登录
4. 新情境 体育比赛 某校乒乓球队举行队内比赛,比赛规则是每两名队员之间都比赛一场,每场比赛都要分出胜负,每一场比赛结束后依据胜负给出相应积分,本次比赛一共进行了 210 场,用时两天完成,下面是第一天比赛结束后部分队员的积分表:
(1) 在本次比赛中,有一名队员只输掉了一场比赛,则该名队员的积分是多少?
(2) 如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于 34 分,那么他最多负
(1) 在本次比赛中,有一名队员只输掉了一场比赛,则该名队员的积分是多少?
(2) 如果有一名队员在本次比赛中的积分不低于 34 分,那么他最多负
6
场.答案
(1) 设本次比赛共有$x$名队员参加比赛. 由表格,得赢一场比赛得$20÷10=2$(分),输一场比赛得$7÷7=1$(分),由题意,得$\frac{1}{2}x(x-1)=210$,解得$x_1=21,x_2=-20$(不合题意,舍去).$\therefore$ 共有21名队员参加比赛.$\therefore$ 每名队员一共比赛20场.$\because$ 有一名队员只输掉了一场比赛,$\therefore$ 该名队员的积分是$(20-1)×2+1=39$(分).
(2) 设该名队员在本次比赛中负$y$场. 由题意,得$(20-y)×2+y≥34$,解得$y≤6$,$\therefore$ 该名队员在本次比赛中最多负6场.
(2) 设该名队员在本次比赛中负$y$场. 由题意,得$(20-y)×2+y≥34$,解得$y≤6$,$\therefore$ 该名队员在本次比赛中最多负6场.
解析
【分析】
我们可以按以下思路逐步解题：第一步先从给出的积分表格中提取信息，计算出胜1场、负1场对应的单场积分，观察全胜的2号队员和全负的5号队员的数据，就能快速得到胜场、负场的单场分值。接下来解决第一问：已知本次比赛是每两名队员赛一场的单循环赛，总场次为210场，利用单循环赛总场次公式列一元一次方程，求出参赛总人数，就能得到每名队员的总参赛场数，结合“只输掉1场”的条件，代入积分规则即可算出总积分。第二问设该队员负y场，用总参赛场数表示出胜场数，根据“积分不低于34分”的条件列出一元一次不等式，解不等式后取符合要求的最大整数，就能得到最多负场数。
【解析】
1. 先计算单场胜负积分：
从表格数据可知，编号2的队员10场全胜积20分，因此胜1场得分为$20÷10=2$分；编号5的队员7场全负积7分，因此负1场得分为$7÷7=1$分。
(1) 设本次比赛共有$x$名队员参赛，单循环赛总场次公式为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合总场次210列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=210$
整理得$x^2-x-420=0$，解得$x_1=21$，$x_2=-20$，人数不能为负数，舍去$x_2=-20$，因此总共有21名队员参赛。
每名队员需要参赛的总场数为$21-1=20$场，该队员只输掉1场，因此胜场数为$20-1=19$场，总积分计算为：
$19×2 + 1×1=39$
(2) 设该名队员在本次比赛中负$y$场，则胜场数为$(20-y)$场，根据积分不低于34分列不等式：
$2(20-y)+y≥34$
展开整理得$40-y≥34$，解得$y≤6$，因此$y$的最大整数取值为6。
【答案】
(1) 该名队员的积分是39分；(2) 6
【知识点】
单循环计数，一元一次方程，一元一次不等式
【点评】
本题结合体育比赛的实际情境出题，考察学生从表格提取信息、将实际问题转化为数学模型的能力，解题的核心是先确定积分规则，再利用单循环赛的场次公式求出总参赛人数，最后通过不等式求解最值，易错点是容易忽略单循环赛总场次需要除以2，导致总人数计算错误。
【难度系数】
0.6
我们可以按以下思路逐步解题：第一步先从给出的积分表格中提取信息，计算出胜1场、负1场对应的单场积分，观察全胜的2号队员和全负的5号队员的数据，就能快速得到胜场、负场的单场分值。接下来解决第一问：已知本次比赛是每两名队员赛一场的单循环赛，总场次为210场，利用单循环赛总场次公式列一元一次方程，求出参赛总人数，就能得到每名队员的总参赛场数，结合“只输掉1场”的条件，代入积分规则即可算出总积分。第二问设该队员负y场，用总参赛场数表示出胜场数，根据“积分不低于34分”的条件列出一元一次不等式，解不等式后取符合要求的最大整数，就能得到最多负场数。
【解析】
1. 先计算单场胜负积分：
从表格数据可知，编号2的队员10场全胜积20分，因此胜1场得分为$20÷10=2$分；编号5的队员7场全负积7分，因此负1场得分为$7÷7=1$分。
(1) 设本次比赛共有$x$名队员参赛，单循环赛总场次公式为$\frac{1}{2}x(x-1)$，结合总场次210列方程：
$\frac{1}{2}x(x-1)=210$
整理得$x^2-x-420=0$，解得$x_1=21$，$x_2=-20$，人数不能为负数，舍去$x_2=-20$，因此总共有21名队员参赛。
每名队员需要参赛的总场数为$21-1=20$场，该队员只输掉1场，因此胜场数为$20-1=19$场，总积分计算为：
$19×2 + 1×1=39$
(2) 设该名队员在本次比赛中负$y$场，则胜场数为$(20-y)$场，根据积分不低于34分列不等式：
$2(20-y)+y≥34$
展开整理得$40-y≥34$，解得$y≤6$，因此$y$的最大整数取值为6。
【答案】
(1) 该名队员的积分是39分；(2) 6
【知识点】
单循环计数，一元一次方程，一元一次不等式
【点评】
本题结合体育比赛的实际情境出题，考察学生从表格提取信息、将实际问题转化为数学模型的能力，解题的核心是先确定积分规则，再利用单循环赛的场次公式求出总参赛人数，最后通过不等式求解最值，易错点是容易忽略单循环赛总场次需要除以2，导致总人数计算错误。
【难度系数】
0.6
5. 如图,$AC$ 是正方形$ABCD$ 的对角线,$AD=8$,$E$ 是$AC$ 的中点,动点$P$ 从点$A$ 出发,沿$AB$ 方向以每秒1个单位长度的速度向终点$B$ 运动,同时动点$Q$ 从点$B$ 出发,以每秒2个单位长度的速度先沿$BC$ 方向运动到点$C$,再沿$CD$ 方向向终点$D$ 运动,以$EP,EQ$ 为邻边作$□ PEQF$,设点$P$ 运动的时间为$t$ 秒$(0＜ t＜ 8)$.
(1) 当$t=1$时,试求$PE$ 的长.
(2) 当点$F$ 恰好落在线段$AB$ 上时,求$BF$ 的长.
(3) 在整个运动过程中,当$□ PEQF$ 为菱形时,求$t$ 的值.
(1) 当$t=1$时,试求$PE$ 的长.
(2) 当点$F$ 恰好落在线段$AB$ 上时,求$BF$ 的长.
(3) 在整个运动过程中,当$□ PEQF$ 为菱形时,求$t$ 的值.
答案
(1) 如图①,取$AB$的中点$M$,连接$EM$.$\because$ 四边形$ABCD$是正方形,$E$是对角线$AC$的中点,$\therefore AB=BC=CD=AD=8$,$EM$是$△ ABC$的中位线.$\therefore AM=\frac{1}{2}AB=4$,$EM=\frac{1}{2}BC=4$,$EM// BC$.$\therefore ∠ AME=∠ B=90°$.当$t=1$时,$AP=1$,$\therefore PM=AM-AP=3$.$\therefore PE=\sqrt{PM^2+EM^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
(2) $\because$ 四边形$PEQF$是平行四边形,$\therefore PF=EQ$,$PF// EQ$.当点$F$恰好落在线段$AB$上时,$PF⊥ BC$,$\therefore EQ⊥ BC$.$\therefore$ 易知此时$Q$为$BC$的中点.$\therefore EQ$是$△ ABC$的中位线.$\therefore BQ=\frac{1}{2}BC=4$,$EQ=\frac{1}{2}AB=4$.$\therefore PF=4$.$\because$ 动点$Q$从点$B$出发,以每秒2个单位长度的速度先沿$BC$方向运动到点$C$,$\therefore t=4÷2=2$.$\therefore$ 易得$AP=2$.$\therefore BF=AB-AP-PF=2$.
(3) 当$□ PEQF$为菱形时,$PE=EQ$. 分四种情况讨论:
① 当$0＜ t≤2$时,如图②,过点$E$作$EM⊥ AB$于点$M$,$EN⊥ BC$于点$N$. 易知$EM=\frac{1}{2}BC=4$,$EN=\frac{1}{2}AB=4$.
$\because PE^2=PM^2+EM^2$,$EQ^2=QN^2+EN^2$,$\therefore$ 易得$(4-t)^2+4^2=(4-2t)^2+4^2$,解得$t_1=0$(不合题意,舍去),$t_2=\frac{8}{3}$(不合题意,舍去).
② 当$2＜ t≤4$时,同①,得$(4-t)^2+4^2=(2t-4)^2+4^2$,解得$t_1=0$(不合题意,舍去),$t_2=\frac{8}{3}$.$\therefore t=\frac{8}{3}$.
③ 当$4＜ t≤6$时,如图③,过点$E$作$EM⊥ AB$于点$M$,$EN⊥ CD$于点$N$. 易知$EM=4$,$EN=\frac{1}{2}AD=4$.
$\because PE^2=PM^2+EM^2$,$EQ^2=QN^2+EN^2$,$\therefore$ 易得$(t-4)^2+4^2=(12-2t)^2+4^2$,解得$t_1=\frac{16}{3}$,$t_2=8$(不合题意,舍去).$\therefore t=\frac{16}{3}$.
④ 当$6＜ t＜8$时,同③,得$(t-4)^2+4^2=(2t-12)^2+4^2$,解得$t_1=\frac{16}{3}$(不合题意,舍去),$t_2=8$(不合题意,舍去).
综上所述,在整个运动过程中,当$□ PEQF$为菱形时,$t$的值为$\frac{8}{3}$或$\frac{16}{3}$.
(2) $\because$ 四边形$PEQF$是平行四边形,$\therefore PF=EQ$,$PF// EQ$.当点$F$恰好落在线段$AB$上时,$PF⊥ BC$,$\therefore EQ⊥ BC$.$\therefore$ 易知此时$Q$为$BC$的中点.$\therefore EQ$是$△ ABC$的中位线.$\therefore BQ=\frac{1}{2}BC=4$,$EQ=\frac{1}{2}AB=4$.$\therefore PF=4$.$\because$ 动点$Q$从点$B$出发,以每秒2个单位长度的速度先沿$BC$方向运动到点$C$,$\therefore t=4÷2=2$.$\therefore$ 易得$AP=2$.$\therefore BF=AB-AP-PF=2$.
(3) 当$□ PEQF$为菱形时,$PE=EQ$. 分四种情况讨论:
① 当$0＜ t≤2$时,如图②,过点$E$作$EM⊥ AB$于点$M$,$EN⊥ BC$于点$N$. 易知$EM=\frac{1}{2}BC=4$,$EN=\frac{1}{2}AB=4$.
$\because PE^2=PM^2+EM^2$,$EQ^2=QN^2+EN^2$,$\therefore$ 易得$(4-t)^2+4^2=(4-2t)^2+4^2$,解得$t_1=0$(不合题意,舍去),$t_2=\frac{8}{3}$(不合题意,舍去).
② 当$2＜ t≤4$时,同①,得$(4-t)^2+4^2=(2t-4)^2+4^2$,解得$t_1=0$(不合题意,舍去),$t_2=\frac{8}{3}$.$\therefore t=\frac{8}{3}$.
③ 当$4＜ t≤6$时,如图③,过点$E$作$EM⊥ AB$于点$M$,$EN⊥ CD$于点$N$. 易知$EM=4$,$EN=\frac{1}{2}AD=4$.
$\because PE^2=PM^2+EM^2$,$EQ^2=QN^2+EN^2$,$\therefore$ 易得$(t-4)^2+4^2=(12-2t)^2+4^2$,解得$t_1=\frac{16}{3}$,$t_2=8$(不合题意,舍去).$\therefore t=\frac{16}{3}$.
④ 当$6＜ t＜8$时,同③,得$(t-4)^2+4^2=(2t-12)^2+4^2$,解得$t_1=\frac{16}{3}$(不合题意,舍去),$t_2=8$(不合题意,舍去).
综上所述,在整个运动过程中,当$□ PEQF$为菱形时,$t$的值为$\frac{8}{3}$或$\frac{16}{3}$.
解析
【分析】
我们可以分三个小问逐步梳理解题思路：
1. 第(1)问求t=1时PE的长度：已知E是正方形对角线AC的中点，联想到三角形中位线性质，取AB中点M，连接EM，可得EM是△ABC的中位线，EM垂直AB且长度为4，此时AP=1，可算出PM的长度，直接用勾股定理就能求出PE的长。
2. 第(2)问点F落在线段AB上：利用平行四边形对边平行且相等的性质，PF//EQ，F在AB上说明PF在AB边上，因此EQ必然垂直于BC，由此可得Q是BC中点，先算出此时的运动时间t，再结合AP、PF的长度，即可求出BF的长。
3. 第(3)问平行四边形PEQF为菱形：菱形的判定条件是邻边相等，即PE=EQ。由于动点Q先沿BC运动、后沿CD运动，不同时间段Q的位置不同，因此需要分不同的t区间分类讨论，分别用勾股定理表示出PE²和EQ²，令二者相等列方程，舍去不符合对应区间的解，最终得到符合要求的t值。
【解析】
(1) 取AB的中点M，连接EM。
∵ 四边形ABCD是正方形，AD=8，
∴ AB=BC=CD=AD=8，∠B=90°。
又
∵ E是AC的中点，
∴ EM是△ABC的中位线，
∴ $AM=\frac{1}{2} AB=4$，$EM=\frac{1}{2} BC=4$，$EM// BC$，
∴ ∠AME=∠B=90°。
当t=1时，AP=1×1=1，
∴ PM=AM - AP = 4 - 1 = 3，
在Rt△PME中，由勾股定理得：
$PE=\sqrt{PM^2 + EM^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$。
(2)
∵ 四边形PEQF是平行四边形，
∴ PF=EQ，$PF// EQ$。
当点F恰好落在线段AB上时，PF在AB边上，即PF⊥BC，
∴ EQ⊥BC，
∴ EQ是△ABC的中位线，
∴ Q为BC的中点，$BQ=\frac{1}{2} BC=4$，$EQ=\frac{1}{2} AB=4$，
∴ PF=EQ=4。
∵ Q的速度为每秒2个单位，
∴ 运动时间$t=4÷2=2$，
此时AP=1×2=2，
∴ BF=AB - AP - PF = 8 - 2 - 4 = 2。
(3) 若□PEQF为菱形，则满足PE=EQ，分区间讨论：
① 当$0＜ t≤2$时，过E作$EM⊥AB$于M，$EN⊥BC$于N，
易知EM=4，EN=4，PM=4 - t，QN=4 - 2t，
由$PE^2=EQ^2$得：$(4 - t)^2 + 4^2=(4 - 2t)^2 + 4^2$，
解得$t_1=0$（不符合$0＜t≤2$，舍去），$t_2=\frac{8}{3}$（不在该区间，舍去），此区间无符合条件的解。
② 当$2＜ t≤4$时，同理可得PM=4 - t，QN=2t - 4，
列方程：$(4 - t)^2 + 4^2=(2t - 4)^2 + 4^2$，
解得$t_1=0$（舍去），$t_2=\frac{8}{3}$，符合$2＜t≤4$的条件。
③ 当$4＜ t≤6$时，过E作$EM⊥AB$于M，$EN⊥CD$于N，
易知EM=4，EN=4，PM=t - 4，QN=12 - 2t，
列方程：$(t - 4)^2 + 4^2=(12 - 2t)^2 + 4^2$，
解得$t_1=\frac{16}{3}$，$t_2=8$（不符合$4＜t≤6$，舍去），$t=\frac{16}{3}$符合该区间条件。
④ 当$6＜ t＜8$时，同理可得PM=t - 4，QN=2t - 12，
列方程：$(t - 4)^2 + 4^2=(2t - 12)^2 + 4^2$，
解得$t_1=\frac{16}{3}$（不在该区间，舍去），$t_2=8$（不符合$0＜t＜8$，舍去），此区间无符合条件的解。
综上，符合条件的t值为$\frac{8}{3}$和$\frac{16}{3}$。
【答案】
(1) PE的长为5；(2) BF的长为2；(3) t的值为$\frac{8}{3}$或$\frac{16}{3}$
【知识点】
正方形性质，中位线定理，菱形判定
【点评】
本题是正方形背景下的动点综合题，融合了平行四边形、菱形的性质，重点考察分类讨论思想与几何性质的综合应用。解题的关键是根据动点Q的不同运动阶段划分区间，利用勾股定理建立方程求解，学生容易出现的错误是遗漏分类讨论，或者求解方程后未验证解是否符合对应时间区间的范围。
【难度系数】
0.3
我们可以分三个小问逐步梳理解题思路：
1. 第(1)问求t=1时PE的长度：已知E是正方形对角线AC的中点，联想到三角形中位线性质，取AB中点M，连接EM，可得EM是△ABC的中位线，EM垂直AB且长度为4，此时AP=1，可算出PM的长度，直接用勾股定理就能求出PE的长。
2. 第(2)问点F落在线段AB上：利用平行四边形对边平行且相等的性质，PF//EQ，F在AB上说明PF在AB边上，因此EQ必然垂直于BC，由此可得Q是BC中点，先算出此时的运动时间t，再结合AP、PF的长度，即可求出BF的长。
3. 第(3)问平行四边形PEQF为菱形：菱形的判定条件是邻边相等，即PE=EQ。由于动点Q先沿BC运动、后沿CD运动，不同时间段Q的位置不同，因此需要分不同的t区间分类讨论，分别用勾股定理表示出PE²和EQ²，令二者相等列方程，舍去不符合对应区间的解，最终得到符合要求的t值。
【解析】
(1) 取AB的中点M，连接EM。
∵ 四边形ABCD是正方形，AD=8，
∴ AB=BC=CD=AD=8，∠B=90°。
又
∵ E是AC的中点，
∴ EM是△ABC的中位线，
∴ $AM=\frac{1}{2} AB=4$，$EM=\frac{1}{2} BC=4$，$EM// BC$，
∴ ∠AME=∠B=90°。
当t=1时，AP=1×1=1，
∴ PM=AM - AP = 4 - 1 = 3，
在Rt△PME中，由勾股定理得：
$PE=\sqrt{PM^2 + EM^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=5$。
(2)
∵ 四边形PEQF是平行四边形，
∴ PF=EQ，$PF// EQ$。
当点F恰好落在线段AB上时，PF在AB边上，即PF⊥BC，
∴ EQ⊥BC，
∴ EQ是△ABC的中位线，
∴ Q为BC的中点，$BQ=\frac{1}{2} BC=4$，$EQ=\frac{1}{2} AB=4$，
∴ PF=EQ=4。
∵ Q的速度为每秒2个单位，
∴ 运动时间$t=4÷2=2$，
此时AP=1×2=2，
∴ BF=AB - AP - PF = 8 - 2 - 4 = 2。
(3) 若□PEQF为菱形，则满足PE=EQ，分区间讨论：
① 当$0＜ t≤2$时，过E作$EM⊥AB$于M，$EN⊥BC$于N，
易知EM=4，EN=4，PM=4 - t，QN=4 - 2t，
由$PE^2=EQ^2$得：$(4 - t)^2 + 4^2=(4 - 2t)^2 + 4^2$，
解得$t_1=0$（不符合$0＜t≤2$，舍去），$t_2=\frac{8}{3}$（不在该区间，舍去），此区间无符合条件的解。
② 当$2＜ t≤4$时，同理可得PM=4 - t，QN=2t - 4，
列方程：$(4 - t)^2 + 4^2=(2t - 4)^2 + 4^2$，
解得$t_1=0$（舍去），$t_2=\frac{8}{3}$，符合$2＜t≤4$的条件。
③ 当$4＜ t≤6$时，过E作$EM⊥AB$于M，$EN⊥CD$于N，
易知EM=4，EN=4，PM=t - 4，QN=12 - 2t，
列方程：$(t - 4)^2 + 4^2=(12 - 2t)^2 + 4^2$，
解得$t_1=\frac{16}{3}$，$t_2=8$（不符合$4＜t≤6$，舍去），$t=\frac{16}{3}$符合该区间条件。
④ 当$6＜ t＜8$时，同理可得PM=t - 4，QN=2t - 12，
列方程：$(t - 4)^2 + 4^2=(2t - 12)^2 + 4^2$，
解得$t_1=\frac{16}{3}$（不在该区间，舍去），$t_2=8$（不符合$0＜t＜8$，舍去），此区间无符合条件的解。
综上，符合条件的t值为$\frac{8}{3}$和$\frac{16}{3}$。
【答案】
(1) PE的长为5；(2) BF的长为2；(3) t的值为$\frac{8}{3}$或$\frac{16}{3}$
【知识点】
正方形性质，中位线定理，菱形判定
【点评】
本题是正方形背景下的动点综合题，融合了平行四边形、菱形的性质，重点考察分类讨论思想与几何性质的综合应用。解题的关键是根据动点Q的不同运动阶段划分区间，利用勾股定理建立方程求解，学生容易出现的错误是遗漏分类讨论，或者求解方程后未验证解是否符合对应时间区间的范围。
【难度系数】
0.3
