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1. (2025·四川宜宾)如图,$AB$是$\odot O$的弦,半径$OC ⊥ AB$于点$D$.若$AB=8,OC=5$,则$OD$的长是（
A.3
B.2
C.6
D.$\dfrac{5}{2}$
A
）A.3
B.2
C.6
D.$\dfrac{5}{2}$
答案
1. A
2. (2023·湖北宜昌)如图,$OA$,$OB$,$OC$都是$\odot O$的半径,$AC$,$OB$交于点$D$.若$AD=CD=8$,$OD=6$,则$BD$的长为（
A.$5$
B.$4$
C.$3$
D.$2$
B
）A.$5$
B.$4$
C.$3$
D.$2$
答案
2. B
3. (教材习题变式)如图,某地的一座石拱桥的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)$AB=24\ \mathrm{m}$,拱桥的半径为$13\ \mathrm{m}$,则它的拱高(弧的中点到弦的距离)为 （
A.3 m
B.5 m
C.8 m
D.10 m
C
）A.3 m
B.5 m
C.8 m
D.10 m
答案
3. C
4. 在半径为12 cm的圆中，垂直平分半径的弦长为
$12\sqrt{3}$
cm.答案
4. $12\sqrt{3}$
5. 如图,小区内有一个圆形花坛O,点C在弦AB 上,$AC=11$,$BC=21$,$OC=13$,则这个花坛的面积为
$400π$
.答案
5. $400π$
6. (2026·江苏扬州期中) 已知$\odot O$的直径为10 cm，AB，CD 是$\odot O$的两条弦，$AB// CD$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$CD=6\ \mathrm{cm}$，则 AB 与 CD 之间的距离为
7或1
cm.答案
6. 7或1 解析:过点O作$OE⊥ AB$于点E,设直线OE交CD于点F,连接OA,OC,则$∠ OEA=90°$. 因为$AB// CD$,所以$OF⊥ CD$,所以$∠ OFC=90°$. 因为$AB=8\ \mathrm{cm},CD=6\ \mathrm{cm}$,所以$AE=\dfrac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm},CF=\dfrac{1}{2}CD=3\ \mathrm{cm}$. 因为$\odot O$的直径为10 cm,所以$OA=OC=\dfrac{1}{2}×10=5(\mathrm{cm})$,所以$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=3\ \mathrm{cm}$,$OF=\sqrt{OC^2-CF^2}=4\ \mathrm{cm}$. 分类讨论如下:① 当AB,CD在点O两侧时,$EF=OE+OF=7\ \mathrm{cm}$;② 当AB,CD在点O同侧时,$EF=OF-OE=1\ \mathrm{cm}$. 综上所述,AB与CD之间的距离为7 cm或1 cm.
7. 新素养 推理能力 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$,
$AD⊥ OC$于点$D$.求证:$AB=2AD$.
$AD⊥ OC$于点$D$.求证:$AB=2AD$.
答案
7. 延长AD交$\odot O$于点E. 因为$AD⊥ OC$,所以$\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{AC}$,$AD=DE$,所以$\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$,$AE=2AD$. 因为$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$,所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$,所以$AB=AE$,所以$AB=2AD$.
8. 如图，$CD$是$\odot O$的弦，直径$AB ⊥ CD$，垂足为$E$。若$AB = 12$，$BE = 3$，则四边形$ACBD$的面积为（
A.$36\sqrt{3}$
B.$24\sqrt{3}$
C.$18\sqrt{3}$
D.$12\sqrt{3}$
A
）A.$36\sqrt{3}$
B.$24\sqrt{3}$
C.$18\sqrt{3}$
D.$12\sqrt{3}$
答案
8. A 解析:连接OC. 因为$AB=12$,所以$OA=OB=OC=\dfrac{1}{2}AB=6$. 因为$BE=3$,所以$OE=OB-BE=3$. 因为$AB⊥ CD$,所以$CE=DE=\dfrac{1}{2}CD$,$∠ OEC=90°$,所以$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=3\sqrt{3}$,所以$CD=2CE=6\sqrt{3}$,所以$S_{\mathrm{四边形}ACBD}=\dfrac{1}{2}AB· CD=36\sqrt{3}$. 故四边形ACBD的面积为$36\sqrt{3}$.
9. 如图,$\odot O$的半径$OA=4$,弦$BC$经过$OA$的中点$D$,$∠ ADC=30^{ \circ }$,则弦$BC$的长为 （
A.$7$
B.$2\sqrt{15}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{17}$
B
）A.$7$
B.$2\sqrt{15}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{17}$
答案
9. B 解析:如图,过点O作$OH⊥ BC$于点H,连接OB,则$∠ OHB=∠ OHD=90°$,$BH=\dfrac{1}{2}BC$. 因为$OA=4$,D是OA的中点,所以$OD=\dfrac{1}{2}OA=2$. 因为$∠ ODH=∠ ADC=30°$,所以$OH=\dfrac{1}{2}OD=1$. 因为$OB=OA=4$,所以$BH=\sqrt{OB^2-OH^2}=\sqrt{15}$,所以$BC=2BH=2\sqrt{15}$.
10. 如图,在半径为$\sqrt{13}$的$\odot O$中,弦$AB$,$CD$交于点$E$,$∠ DEB=75^{ \circ }$,$AB=6$,$AE=1$,则$CD$的长是（
A.$2\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{11}$
D.$4\sqrt{3}$
C
）A.$2\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{11}$
D.$4\sqrt{3}$
答案
10. C 解析:如图,过点O分别作$OF⊥ CD$于点F,$OG⊥ AB$于点G,连接OB,OD,OE,则$∠ OFD=∠ OFE=∠ OGB=∠ OGE=90°$,$DF=\dfrac{1}{2}CD$,$AG=BG=\dfrac{1}{2}AB$. 因为$AB=6$,所以$AG=BG=3$. 因为$AE=1$,所以$EG=AG-AE=2$. 因为$\odot O$的半径为$\sqrt{13}$,所以$OB=OD=\sqrt{13}$,所以$OG=\sqrt{OB^2-BG^2}=2$,所以$OE=\sqrt{OG^2+EG^2}=2\sqrt{2}$,$EG=OG$,所以$∠ OEG=∠ EOG=\dfrac{1}{2}(180°-∠ OGE)=45°$. 因为$∠ DEB=75°$,所以$∠ OEF=∠ DEB-∠ OEG=30°$,所以$OF=\dfrac{1}{2}OE=\sqrt{2}$,所以$DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{11}$,所以$CD=2DF=2\sqrt{11}$.
