登录
6. 某商店以80元/个的进价购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周的销售量$y$(个)与售价$x$(元/个)之间满足一次函数$y=30-0.2x$，物价部门规定每个头盔的利润不能超过进价的$30\%$。若商店计划每周销售该头盔获利200元，则该头盔的售价应为
100
元/个。答案
设该头盔的售价为 x 元/个.由题意,得(x-80)(30-0.2x)=200.整理,得x²-230x+13 000=0,解得x₁=100,x₂=130.
∵ 80×(1+30%)=104(元),
∴ 当x=100时,100＜104,符合题意;当x=130时,130＞104,不符合题意,舍去.
∴ x=100,即该头盔的售价应为100元/个.
∵ 80×(1+30%)=104(元),
∴ 当x=100时,100＜104,符合题意;当x=130时,130＞104,不符合题意,舍去.
∴ x=100,即该头盔的售价应为100元/个.
解析
【分析】
这是典型的一元二次方程销售利润类应用题，解题思路可以按三步推进：第一，先回忆总利润的核心计算公式：总利润=单个商品利润×总销售量。本题里单个头盔的利润是售价x减去进价80元，题目已经直接给出销售量y和售价x的函数关系，结合目标总利润200元，就可以直接列出对应方程。第二，求解得到的一元二次方程，得到两个候选的售价解。第三，不能忽略题目给出的政策约束条件：每个头盔的利润不能超过进价的30%，先算出允许的最高售价，把超出上限、不符合要求的解舍去，最终得到符合题意的正确售价。
【解析】
解：设该头盔的售价为x元/个。
1. 依据利润公式列方程：
单个头盔的利润为$(x-80)$元，每周销售量为$(30-0.2x)$个，结合每周总获利200元的要求，可得：
$(x-80)(30-0.2x)=200$
2. 整理并求解一元二次方程：
展开、移项合并同类项后整理为标准形式：
$x^2 - 230x + 13000 = 0$
解得两个根：$x_1=100$，$x_2=130$
3. 结合约束条件验根：
根据物价部门的规定，利润不能超过进价的30%，因此允许的最高售价为：
$80×(1+30\%)=104 \mathrm{元}$
其中$100＜104$，符合规定要求；$130＞104$，超出了售价上限，不符合题意，直接舍去。
最终符合要求的头盔售价为100元/个。
【答案】
100
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；实际问题验根
【点评】
本题是非常典型的初中数学销售利润类应用题，整体思路清晰门槛不高，最容易丢分的陷阱是很多同学解出两个根之后，直接忽略题目给出的利润上限约束，没有对根做合理性检验就直接提交结果，解题时要注意所有实际应用类问题的参数都存在隐含或明确的取值范围，必须对求得的根逐一验证是否符合现实要求。
【难度系数】
0.6
这是典型的一元二次方程销售利润类应用题，解题思路可以按三步推进：第一，先回忆总利润的核心计算公式：总利润=单个商品利润×总销售量。本题里单个头盔的利润是售价x减去进价80元，题目已经直接给出销售量y和售价x的函数关系，结合目标总利润200元，就可以直接列出对应方程。第二，求解得到的一元二次方程，得到两个候选的售价解。第三，不能忽略题目给出的政策约束条件：每个头盔的利润不能超过进价的30%，先算出允许的最高售价，把超出上限、不符合要求的解舍去，最终得到符合题意的正确售价。
【解析】
解：设该头盔的售价为x元/个。
1. 依据利润公式列方程：
单个头盔的利润为$(x-80)$元，每周销售量为$(30-0.2x)$个，结合每周总获利200元的要求，可得：
$(x-80)(30-0.2x)=200$
2. 整理并求解一元二次方程：
展开、移项合并同类项后整理为标准形式：
$x^2 - 230x + 13000 = 0$
解得两个根：$x_1=100$，$x_2=130$
3. 结合约束条件验根：
根据物价部门的规定，利润不能超过进价的30%，因此允许的最高售价为：
$80×(1+30\%)=104 \mathrm{元}$
其中$100＜104$，符合规定要求；$130＞104$，超出了售价上限，不符合题意，直接舍去。
最终符合要求的头盔售价为100元/个。
【答案】
100
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；实际问题验根
【点评】
本题是非常典型的初中数学销售利润类应用题，整体思路清晰门槛不高，最容易丢分的陷阱是很多同学解出两个根之后，直接忽略题目给出的利润上限约束，没有对根做合理性检验就直接提交结果，解题时要注意所有实际应用类问题的参数都存在隐含或明确的取值范围，必须对求得的根逐一验证是否符合现实要求。
【难度系数】
0.6
7. 新情境 生活实际 一个农业合作社以64 000元的成本收购了某种农产品80吨，目前可以以1 200元/吨的价格售出，如果储藏起来，每个星期会损失2吨，且每个星期需支付各种费用1 600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元，那么储藏
15
个星期再出售这批农产品可获利122 000元.答案
设储藏 x 个星期再出售这批农产品可获利 122 000 元,由题意,得(1 200+200x)(80-2x)-1 600x-64 000=122 000.化简,得x²-30x+225=0,解得x₁=x₂=15.
∴ 储藏 15 个星期再出售这批农产品可获利 122 000 元.
∴ 储藏 15 个星期再出售这批农产品可获利 122 000 元.
解析
【分析】
这是典型的一元二次方程利润类实际应用题，我们按照利润的计算逻辑逐步梳理即可：
1. 先设储藏的星期数为x，分别梳理x周后各个相关量的变化：
① 每吨售价：原本是1200元/吨，每星期每吨涨价200元，所以x周后单价为(1200+200x)元/吨；
② 剩余农产品重量：原本共80吨，每星期损失2吨，x周后剩余重量为(80-2x)吨；
③ 额外支出的储藏总费用：每星期支付1600元，x周总费用为1600x元；
2. 总利润的计算公式为：总利润 = 最终销售的总售价 - 初始收购成本 - 储藏阶段的总费用，题目要求总利润为122000元，把上面的各个量代入公式就能列出方程，求解一元二次方程后得到符合实际意义的解即可。
【解析】
解：设储藏x个星期再出售这批农产品可获利122 000元，
根据题意列方程：
$(1200 + 200x)(80 - 2x) - 1600x - 64000 = 122000$
展开乘积项并合并同类项：
$96000 + 12000x - 400x^2 - 1600x - 64000 = 122000$
整理后化简得：
$x^2 - 30x + 225 = 0$
该方程可变形为完全平方式$(x-15)^2=0$，解得：
$x_1=x_2=15$
验证：x=15时，剩余农产品重量为$80-2×15=50$吨＞0，符合实际逻辑，解有效。
【答案】
15
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润计算
【点评】
本题结合农产品储藏销售的真实生活情境，重点考察学生梳理动态变化的单价、产量、成本三类数量关系的能力，易错点是容易遗漏减去储藏总费用、或者搞错剩余农产品的重量，整体属于常规的一元二次方程实际应用题型，掌握利润基本公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
这是典型的一元二次方程利润类实际应用题，我们按照利润的计算逻辑逐步梳理即可：
1. 先设储藏的星期数为x，分别梳理x周后各个相关量的变化：
① 每吨售价：原本是1200元/吨，每星期每吨涨价200元，所以x周后单价为(1200+200x)元/吨；
② 剩余农产品重量：原本共80吨，每星期损失2吨，x周后剩余重量为(80-2x)吨；
③ 额外支出的储藏总费用：每星期支付1600元，x周总费用为1600x元；
2. 总利润的计算公式为：总利润 = 最终销售的总售价 - 初始收购成本 - 储藏阶段的总费用，题目要求总利润为122000元，把上面的各个量代入公式就能列出方程，求解一元二次方程后得到符合实际意义的解即可。
【解析】
解：设储藏x个星期再出售这批农产品可获利122 000元，
根据题意列方程：
$(1200 + 200x)(80 - 2x) - 1600x - 64000 = 122000$
展开乘积项并合并同类项：
$96000 + 12000x - 400x^2 - 1600x - 64000 = 122000$
整理后化简得：
$x^2 - 30x + 225 = 0$
该方程可变形为完全平方式$(x-15)^2=0$，解得：
$x_1=x_2=15$
验证：x=15时，剩余农产品重量为$80-2×15=50$吨＞0，符合实际逻辑，解有效。
【答案】
15
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润计算
【点评】
本题结合农产品储藏销售的真实生活情境，重点考察学生梳理动态变化的单价、产量、成本三类数量关系的能力，易错点是容易遗漏减去储藏总费用、或者搞错剩余农产品的重量，整体属于常规的一元二次方程实际应用题型，掌握利润基本公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
8. 根据表中的素材,探索完成任务.
答案
任务 1:设该车间 4 月到 6 月生产数量的平均增长率为 x.由题意,得 1 000(1+x)²=1 440,解得x₁=0.2=20%,x₂=-2.2(不合题意,舍去).
∴ 该车间 4 月到 6 月生产数量的平均增长率为 20%.任务 2:设该零件应在原价的基础上上涨 m 元,则月销售量为(600-10m)个.由题意,得(40+m-30)(600-10m)=10 000.整理,得m²-50m+400=0,解得m₁=10,m₂=40.
∵ 要尽可能让车企得到优惠,
∴ 该零件应在原价的基础上上涨 10 元.
∴ 该车间 4 月到 6 月生产数量的平均增长率为 20%.任务 2:设该零件应在原价的基础上上涨 m 元,则月销售量为(600-10m)个.由题意,得(40+m-30)(600-10m)=10 000.整理,得m²-50m+400=0,解得m₁=10,m₂=40.
∵ 要尽可能让车企得到优惠,
∴ 该零件应在原价的基础上上涨 10 元.
解析
【分析】
先处理任务1，这是典型的平均增长率问题，我们可以利用两次增长的数量关系：初始量×(1+平均增长率)²=两次增长后的最终量。这里4月产量是初始值1000个，经过5月、6月两次增长后产量为1440个，据此设未知数列一元二次方程，解出方程后舍去不符合实际意义的负根就能得到平均增长率。
再处理任务2，这是销售利润类问题，核心公式是总利润=单个零件的利润×月销售量。我们设涨价m元，先算出涨价后的单个利润：原售价40元减去成本30元再加上上涨的m元，再算出涨价后的月销售量：原本月销量600个，每涨1元少卖10个，因此销量为(600-10m)个，代入总利润等于10000元的条件列方程，解出两个根后，根据“尽可能让车企得到优惠”的要求，选择涨价幅度更小的正根即可。
【解析】
任务1：求平均增长率
设该车间4月到6月生产数量的平均增长率为$x$，
根据4月产量1000个，6月产量1440个的条件，列方程：
$1000(1+x)^2 = 1440$
两边同除以1000得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
由于增长率不能为负数，$x_2=-2.2$不符合实际意义，舍去。
任务2：求符合要求的涨价金额
设该零件应在原价的基础上上涨$m$元，则涨价后月销售量为$(600-10m)$个，单个零件的利润为$(40+m-30)$元，
根据月销售利润为10000元的条件，列方程：
$(40+m-30)(600-10m)=10000$
整理化简得：
$m^2 -50m +400=0$
因式分解得：$(m-10)(m-40)=0$
解得：$m_1=10$，$m_2=40$
题目要求尽可能让车企得到优惠，即售价涨幅尽可能小，因此选择更小的正根$m=10$。
【答案】
任务1：该车间4月到6月生产数量的平均增长率为20%；
任务2：该零件应在原价的基础上上涨10元。
【知识点】
一元二次方程增长率应用，一元二次方程利润应用
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规经典题型，结合工业生产和商品销售的真实场景出题，解题核心是根据实际数量关系列出方程，同时要注意结合实际问题的约束条件对求出的根进行合理取舍，避免出现不符合现实的解，重点考察学生将数学模型应用到实际问题中的能力。
【难度系数】
0.8
先处理任务1，这是典型的平均增长率问题，我们可以利用两次增长的数量关系：初始量×(1+平均增长率)²=两次增长后的最终量。这里4月产量是初始值1000个，经过5月、6月两次增长后产量为1440个，据此设未知数列一元二次方程，解出方程后舍去不符合实际意义的负根就能得到平均增长率。
再处理任务2，这是销售利润类问题，核心公式是总利润=单个零件的利润×月销售量。我们设涨价m元，先算出涨价后的单个利润：原售价40元减去成本30元再加上上涨的m元，再算出涨价后的月销售量：原本月销量600个，每涨1元少卖10个，因此销量为(600-10m)个，代入总利润等于10000元的条件列方程，解出两个根后，根据“尽可能让车企得到优惠”的要求，选择涨价幅度更小的正根即可。
【解析】
任务1：求平均增长率
设该车间4月到6月生产数量的平均增长率为$x$，
根据4月产量1000个，6月产量1440个的条件，列方程：
$1000(1+x)^2 = 1440$
两边同除以1000得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$
由于增长率不能为负数，$x_2=-2.2$不符合实际意义，舍去。
任务2：求符合要求的涨价金额
设该零件应在原价的基础上上涨$m$元，则涨价后月销售量为$(600-10m)$个，单个零件的利润为$(40+m-30)$元，
根据月销售利润为10000元的条件，列方程：
$(40+m-30)(600-10m)=10000$
整理化简得：
$m^2 -50m +400=0$
因式分解得：$(m-10)(m-40)=0$
解得：$m_1=10$，$m_2=40$
题目要求尽可能让车企得到优惠，即售价涨幅尽可能小，因此选择更小的正根$m=10$。
【答案】
任务1：该车间4月到6月生产数量的平均增长率为20%；
任务2：该零件应在原价的基础上上涨10元。
【知识点】
一元二次方程增长率应用，一元二次方程利润应用
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规经典题型，结合工业生产和商品销售的真实场景出题，解题核心是根据实际数量关系列出方程，同时要注意结合实际问题的约束条件对求出的根进行合理取舍，避免出现不符合现实的解，重点考察学生将数学模型应用到实际问题中的能力。
【难度系数】
0.8
9. 某商店购进 600 个旅游纪念品,进价为每个 6 元. 第一周以每个 10 元的价格售出 200 个,第二周若以每个 10 元的价格销售,则仍可售出 200 个,但该商店为了适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,每个售价每降低 1 元,可多售出 50 个,但售价不得低于进价),每个售价降低$x$元销售一周后,该商店对剩余的旅游纪念品进行清仓处理,以每个 4 元的价格全部售出. 如果销售这批旅游纪念品共获利 1 250 元,那么第二周每个旅游纪念品的售价为多少元?
答案
根据题意,得 200×(10-6)+(10-x-6)(200+50x)+(4-6)·[600-200-(200+50x)]=1 250.整理,得x²-2x+1=0,解得x₁=x₂=1.
∵ 售价不得低于进价,
∴ 10-x≥6,即x≤4.
∴ x=1符合题意.
∴ 第二周每个旅游纪念品的售价为10-1=9(元).
∵ 售价不得低于进价,
∴ 10-x≥6,即x≤4.
∴ x=1符合题意.
∴ 第二周每个旅游纪念品的售价为10-1=9(元).
解析
【分析】
这是典型的分段销售类利润应用题，解题思路可按以下逻辑推进：1. 先明确总利润由三部分组成：第一周正常销售的利润、第二周降价销售的利润、清仓处理剩余商品的利润，三部分相加等于总获利1250元。2. 分别表示每一部分的单件利润和对应销量：第一周的售价、销量均为已知条件，可直接计算利润；第二周降价x元，单件利润为调整后售价减去进价，销量在原本200件的基础上，每降1元多卖50件，因此销量为200+50x；剩余商品用总进货量减去前两周卖出的数量，清仓的单件利润为清仓价减去进价。3. 把三部分利润相加列出一元二次方程，求解后结合“售价不低于进价”的约束条件筛选符合题意的x值，最后算出第二周的实际售价即可。
【解析】
解：设第二周每个旅游纪念品的售价降低x元，分步梳理各销售阶段的利润：
1. 第一周利润：单件利润为$10-6=4$元，销量200个，对应利润为$200×(10-6)$元；
2. 第二周利润：实际售价为$(10-x)$元，单件利润为$(10-x-6)$元，销量为$(200+50x)$个，对应利润为$(10-x-6)(200+50x)$元；
3. 清仓阶段利润：剩余商品数量为$600-200-(200+50x)$个，清仓单价4元，单件利润为$(4-6)$元，对应利润为$(4-6)·[600-200-(200+50x)]$元。
根据总获利1250元列方程：
$200×(10-6)+(10-x-6)(200+50x)+(4-6)·[600-200-(200+50x)]=1250$
展开并整理方程得：$x^2-2x+1=0$
解得：$x_1=x_2=1$
结合售价不低于进价的约束条件：$10-x≥6$，即$x≤4$，$x=1$满足该限制，符合题意。
因此第二周每个旅游纪念品的实际售价为$10-1=9$元。
【答案】第二周每个旅游纪念品的售价为9元。
【知识点】一元二次方程应用，销售利润计算
【点评】本题是初中数学常见的分段销售利润应用题，核心难点是准确梳理三个销售阶段各自的销量和单件利润，容易出错的地方是误算清仓阶段的剩余商品数量，或是忽略“售价不低于进价”的取值限制，解题时要逐段核对数量关系，避免漏算清仓阶段的亏损部分。
【难度系数】
0.6
这是典型的分段销售类利润应用题，解题思路可按以下逻辑推进：1. 先明确总利润由三部分组成：第一周正常销售的利润、第二周降价销售的利润、清仓处理剩余商品的利润，三部分相加等于总获利1250元。2. 分别表示每一部分的单件利润和对应销量：第一周的售价、销量均为已知条件，可直接计算利润；第二周降价x元，单件利润为调整后售价减去进价，销量在原本200件的基础上，每降1元多卖50件，因此销量为200+50x；剩余商品用总进货量减去前两周卖出的数量，清仓的单件利润为清仓价减去进价。3. 把三部分利润相加列出一元二次方程，求解后结合“售价不低于进价”的约束条件筛选符合题意的x值，最后算出第二周的实际售价即可。
【解析】
解：设第二周每个旅游纪念品的售价降低x元，分步梳理各销售阶段的利润：
1. 第一周利润：单件利润为$10-6=4$元，销量200个，对应利润为$200×(10-6)$元；
2. 第二周利润：实际售价为$(10-x)$元，单件利润为$(10-x-6)$元，销量为$(200+50x)$个，对应利润为$(10-x-6)(200+50x)$元；
3. 清仓阶段利润：剩余商品数量为$600-200-(200+50x)$个，清仓单价4元，单件利润为$(4-6)$元，对应利润为$(4-6)·[600-200-(200+50x)]$元。
根据总获利1250元列方程：
$200×(10-6)+(10-x-6)(200+50x)+(4-6)·[600-200-(200+50x)]=1250$
展开并整理方程得：$x^2-2x+1=0$
解得：$x_1=x_2=1$
结合售价不低于进价的约束条件：$10-x≥6$，即$x≤4$，$x=1$满足该限制，符合题意。
因此第二周每个旅游纪念品的实际售价为$10-1=9$元。
【答案】第二周每个旅游纪念品的售价为9元。
【知识点】一元二次方程应用，销售利润计算
【点评】本题是初中数学常见的分段销售利润应用题，核心难点是准确梳理三个销售阶段各自的销量和单件利润，容易出错的地方是误算清仓阶段的剩余商品数量，或是忽略“售价不低于进价”的取值限制，解题时要逐段核对数量关系，避免漏算清仓阶段的亏损部分。
【难度系数】
0.6
