11. 新素养 几何直观 如图，$\odot O$ 的半径为 5，$AB$ 是$\odot O$ 的弦，$AB=8$，$Q$ 为 $AB$ 的中点，$P$ 是圆上的一点(不与点 $A,B$ 重合)，连接 $PQ$，则$PQ$ 长的最小值为.

11. 2 解析:连接OA,OB,OP,OQ. 因为$OA=OB$,$AB=8$,Q为AB的中点,所以$AQ=\dfrac{1}{2}AB=4$,$OQ⊥ AB$,所以$∠ AQO=90°$. 因为$\odot O$的半径为5,所以$OA=OP=5$,所以$OQ=\sqrt{OA^2-AQ^2}=3$. 由题图可知,当P为线段OQ的延长线与$\odot O$的交点时,PQ的长取最小值,且最小值为$OP-OQ=2$.

12. 如图，$\odot O$ 的半径为 4，点 A，B，C 在 $\odot O$ 上，过圆心 O 作弦 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 E，F，G，连接 EF. 若 $OG=1$，则 EF 的长为.

12. $\sqrt{15}$ 解析:连接OC. 因为$OG⊥ AC$,所以$∠ OGC=90°$,$CG=\dfrac{1}{2}AC$. 因为$\odot O$的半径为4,所以$OC=4$. 因为$OG=1$,所以$CG=\sqrt{OC^2-OG^2}=\sqrt{15}$. 因为$OE⊥ AB$,$OF⊥ BC$,所以$AE=BE$,$BF=CF$,所以EF为$△ ABC$的中位线,所以$EF=\dfrac{1}{2}AC$,所以$EF=CG=\sqrt{15}$.

13. 如图,$\odot P$的半径为5,弦$AB=6$,以$AB$为边作正方形$ABCD$(点$D,P$在直线$AB$两侧).若正方形$ABCD$绕点$P$旋转一周,则边$CD$扫过的面积为.

13. $9π$ 解析:如图,连接PA,PD,过点P作$PE⊥ AB$于点E,延长PE交CD于点F,则$∠ AEP=90°$,$AE=\dfrac{1}{2}AB$. 因为$AB=6$,所以$AE=3$. 因为$\odot P$的半径为5,所以$PA=5$,所以$PE=\sqrt{PA^2-AE^2}=4$. 因为四边形ABCD为正方形,所以$AD=AB=6$,$AB// CD$,$∠ BAD=∠ ADC=90°$,所以$PF⊥ CD$,所以$∠ PFD=90°$,所以四边形ADFE是矩形,所以$EF=AD=6$,$DF=AE=3$,所以$PF=PE+EF=10$,所以$PD=\sqrt{PF^2+DF^2}=\sqrt{109}$,所以边CD扫过的面积为$π(PD^2-PF^2)=9π$.

14. 如图,点 A 在$\odot O$内,点 B,C 在$\odot O$上.若$OA=8,AB=12,∠ A=∠ B=60°$,求 BC的长.

14. 延长AO交BC于点D,过点O作$OE⊥ BC$于点E,则$∠ OED=90°$,$BE=\dfrac{1}{2}BC$. 因为$∠ A=∠ B=60°$,所以$∠ ADB=180°-∠ A-∠ B=60°$,所以$∠ A=∠ B=∠ ADB$,所以$△ ADB$为等边三角形,所以$BD=AD=AB=12$. 因为$OA=8$,所以$OD=AD-OA=4$. 因为$∠ DOE=90°-∠ ADB=30°$,所以$DE=\dfrac{1}{2}OD=2$,所以$BE=BD-DE=10$,所以$BC=2BE=20$.

15. (2025·江苏泰州二模)如图,直径 AB,CD所夹锐角为 $60°$,$P$ 为劣弧 $BC$ 上的一个动点(不与点 $B,C$ 重合),过点 $P$ 作 $PM ⊥ CD$,$PN ⊥ AB$,垂足分别为 $M,N$.若$\odot O$ 的半径为 2,则在点 $P$ 的运动过程中,$MN$ 的长（）

A.随点 $P$ 的运动而变化,最大值为$\sqrt{3}$
B.不变,恒为$\sqrt{3}$
C.随点 $P$ 的运动而变化,最小值为$\sqrt{3}$
D.随点 $P$ 的运动而变化,没有最值

15. B 解析:如图,延长PM交$\odot O$于点E,延长PN交$\odot O$于点F,连接PO并延长交$\odot O$于点Q,连接EF,OE,OF,过点O作$OH⊥ EF$于点H,则$∠ OHE=90°$,$EH=\dfrac{1}{2}EF$. 因为$PM⊥ CD$,$PN⊥ AB$,所以$∠ PMO=∠ PNO=90°$,$PM=ME$,$PN=NF$,所以MN为$△ PEF$的中位线,所以$MN=\dfrac{1}{2}EF$,所以$MN=EH$. 因为$∠ AOC=60°$,所以$∠ MON=180°-∠ AOC=120°$,所以$∠ EPF=360°-∠ MON-∠ PMO-∠ PNO=60°$. 因为$OE=OP=OF$,所以$∠ OEP=∠ OPE$,$∠ OPF=∠ OFP$,所以$∠ EOQ=∠ OEP+∠ OPE=2∠ OPE$,$∠ FOQ=∠ OPF+∠ OFP=2∠ OPF$,所以$∠ EOF=∠ EOQ+∠ FOQ=2(∠ OPE+∠ OPF)=2∠ EPF=120°$,所以$∠ OEF=∠ OFE=\dfrac{1}{2}(180°-∠ EOF)=30°$. 因为$\odot O$的半径为2,所以$OE=2$,所以$OH=\dfrac{1}{2}OE=1$,所以$MN=EH=\sqrt{OE^2-OH^2}=\sqrt{3}$. 故MN的长不变,恒为$\sqrt{3}$.

16. 如图,在平面直角坐标系中,以原点O为圆心的圆经过点$A(13,0)$,直线$y=kx-3k+$4 与$\odot O$交于B,C两点,则弦BC长的最小值为.

16. 24 解析:因为$y=kx-3k+4=k(x-3)+4$,所以当$x=3$时,$y=4$,所以直线$y=kx-3k+4$恒过点$(3,4)$,设为点D. 如图,连接OD,过点D作$DH⊥ x$轴于点H,则$∠ OHD=90°$,$OH=3$,$DH=4$,所以$OD=\sqrt{OH^2+DH^2}=5$. 结合图形可知,当直线$BC⊥ OD$时,弦BC的长取最小值,且$BD=\dfrac{1}{2}BC$,$∠ ODB=90°$. 因为$A(13,0)$,所以$OB=OA=13$,所以$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=12$,所以$BC=2BD=24$. 故弦BC长的最小值为24.

17. 如图,在$\odot O$中,$G$是直径$AB$上一点,弦$CD$经过点$G$,$AE ⊥ CD$于点$E$,$BF ⊥ CD$于点$F$.若$\odot O$的半径为$10$,$CD=16$,求$AE-BF$的值.

17. 如图,延长AE交$\odot O$于点H,连接OC,OH,BH,过点O作$ON⊥ BH$于点N,交CD于点M,则$∠ MNH=90°$,$HN=BN$. 因为$AE⊥ CD$,$BF⊥ CD$,所以$∠ HEF=∠ BFE=90°$. 因为$OA=OH$,$OB=OH$,所以$∠ OHA=∠ OAH$,$∠ OHB=∠ OBH$. 因为$∠ OAH+∠ OHA+∠ OHB+∠ OBH=180°$,所以$2(∠ OHA+∠ OHB)=180°$,所以$∠ OHA+∠ OHB=90°$,所以$∠ AHB=90°$,所以四边形HEMN和四边形HEFB都是矩形,所以$MN=EH=BF$,$EF// HB$,所以$OM⊥ CD$,所以$∠ OMC=90°$,$CM=\dfrac{1}{2}CD$. 因为$CD=16$,所以$CM=8$. 因为$\odot O$的半径为10,所以$OC=10$,所以$OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=6$. 因为$OA=OB$,所以ON为$△ ABH$的中位线,所以$AH=2ON$,所以$AE+EH=2(OM+MN)$,所以$AE+BF=2(OM+BF)$,所以$AE-BF=2OM=12$.