已知反比例函数 $y=\dfrac{-m^2-1}{x}$($m$ 为常数), 当 $1≤ x≤ 2$ 时, 函数 $y$ 的最大值为 $a$($a$ 为常数),则当 $-4≤ x≤ -2$ 时, 函数 $y$ 有（）

A.最小值 $-\dfrac{1}{2}a$
B.最大值 $-\dfrac{1}{2}a$
C.最小值 $-a$
D.最大值 $-2a$

4. A 解析:
∵当 $1≤x≤2$ 时,函数 $y$ 的最大值为 $a$($a$ 为常数),
∴$2a=-m^2-1$,
∴当 $-4≤x≤-2$ 时,$y_{max}=\dfrac{2a}{-2}=-a$,$y_{min}=\dfrac{2a}{-4}=-\dfrac{1}{2}a$.

【分析】
首先，反比例函数的比例系数$k=-m^2-1$，因$m^2≥0$，故$k＜0$，该函数图像在第二、四象限，且每个象限内$y$随$x$增大而增大。当$1≤x≤2$时，$x$为正，对应第四象限，此区间内$y$随$x$增大而增大，故$x=2$时$y$取最大值$a$，由此可得$-m^2-1=2a$。当$-4≤x≤-2$时，$x$为负，对应第二象限，此区间内$y$随$x$增大而增大，因此$x=-4$时$y$取最小值，代入$-m^2-1=2a$即可求出对应最小值，进而选出答案。
【解析】
解：对于反比例函数$y=\frac{-m^2 -1}{x}$，其比例系数$k=-m^2 -1$。
因为$m^2≥0$，所以$k=-(m^2 +1)＜0$，故该函数图像在第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
当$1≤x≤2$时，$x＞0$，函数图像在第四象限，此区间内$y$随$x$增大而增大，因此当$x=2$时，$y$取得最大值$a$，即：
$a=\frac{-m^2 -1}{2}$，整理得$-m^2 -1=2a$。
当$-4≤x≤-2$时，$x＜0$，函数图像在第二象限，此区间内$y$随$x$增大而增大，因此：
当$x=-4$时，$y$取得最小值，$y_{min}=\frac{2a}{-4}=-\frac{1}{2}a$；
当$x=-2$时，$y$取得最大值，$y_{max}=\frac{2a}{-2}=-a$。
因此，当$-4≤x≤-2$时，函数$y$有最小值$-\frac{1}{2}a$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的最值
【点评】
本题考查反比例函数的性质，核心是先确定比例系数的正负，判断函数所在象限及单调性，再结合区间求最值，需注意不同象限内函数增减性的差异，避免混淆区间内的最值点。
【难度系数】
0.5

5. 莱洛三角形(如图1)广泛应用于建筑、工业、包装等方面.某数学兴趣小组在学习了莱洛三角形的知识后获得灵感,设计了如图2的美丽图形,爱思考的小聪提出以下问题:如图3,正五边形$ABCDE$的边长为3,分别以点$A$和点$E$为圆心、3为半径作$\overset{\frown}{BPE}$和$\overset{\frown}{APD}$交于点$P$,此时阴影部分的周长为（）


A.$2π$
B.$2π-3$
C.$2π+3$
D.$2π+6$

5. C 解析:如图,连接 $AP$、$EP$,由作图可得,$AP=AE=3$,$EP=EA=3$,
∴$AP=AE=EP$,
∴$△APE$是等边三角形,
∴$\overset{\frown}{AP}$的长为$\dfrac{3π×60}{180}=π$,$\overset{\frown}{PE}$的长为$\dfrac{3π×60}{180}=π$,
∴阴影部分的周长为$\overset{\frown}{AP}+\overset{\frown}{PE}+AE=π+π+3=2π+3$.

【分析】首先明确阴影部分周长的组成：由两段弧和一条线段构成。连接AP、EP，根据作图条件可知AP=AE=EP=3，可判定△APE为等边三角形，进而得到两段弧的圆心角，再利用弧长公式计算弧长，最后加上线段AE的长度即可得到阴影部分周长。
【解析】连接AP、EP，由题意得：AP=AE=3（以A为圆心，3为半径作弧），EP=AE=3（以E为圆心，3为半径作弧），因此AP=AE=EP=3，故△APE是等边三角形，所以∠PAE=∠PEA=60°。根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $，可得$\overset{\frown}{AP}$的长为$\frac{60π×3}{180}=π$，$\overset{\frown}{PE}$的长也为$π$。阴影部分的周长为$\overset{\frown}{AP}+\overset{\frown}{PE}+AE=π+π+3=2π+3$。
【答案】C
【知识点】弧长公式，等边三角形判定，正五边形性质
【点评】本题结合正五边形的边长性质，考查弧长计算与等边三角形的判定，关键是通过作图条件确定三角形为等边三角形，进而求出弧的圆心角，难度适中。
【难度系数】0.5

6. 半径为5 cm的圆的内接正五边形的一边所对劣弧的长为 cm.

6. 2π 解析:如图,连接 $OA$、$OE$.
∵$⊙O$ 为正五边形 $ABCDE$ 的外接圆,$⊙O$ 的半径为 5 cm,
∴$∠AOE=\dfrac{360°}{5}=72°$,
∴$\overset{\frown}{AE}$的长为$\dfrac{72×π×5}{180}=2π$,即半径为 5 cm 的圆的内接正五边形的一边所对劣弧的长为 2π cm.

【分析】要计算圆内接正五边形一边所对劣弧的长，需先确定该边对应的圆心角，再结合弧长公式计算。圆内接正n边形的每条边对应相等的圆心角，等于周角360°除以边数n；弧长公式为$ l=\frac{nπ r}{180} $（n为圆心角度数，r为圆的半径），代入对应数值即可求解。
【解析】连接OA、OE，因为⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径$ r=5\ \mathrm{cm} $，正五边形的每条边对应的圆心角相等，所以圆心角$ ∠ AOE=\frac{360°}{5}=72° $。根据弧长公式，将$ n=72 $、$ r=5 $代入，可得劣弧AE的长为$ \frac{72×π×5}{180}=2π\ \mathrm{cm} $，即半径为5 cm的圆的内接正五边形的一边所对劣弧的长为$ 2π $ cm。
【答案】2π
【知识点】弧长计算；正多边形与圆
【点评】本题考查正多边形与圆的关系及弧长公式的应用，属于基础题型，解题关键是利用正多边形的中心角性质求出圆心角，再代入弧长公式计算，步骤清晰易掌握。
【难度系数】0.6

7. 小明在参加岗位应聘时，专业知识、工作经验、仪表形象三项的得分分别为18分、15分、16分.若这三项按$5:3:2$的比例计算最终得分，则他最终的得分是分.

7. 16.7 解析:他最终的得分是$\dfrac{18×5+15×3+16×2}{5+3+2}=16.7$(分).

【分析】这道题考查加权平均数的实际应用，解题思路为：当各项指标按一定比例作为权重计算最终结果时，需用每项指标的得分乘以对应权重，将乘积求和后，再除以权重的总和，即可得到最终得分。首先确定三项的权重分别为5、3、2，总权重为5+3+2=10，再代入对应得分计算即可。
【解析】根据加权平均数的计算规则，最终得分=（专业知识得分×权重+工作经验得分×权重+仪表形象得分×权重）÷权重总和，代入数据计算：$\dfrac{18×5 + 15×3 + 16×2}{5+3+2} = \dfrac{90 + 45 + 32}{10} = \dfrac{167}{10} = 16.7$（分）。
【答案】16.7
【知识点】加权平均数
【点评】本题是加权平均数的基础应用题，核心是掌握加权平均数的计算方法，步骤清晰，难度较低，主要考查学生对加权平均概念的理解和简单计算能力。
【难度系数】0.3

8. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(2m-1)x+m^{2}=0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}、x_{2}$, 若 $(x_{1}+1)(x_{2}+1)=3$,则 $m$ 的值为。

8. -3 解析:由根与系数的关系可知,$x_1+x_2=2m-1$,$x_1x_2=m^2$.
∵$(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=3$,
∴$m^2+2m-1+1=3$,解得 $m_1=1$,$m_2=-3$.
∵方程有两个实数根,
∴$[-(2m-1)]^2-4m^2≥0$,解得 $m≤\dfrac{1}{4}$,
∴$m=-3$.

【分析】
这道题需结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）和根的判别式求解。首先根据韦达定理写出方程两根之和、两根之积关于参数$m$的表达式；再将已知等式$(x_1+1)(x_2+1)=3$展开，代入韦达定理的结果得到关于$m$的方程并求解；最后利用“方程有两个实数根”的条件，通过根的判别式筛选出符合要求的$m$值。
【解析】
1. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若有两个实根$x_1、x_2$，则韦达定理为：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题方程$x^2-(2m-1)x+m^2=0$中，$a=1$，$b=-(2m-1)$，$c=m^2$，因此：
$x_1+x_2=2m-1$，$x_1x_2=m^2$。
2. 展开$(x_1+1)(x_2+1)$得：$x_1x_2 + x_1 + x_2 +1$，代入上述结果：
$m^2 + (2m-1) +1 =3$，化简得$m^2+2m-3=0$，因式分解为$(m+3)(m-1)=0$，解得$m=1$或$m=-3$。
3. 因方程有两个实数根，故判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，代入得：
$[-(2m-1)]^2 -4×1×m^2 ≥0$，计算得$4m^2-4m+1-4m^2≥0$，即$-4m+1≥0$，解得$m≤\frac{1}{4}$。
4. 结合$m$的取值范围，$m=1$不满足$m≤\frac{1}{4}$，$m=-3$满足，因此$m=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题综合考查韦达定理与根的判别式的应用，易错点是忽略“方程有两个实数根”的前提，直接取方程的解，解题时需注意验证判别式的条件，属于易错题。
【难度系数】
0.6