8. (2025·山东)取直线 $y=-x$ 上一点 $A_1(x_1,y_1)$. ①过点 $A_1$ 作 $x$ 轴的垂线, 交 $y=\dfrac{1}{x}$ 于点 $A_2(x_2,y_2)$; ②过点 $A_2$ 作 $y$ 轴的垂线, 交 $y=-x$ 于点 $A_3(x_3,y_3)$; …; 如此循环进行下去. 按照上面的操作, 若点 $A_1$ 的坐标为 $(1,-1)$, 则点 $A_{2\ 025}$ 的坐标是.

8. $(1,-1)$ 解析:$\because$点$A_1(1,-1)$,$\therefore$点$A_2$的横坐标为$x_2=1$,把$x=1$代入$y=\dfrac{1}{x}$,得$y=\dfrac{1}{1}=1$,$\therefore A_2(1,1)$;$\because$点$A_3$的纵坐标为$y_3=1$,把$y=1$代入$y=-x$,得$1=-x$,$\therefore x=-1$,$\therefore A_3(-1,1)$;$\therefore$点$A_4$的横坐标为$x_4=-1$,把$x=-1$代入$y=\dfrac{1}{x}$,得$y=\dfrac{1}{-1}=-1$,$\therefore A_4(-1,-1)$;$\therefore$点$A_5$的纵坐标为$y_5=-1$,把$y=-1$代入$y=-x$,得$-1=-x$,$\therefore x=1$,$\therefore A_5(1,-1)$;……$\therefore$观察可得,每4个点为一个循环周期.$\because2025÷4=506······1$,$\therefore$点$A_{2025}$的坐标与点$A_1$相同,$\therefore$点$A_{2025}$的坐标为$(1,-1)$.

【分析】
要解决这个问题，需按照题目给定的操作步骤，依次求出前几个点的坐标，观察坐标变化规律找到循环周期，再通过计算2025除以周期的余数，确定点$A_{2025}$对应的坐标。核心是先递推前几个点，总结循环规律，再利用周期计算目标点。
【解析】
已知点$A_1(1,-1)$，按操作步骤计算各点坐标：
1. 操作①：过$A_1$作$x$轴垂线，交$y=\frac{1}{x}$于$A_2$，$A_2$横坐标与$A_1$相同，即$x_2=1$，代入$y=\frac{1}{x}$得$y_2=1$，故$A_2(1,1)$；
2. 操作②：过$A_2$作$y$轴垂线，交$y=-x$于$A_3$，$A_3$纵坐标与$A_2$相同，即$y_3=1$，代入$y=-x$得$x=-1$，故$A_3(-1,1)$；
3. 重复操作①：过$A_3$作$x$轴垂线，交$y=\frac{1}{x}$于$A_4$，$x_4=-1$，代入得$y_4=-1$，故$A_4(-1,-1)$；
4. 重复操作②：过$A_4$作$y$轴垂线，交$y=-x$于$A_5$，$y_5=-1$，代入得$x=1$，故$A_5(1,-1)$；
由此可知，每4个点为一个循环周期。计算$2025÷4=506······1$，余数为1，说明$A_{2025}$的坐标与$A_1$相同。
【答案】
$(1,-1)$
【知识点】
反比例函数、一次函数、找规律
【点评】
本题通过递推前几个点的坐标发现循环规律，利用周期解决问题，关键是准确找到循环周期，属于规律探究类基础题。
【难度系数】
0.5

9. (2025·常州) 如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $y=kx+b$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}$ 的图象相交于点 $A(1,n)$、$B(-3,-2)$,且与 $y$ 轴交于点 $C$.
(1)求一次函数、反比例函数的表达式.
(2)连接 $OA$,求 $△ OAC$ 的面积.

9. (1)将$B(-3,-2)$代入$y=\dfrac{m}{x}$,得$-2=\dfrac{m}{-3}$,解得$m=6$,$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{6}{x}$.将$A(1,n)$代入$y=\dfrac{6}{x}$,得$n=6$,$\therefore A(1,6)$.根据题意,得$\begin{cases}6=k+b,\\-2=-3k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=4,\end{cases}$$\therefore$一次函数的表达式为$y=2x+4$.
(2)当$x=0$时,$y=2x+4=4$,$\therefore C(0,4)$,$\therefore OC=4$,$\therefore S_{△ OAC}=\dfrac{1}{2}OC·|x_A|=\dfrac{1}{2}×4×1=2$.

【分析】
要解决本题，先利用反比例函数上一点求反比例函数表达式，再结合另一交点求一次函数表达式；求三角形面积时，先确定一次函数与y轴交点，再用坐标轴上的点的性质计算面积。
步骤1：求反比例函数表达式，只需将已知点B代入反比例函数，求出m；
步骤2：利用A在反比例函数上，求出A点坐标；
步骤3：将A、B代入一次函数，解方程组得一次函数表达式；
步骤4：求一次函数与y轴交点C，得到OC长度，再以OC为底、A点横坐标绝对值为高，计算三角形面积。
【解析】
(1) 求反比例函数表达式：
把$B(-3,-2)$代入$y=\dfrac{m}{x}$，得$-2=\dfrac{m}{-3}$，解得$m=6$，
∴反比例函数的表达式为$y=\dfrac{6}{x}$。
∵点$A(1,n)$在$y=\dfrac{6}{x}$上，
∴$n=\dfrac{6}{1}=6$，即$A(1,6)$。
将$A(1,6)$、$B(-3,-2)$代入$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases} k + b = 6 \\ -3k + b = -2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=2 \\ b=4 \end{cases}$，
∴一次函数的表达式为$y=2x+4$。
(2) 求$△ OAC$的面积：
令一次函数$y=2x+4$中$x=0$，得$y=4$，即$C(0,4)$，
∴$OC=4$，$A$点横坐标为$1$，
∴$S_{△ OAC}=\dfrac{1}{2} × OC × |x_A|=\dfrac{1}{2} × 4 × 1=2$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$y=\dfrac{6}{x}$，一次函数表达式为$y=2x+4$；(2) $△ OAC$的面积为$2$。
【知识点】
反比例函数表达式、一次函数表达式、三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的基础综合题，考查函数表达式求解和三角形面积计算，思路清晰、步骤明确，属于常规题型，适合学生巩固基础。
【难度系数】
0.6

10. (2025·乐山) 如图,一次函数 $y=x-1$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0)$ 的图象交于点$A(m,1)$、$B(-1,n)$.
(1)求 $m$、$n$ 的值和反比例函数的表达式.
(2)若在 $x$ 轴上存在点 $P(a,0)$,使得 $△ ABP$ 的面积为 6,求 $a$ 的值.

10. (1)$\because$点$A(m,1)$、$B(-1,n)$在一次函数$y=x-1$的图象上,$\therefore1=m-1$,$n=-1-1$,解得$m=2$,$n=-2$,$\therefore A(2,1)$、$B(-1,-2)$,$\therefore k=2$,$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{2}{x}$.
(2)如图,由一次函数$y=x-1$可知,$C(1,0)$,则$PC=|1-a|$,$\therefore S_{△ PAB}=S_{△ PAC}+S_{△ PBC}=\dfrac{1}{2}×1×|1-a|+\dfrac{1}{2}×2×|1-a|=6$,解得$a=-3$或$5$.

【分析】
首先，第(1)问利用“函数图象上的点坐标满足函数解析式”，将A、B两点代入一次函数可求出m、n，再代入反比例函数求k，得到反比例函数表达式；第(2)问先求一次函数与x轴交点C，将△ABP的面积拆分为两个同底三角形（△PAC和△PBC）的面积和，结合面积为6建立含绝对值的方程，求解a时需考虑两种情况，避免漏解。
【解析】
(1)
∵点A(m,1)、B(-1,n)在一次函数y=x-1的图象上，
∴将A(m,1)代入y=x-1得：1 = m - 1，解得m=2；
将B(-1,n)代入y=x-1得：n = -1 -1 = -2，
∴A(2,1)，B(-1,-2)。
∵A在反比例函数y=k/x(k≠0)上，
∴k=2×1=2，
∴反比例函数表达式为y=2/x。
(2) 对一次函数y=x-1，令y=0，得x=1，即交点C(1,0)。
∵P(a,0)在x轴上，
∴PC=|1 - a|。
△ABP的面积=△PAC面积+△PBC面积，
即S△ABP = (1/2)×PC×|y_A| + (1/2)×PC×|y_B|
= (1/2)×|1 - a|×1 + (1/2)×|1 - a|×2
= (3/2)|1 - a|。
已知S△ABP=6，
∴(3/2)|1 - a|=6，
解得|1 - a|=4，即1 - a=4或1 - a=-4，
∴a=-3或a=5。
【答案】
(1) m=2，n=-2，反比例函数表达式为y=2/x；(2) a的值为-3或5。
【知识点】
一次函数、反比例函数、三角形面积
【点评】
本题是函数综合题，考查函数点的坐标特征、反比例函数表达式求解及三角形面积计算，核心是拆分△ABP的面积为两个同底三角形的面积和，需注意绝对值方程的多解情况，避免漏解。
【难度系数】
0.5