登录
10. 如图，$CD$ 是半圆 $O$ 的直径，$A$ 是半圆上一点，过点 $A$ 作 $AE// CD$ 交半圆 $O$ 于点 $E$. 若 $\overset{\frown}{AE}$ 的度数是 $90°$，则 $∠ AOC$ 的度数为
45°
.答案
10. 45° 解析:连接 $OE$. 因为 $\overset{\frown}{AE}$ 的度数为 $90°$,所以$∠AOE=90°$. 因为 $OA=OE$,所以$∠A=∠E=\frac{1}{2}(180°-∠AOE)=45°$. 因为 $AE// CD$,所以$∠AOC=∠A=45°$.
11. 如图,$AB$ 和 $DE$ 是 $\odot O$ 的直径, 弦 $AC // DE$. 若 $BE=3$, 则 $CE=$
3
.答案
11. 3 解析:连接 $OC$. 因为 $AC// DE$,所以$∠A=∠BOE$,$∠ACO=∠COE$. 因为 $OA=OC$,所以$∠ACO=∠A$,所以$∠COE=∠BOE$,所以 $CE=BE=3$.
12. 如图,小华从一个圆形场地的点 A 出发,沿着与半径 OA 夹角为$α$的方向行走,走到场地边缘 B 后,再沿着与半径 OB 夹角为$α$的方向行走. 按照这种方式,小华第五次走到场地边缘时处于$\overset{\frown}{AB}$上,此时$∠ AOE=56°$,则$α=$
52°
.答案
12. 52° 解析:连接 $OC,OD$,则$∠BAO=∠CBO=∠DCO=∠EDO=α$. 因为 $OA=OB=OC=OD=OE$,所以$∠ABO=∠BCO=∠CDO=∠DEO=α$,所以$∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=180°-2α$. 因为$∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOE+∠AOE=360°$,$∠AOE=56°$,所以$4(180°-2α)+56°=360°$,所以$α=52°$.
13. 如图,A,B 是$\odot O$上的两点,$∠ AOB=120°$,C 是$\overset{\frown}{AB}$的中点.
(1) 试判断四边形 OACB 的形状,并说明理由;
(2) 延长 OA 至点 P,使得$AP=OA$,连接PC. 若$\odot O$的半径是 2,求 PC 的长.
(1) 试判断四边形 OACB 的形状,并说明理由;
(2) 延长 OA 至点 P,使得$AP=OA$,连接PC. 若$\odot O$的半径是 2,求 PC 的长.
答案
13. (1) 四边形 OACB 是菱形. 理由如下:连接 OC. 因为 C 是$\overset{\frown}{AB}$的中点,所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,所以$∠AOC=\frac{1}{2}∠AOB$. 因为$∠AOB=120°$,所以$∠AOC=∠BOC=60°$. 因为$OA=OC=OB$,所以$△ AOC$ 和$△ BOC$ 都是等边三角形,所以$AC=OA=OB=BC$,所以四边形 OACB 是菱形.
(2) 因为$AC=OA$,$AP=OA$,所以$AC=AP$,所以$∠P=∠ACP$,所以$∠OAC=∠ACP+∠P=2∠ACP$. 因为$△ AOC$ 是等边三角形,所以$∠ACO=∠OAC=60°$,所以$2∠ACP=60°$,所以$∠P=∠ACP=30°$,所以$∠OCP=∠ACO+∠ACP=90°$. 因为$\odot O$ 的半径是 2,所以$OC=2$,所以$OP=2OC=4$,所以$PC=\sqrt{OP^2-OC^2}=2\sqrt{3}$.
(2) 因为$AC=OA$,$AP=OA$,所以$AC=AP$,所以$∠P=∠ACP$,所以$∠OAC=∠ACP+∠P=2∠ACP$. 因为$△ AOC$ 是等边三角形,所以$∠ACO=∠OAC=60°$,所以$2∠ACP=60°$,所以$∠P=∠ACP=30°$,所以$∠OCP=∠ACO+∠ACP=90°$. 因为$\odot O$ 的半径是 2,所以$OC=2$,所以$OP=2OC=4$,所以$PC=\sqrt{OP^2-OC^2}=2\sqrt{3}$.
14. (2026·江苏淮安期末)如图,在同圆中,如果$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$,那么弦$AB$与弦$CD$之间的数量关系为（
A.$AB＞2CD$
B.$AB=2CD$
C.$AB＜2CD$
D.无法确定
C
）A.$AB＞2CD$
B.$AB=2CD$
C.$AB＜2CD$
D.无法确定
答案
14. C 解析:如图,取$\overset{\frown}{AB}$的中点 E,连接 EA,EB,则有$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{BE}$. 因为$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$,所以$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$,所以$CD=AE=BE$. 因为在$△ ABE$ 中,$AE+BE＞AB$,所以$AB＜2CD$.
15. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,弦$CD$交$AB$于点$M$,且$OM=CM$. 若$\overset{\frown}{AD}=m\overset{\frown}{BC}$,则$m$的值为
3
.答案
15. 3 解析:连接 $OC,OD$. 因为 $OC=OD$,所以$∠ODC=∠OCD$. 因为 $OM=CM$,所以$∠OCD=∠BOC$,所以$∠ODC=∠BOC$,$∠OMD=∠OCD+∠BOC=2∠BOC$, 所以$∠AOD=∠OMD+∠ODC=3∠BOC$,所以$\overset{\frown}{AD}=3\overset{\frown}{BC}$,所以 $m$ 的值为 3.
16. 新素养 推理能力 如图,在$\odot O$中,$C$是优弧$AB$的中点,点$D,E$分别在半径$OA,OB$上,且$AD=BE$,弦$CM,CN$分别经过点$D$,$E$.求证:
(1) $CD=CE$;
(2) $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
(1) $CD=CE$;
(2) $\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
答案
16. (1) 连接 $OC$. 因为 $C$ 是优弧 $AB$ 的中点,所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$,所以$∠COD=∠COE$. 因为 $OA=OB$,$AD=BE$,所以$OA-AD=OB-BE$,即 $OD=OE$. 在$△ OCD$ 和$△ OCE$ 中,$\begin{cases} OC=OC, \\ ∠COD=∠COE, \\ OD=OE, \end{cases}$所以$△ OCD≌△ OCE$,所以$CD=CE$.
(2) 连接 $OM,ON$. 因为$△ OCD≌△ OCE$,所以$∠OCD=∠OCE$,$∠ODC=∠OEC$. 因为 $OC=OM=ON$,所以$∠OCD=∠OMD$,$∠OCE=∠ONE$,所以$∠OMD=∠ONE$. 因为$∠ODC=∠OMD+∠MOD$,$∠OEC=∠ONE+∠NOE$,所以$∠MOD=∠NOE$,所以$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
(2) 连接 $OM,ON$. 因为$△ OCD≌△ OCE$,所以$∠OCD=∠OCE$,$∠ODC=∠OEC$. 因为 $OC=OM=ON$,所以$∠OCD=∠OMD$,$∠OCE=∠ONE$,所以$∠OMD=∠ONE$. 因为$∠ODC=∠OMD+∠MOD$,$∠OEC=∠ONE+∠NOE$,所以$∠MOD=∠NOE$,所以$\overset{\frown}{AM}=\overset{\frown}{BN}$.
