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1. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2 倍,那么称这样的方程为“倍根方程”. 例如,一元二次方程 $x^2-6x+8=0$ 的两个根是 $x_1=2$ 和$x_2=4$,则方程 $x^2-6x+8=0$ 是“倍根方程”.
(1) 根据上述定义,一元二次方程 $2x^2+x-1=0$
(2) 若一元二次方程 $x^2-3x+c=0$ 是“倍根方程”,则 $c=$
(3) 若 $(x-2)(mx-n)=0(m≠0)$ 是“倍根方程”,求代数式 $4m^2-5mn+n^2$ 的值.
(1) 根据上述定义,一元二次方程 $2x^2+x-1=0$
不是
(填“是”或“不是”)“倍根方程”.(2) 若一元二次方程 $x^2-3x+c=0$ 是“倍根方程”,则 $c=$
2
.(3) 若 $(x-2)(mx-n)=0(m≠0)$ 是“倍根方程”,求代数式 $4m^2-5mn+n^2$ 的值.
答案
(1) 不是. 原方程分解因式,可得$(x+1)(2x-1)=0$,解得$x_1=-1,x_2=\frac{1}{2}.\therefore$ 不符合其中一个根为另一个根的2倍,即该方程不是“倍根方程”.
(2) 设该方程$x^2-3x+c=0$的两个根为$x_1,2x_1,\therefore x_1+2x_1=3x_1=3$,$x_1· 2x_1=2x_1^2=c.\therefore x_1=1,c=2$.
(3) 由方程$(x-2)(mx-n)=0(m≠0)$,可得$x=2$或$x=\frac{n}{m}$.由新定义可知,$\frac{n}{m}=4$或$\frac{n}{m}=1.\because 4m^2-5mn+n^2=(4m-n)(m-n),\therefore$ 当$\frac{n}{m}=4$,即$n=4m$时,原式的值为0;当$\frac{n}{m}=1$,即$m=n$时,原式的值为0. 综上所述,$4m^2-5mn+n^2$的值为0.
(2) 设该方程$x^2-3x+c=0$的两个根为$x_1,2x_1,\therefore x_1+2x_1=3x_1=3$,$x_1· 2x_1=2x_1^2=c.\therefore x_1=1,c=2$.
(3) 由方程$(x-2)(mx-n)=0(m≠0)$,可得$x=2$或$x=\frac{n}{m}$.由新定义可知,$\frac{n}{m}=4$或$\frac{n}{m}=1.\because 4m^2-5mn+n^2=(4m-n)(m-n),\therefore$ 当$\frac{n}{m}=4$,即$n=4m$时,原式的值为0;当$\frac{n}{m}=1$,即$m=n$时,原式的值为0. 综上所述,$4m^2-5mn+n^2$的值为0.
解析
【分析】
这是一道结合新定义的一元二次方程综合题，解题核心是严格紧扣题目给出的“倍根方程”定义逐步推导：
1. 第(1)问先解出给定一元二次方程的两个实数根，再验证两个根是否满足“其中一个根是另一个根的2倍”的要求，即可判断是否为倍根方程；
2. 第(2)问利用倍根的特征，设两个根分别为t和2t，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先通过两根之和求出t的值，再代入两根之积即可算出c；
3. 第(3)问先直接写出给定方程的两个根，已知其中一个根是2，根据倍根定义分两种情况：要么2是另一个根的2倍，要么另一个根是2的2倍，得到m和n的数量关系，再对所求代数式因式分解，代入关系即可算出最终结果。
【解析】
(1) 对一元二次方程$2x^2+x-1=0$因式分解得：
$(2x-1)(x+1)=0$
解得两个根为$x_1=-1$，$x_2=\frac{1}{2}$，显然不存在一个根是另一个根的2倍的关系，因此该方程不是“倍根方程”。
(2) 设方程$x^2-3x+c=0$的两个根分别为$t$和$2t$，根据韦达定理：
两根之和$t+2t=3$，解得$t=1$
两根之积$t· 2t = c$，代入$t=1$得$c=2×1^2=2$。
(3) 解方程$(x-2)(mx-n)=0(m≠0)$，可得两个根为$x_1=2$，$x_2=\frac{n}{m}$。
因为该方程是倍根方程，因此分两种情况：
① 若2是$\frac{n}{m}$的2倍，即$2=2×\frac{n}{m}$，可得$\frac{n}{m}=1$，即$m=n$；
② 若$\frac{n}{m}$是2的2倍，即$\frac{n}{m}=2×2=4$，可得$n=4m$。
对代数式$4m^2-5mn+n^2$因式分解：
$4m^2-5mn+n^2=(4m-n)(m-n)$
当$m=n$时，代入得原式$=(4m-m)(m-m)=3m×0=0$；
当$n=4m$时，代入得原式$=(4m-4m)(m-4m)=0×(-3m)=0$。
因此代数式$4m^2-5mn+n^2$的值为0。
【答案】
(1) 不是；(2) 2；(3) 0
【知识点】
新定义运算，韦达定理，因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程的创新题型，重点考察学生对陌生新定义的理解和知识迁移能力，整体难度梯度平缓，从判断、求值到代数式计算层层递进，解题时注意第三问要完整覆盖倍根的两种可能情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
这是一道结合新定义的一元二次方程综合题，解题核心是严格紧扣题目给出的“倍根方程”定义逐步推导：
1. 第(1)问先解出给定一元二次方程的两个实数根，再验证两个根是否满足“其中一个根是另一个根的2倍”的要求，即可判断是否为倍根方程；
2. 第(2)问利用倍根的特征，设两个根分别为t和2t，结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），先通过两根之和求出t的值，再代入两根之积即可算出c；
3. 第(3)问先直接写出给定方程的两个根，已知其中一个根是2，根据倍根定义分两种情况：要么2是另一个根的2倍，要么另一个根是2的2倍，得到m和n的数量关系，再对所求代数式因式分解，代入关系即可算出最终结果。
【解析】
(1) 对一元二次方程$2x^2+x-1=0$因式分解得：
$(2x-1)(x+1)=0$
解得两个根为$x_1=-1$，$x_2=\frac{1}{2}$，显然不存在一个根是另一个根的2倍的关系，因此该方程不是“倍根方程”。
(2) 设方程$x^2-3x+c=0$的两个根分别为$t$和$2t$，根据韦达定理：
两根之和$t+2t=3$，解得$t=1$
两根之积$t· 2t = c$，代入$t=1$得$c=2×1^2=2$。
(3) 解方程$(x-2)(mx-n)=0(m≠0)$，可得两个根为$x_1=2$，$x_2=\frac{n}{m}$。
因为该方程是倍根方程，因此分两种情况：
① 若2是$\frac{n}{m}$的2倍，即$2=2×\frac{n}{m}$，可得$\frac{n}{m}=1$，即$m=n$；
② 若$\frac{n}{m}$是2的2倍，即$\frac{n}{m}=2×2=4$，可得$n=4m$。
对代数式$4m^2-5mn+n^2$因式分解：
$4m^2-5mn+n^2=(4m-n)(m-n)$
当$m=n$时，代入得原式$=(4m-m)(m-m)=3m×0=0$；
当$n=4m$时，代入得原式$=(4m-4m)(m-4m)=0×(-3m)=0$。
因此代数式$4m^2-5mn+n^2$的值为0。
【答案】
(1) 不是；(2) 2；(3) 0
【知识点】
新定义运算，韦达定理，因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程的创新题型，重点考察学生对陌生新定义的理解和知识迁移能力，整体难度梯度平缓，从判断、求值到代数式计算层层递进，解题时注意第三问要完整覆盖倍根的两种可能情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
2. 某工程队采用 A,B 两种型号的设备同时对长度为 4 800 米的公路进行施工改造. 原计划 A 型设备每小时铺设路面比 B 型设备的 2 倍多 30 米,则 32 小时恰好完成改造任务.
(1) 问:A 型设备每小时铺设路面多少米?
(2) 通过勘察,此工程的实际施工里程比最初的 4 800 米多了 1 000 米. 在实际施工中,B 型设备在铺路效率不变的情况下,时间比原计划增加了$(m+25)$小时,同时,A 型设备的铺路效率比原计划每小时下降了$3m$米,而铺路时间增加了$m$小时,求$m$的值.
(1) 问:A 型设备每小时铺设路面多少米?
(2) 通过勘察,此工程的实际施工里程比最初的 4 800 米多了 1 000 米. 在实际施工中,B 型设备在铺路效率不变的情况下,时间比原计划增加了$(m+25)$小时,同时,A 型设备的铺路效率比原计划每小时下降了$3m$米,而铺路时间增加了$m$小时,求$m$的值.
答案
(1) 设B型设备每小时铺设路面$x$米,则A型设备每小时铺设路面$(2x+30)$米. 由题意,得$32x+32(2x+30)=4800$,解得$x=40.\therefore 2x+30=110.\therefore$ A型设备每小时铺设路面110米.
(2) 根据题意,得$40(32+m+25)+(110-3m)(m+32)=4800+1000$,解得$m_1=18,m_2=0$(不合题意,舍去).$\therefore m$的值是18.
(2) 根据题意,得$40(32+m+25)+(110-3m)(m+32)=4800+1000$,解得$m_1=18,m_2=0$(不合题意,舍去).$\therefore m$的值是18.
解析
【分析】
这是典型的工程类方程应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知总施工长度是4800米，A、B同时施工32小时完成，且A的效率和B的效率有明确的倍数关系，我们可以设B型设备每小时铺设长度为未知数，利用「总工作量=A型32小时工作量+B型32小时工作量」的等量关系列一元一次方程，求解后就能算出A型设备的效率。
2. 第(2)问：首先明确实际总工程量是4800+1000=5800米，先从第(1)问得到B的效率不变为40米/小时，分别梳理出A、B的新工作效率和新工作时长：B的时长是原计划32小时增加(m+25)小时，A的新效率是原效率110减去3m，A的时长是原计划32小时增加m小时，再根据两者工作量之和等于实际总工程量列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的根，就能得到m的值。
【解析】
(1) 设B型设备每小时铺设路面$x$米，由题意可知A型设备每小时铺设路面为$(2x+30)$米。
根据总工作量的等量关系列方程：
$32x + 32(2x + 30) = 4800$
展开计算：$32x + 64x + 960 = 4800$
合并同类项：$96x = 3840$
解得：$x = 40$
因此A型设备每小时铺设路面的长度为$2x+30 = 2×40 + 30 = 110$米。
(2) 由(1)可知B型设备效率为40米/小时，A型设备原效率为110米/小时，实际总施工里程为$4800+1000=5800$米。
根据题意，B型设备的工作时长为$32 + (m+25) = m + 57$小时，A型设备的新效率为$(110 - 3m)$米/小时，A型设备的工作时长为$32 + m$小时。
列方程得：
$40(m + 57) + (110 - 3m)(m + 32) = 5800$
展开整理：
$40m + 2280 + 110m + 3520 - 3m^2 - 96m = 5800$
合并同类项得：$-3m^2 + 54m = 0$
化简为：$m(m - 18)=0$
解得$m_1=18$，$m_2=0$。
由于$m=0$不符合题目描述的施工调整的实际条件，故舍去$m=0$，最终$m=18$。
【答案】
(1) A型设备每小时铺设路面110米；(2) $m$的值为18
【知识点】
一元一次方程工程应用，一元二次方程实际应用，工作量=效率×时间
【点评】
本题属于工程类基础应用题，第(1)问难度较低，考察一元一次方程的基础应用，第(2)问需要准确梳理效率、时长的变化关系，易错点是容易搞错A、B的实际工作时长，同时要注意对一元二次方程的解进行实际意义校验，舍去不符合题意的根，是初中方程应用板块的常考题型。
【难度系数】
0.7
这是典型的工程类方程应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知总施工长度是4800米，A、B同时施工32小时完成，且A的效率和B的效率有明确的倍数关系，我们可以设B型设备每小时铺设长度为未知数，利用「总工作量=A型32小时工作量+B型32小时工作量」的等量关系列一元一次方程，求解后就能算出A型设备的效率。
2. 第(2)问：首先明确实际总工程量是4800+1000=5800米，先从第(1)问得到B的效率不变为40米/小时，分别梳理出A、B的新工作效率和新工作时长：B的时长是原计划32小时增加(m+25)小时，A的新效率是原效率110减去3m，A的时长是原计划32小时增加m小时，再根据两者工作量之和等于实际总工程量列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的根，就能得到m的值。
【解析】
(1) 设B型设备每小时铺设路面$x$米，由题意可知A型设备每小时铺设路面为$(2x+30)$米。
根据总工作量的等量关系列方程：
$32x + 32(2x + 30) = 4800$
展开计算：$32x + 64x + 960 = 4800$
合并同类项：$96x = 3840$
解得：$x = 40$
因此A型设备每小时铺设路面的长度为$2x+30 = 2×40 + 30 = 110$米。
(2) 由(1)可知B型设备效率为40米/小时，A型设备原效率为110米/小时，实际总施工里程为$4800+1000=5800$米。
根据题意，B型设备的工作时长为$32 + (m+25) = m + 57$小时，A型设备的新效率为$(110 - 3m)$米/小时，A型设备的工作时长为$32 + m$小时。
列方程得：
$40(m + 57) + (110 - 3m)(m + 32) = 5800$
展开整理：
$40m + 2280 + 110m + 3520 - 3m^2 - 96m = 5800$
合并同类项得：$-3m^2 + 54m = 0$
化简为：$m(m - 18)=0$
解得$m_1=18$，$m_2=0$。
由于$m=0$不符合题目描述的施工调整的实际条件，故舍去$m=0$，最终$m=18$。
【答案】
(1) A型设备每小时铺设路面110米；(2) $m$的值为18
【知识点】
一元一次方程工程应用，一元二次方程实际应用，工作量=效率×时间
【点评】
本题属于工程类基础应用题，第(1)问难度较低，考察一元一次方程的基础应用，第(2)问需要准确梳理效率、时长的变化关系，易错点是容易搞错A、B的实际工作时长，同时要注意对一元二次方程的解进行实际意义校验，舍去不符合题意的根，是初中方程应用板块的常考题型。
【难度系数】
0.7
3. 为了节约用水,某地水厂规定:居民如果一个月的用水量不超过$x$吨,那么这个月只需缴10元水费;如果超过$x$吨,那么这个月除了仍要缴10元水费外,超过部分按每吨$\dfrac{x}{100}$元缴费.下表是某居民9月、10月的用水情况和缴费情况:
根据上表数据,则$x$的值为
根据上表数据,则$x$的值为
60
.答案
60 $\because$ 10月的缴费总额为10元,$\therefore$ 10月的用水量没有超过$x$吨,即$x≥50$. 根据9月用水情况,可以列出方程$10+\frac{x}{100}(85-x)=25$,解得$x_1=60,x_2=25.\because x≥50$,$\therefore x=60.\therefore x$的值是60.
解析
【分析】
首先先读懂收费规则：月用水量不超过x吨时仅缴10元水费，超过x吨时除10元基础水费外，超出部分按每吨$\frac{x}{100}$元额外缴费。首先观察10月的数据：用水量50吨，缴费刚好10元，说明10月用水量没有超过x吨，由此可以先确定x的取值范围为$x\ge50$。再看9月的数据：用水量85吨，缴费25元大于10元，说明9月用水量超过了x吨，符合超额缴费的规则，据此可以列出对应总费用的一元二次方程，求解方程后结合之前得到的$x\ge50$的条件，舍去不符合范围的根，就能得到x的正确值。
【解析】
解：1. 确定x的取值范围
10月用水量为50吨，缴费总额为10元，符合“用水量不超过x吨只需缴10元”的收费规则，因此可得：$x\ge 50$。
2. 根据9月数据列方程
9月用水量85吨，缴费总额25元＞10元，说明9月用水量超过x吨，其中超出部分水量为$(85-x)$吨，超出部分的总费用为$\frac{x}{100}(85-x)$元。
结合总缴费25元，列方程：
$10+\frac{x}{100}(85-x)=25$
整理方程得：
$x^2-85x+1500=0$
因式分解得：
$(x-60)(x-25)=0$
解得$x_1=60$，$x_2=25$。
3. 筛选符合条件的解
结合$x\ge50$的前提，$x=25$不符合要求，舍去，因此$x=60$。
【答案】
60
【知识点】
分段计费，一元二次方程应用
【点评】
本题的易错点是容易忽略10月数据给出的$x\ge50$的隐含条件，误将方程的解25作为最终结果，解题时要先通过未超额的月份数据确定收费阈值的取值范围，再对一元二次方程的解进行筛选，保证结果符合实际场景。
【难度系数】
0.6
首先先读懂收费规则：月用水量不超过x吨时仅缴10元水费，超过x吨时除10元基础水费外，超出部分按每吨$\frac{x}{100}$元额外缴费。首先观察10月的数据：用水量50吨，缴费刚好10元，说明10月用水量没有超过x吨，由此可以先确定x的取值范围为$x\ge50$。再看9月的数据：用水量85吨，缴费25元大于10元，说明9月用水量超过了x吨，符合超额缴费的规则，据此可以列出对应总费用的一元二次方程，求解方程后结合之前得到的$x\ge50$的条件，舍去不符合范围的根，就能得到x的正确值。
【解析】
解：1. 确定x的取值范围
10月用水量为50吨，缴费总额为10元，符合“用水量不超过x吨只需缴10元”的收费规则，因此可得：$x\ge 50$。
2. 根据9月数据列方程
9月用水量85吨，缴费总额25元＞10元，说明9月用水量超过x吨，其中超出部分水量为$(85-x)$吨，超出部分的总费用为$\frac{x}{100}(85-x)$元。
结合总缴费25元，列方程：
$10+\frac{x}{100}(85-x)=25$
整理方程得：
$x^2-85x+1500=0$
因式分解得：
$(x-60)(x-25)=0$
解得$x_1=60$，$x_2=25$。
3. 筛选符合条件的解
结合$x\ge50$的前提，$x=25$不符合要求，舍去，因此$x=60$。
【答案】
60
【知识点】
分段计费，一元二次方程应用
【点评】
本题的易错点是容易忽略10月数据给出的$x\ge50$的隐含条件，误将方程的解25作为最终结果，解题时要先通过未超额的月份数据确定收费阈值的取值范围，再对一元二次方程的解进行筛选，保证结果符合实际场景。
【难度系数】
0.6
