1. (2025·盐城)博物馆到小明家的路程为 8 km,小明回家所需时间 t(单位:h)随平均速度v(单位:km/h)的变化而变化,则 t 与 v 的函数关系式为（）

A.$t=8v$
B.$t=\dfrac{1}{8}v$
C.$t=\dfrac{8}{v}$
D.$t=8v^2$

1. C

【分析】
要确定t与v的函数关系式，需利用行程问题中路程、速度、时间的核心关系：路程=速度×时间。已知博物馆到小明家的固定路程为8km，将其代入公式变形即可得到t关于v的表达式，再对比选项选出正确答案。
【解析】
根据行程问题基本公式：路程=速度×时间，可得 $ s = v · t $。
已知路程 $ s = 8 \, \mathrm{km} $，代入公式得：$ 8 = v · t $。
由于速度v不能为0，将式子两边同时除以v，变形得：$ t = \frac{8}{v} $。
对比选项，符合该表达式的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数应用、行程问题
【点评】
本题是行程问题与反比例函数结合的基础题，侧重考查对基本公式的运用和表达式推导，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】
0.9

2. (2025·镇江) 已知点 $A(-1,y_1)$、$B(a,y_2)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{1}{x}$ 的图象上. 若 $y_2＞y_1$, 则 $a$ 的取值范围是（）

A.$a＜-1$ 或 $a＞0$
B.$-1＜a＜0$
C.$a＞0$
D.$a＜-1$

2. A 解析:由题意可知,$y_1=\dfrac{1}{-1}=-1$,$y_2=\dfrac{1}{a}$.$\because y_2＞y_1$,$\therefore\dfrac{1}{a}＞-1$,$\therefore$当$a＞0$时,解得$a＞-1$,$\therefore a＞0$;当$a＜0$时,解得$a＜-1$.综上所述,$a$的取值范围是$a＜-1$或$a＞0$.

【分析】
要解决这个问题，首先利用反比例函数上点的坐标特征求出$y_1$的值，再根据$y_2＞y_1$列出关于$a$的不等式。由于$a$在分式$\frac{1}{a}$的分母中，需分$a＞0$和$a＜0$两种情况讨论，因为不等式两边乘负数时不等号方向会改变，最后合并两种情况的结果即可得到$a$的取值范围。
【解析】
解：因为点$A(-1,y_1)$在反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象上，将$x=-1$代入函数得：
$y_1=\frac{1}{-1}=-1$；
又因为点$B(a,y_2)$在该反比例函数图象上，所以$y_2=\frac{1}{a}$。
已知$y_2＞y_1$，即$\frac{1}{a}＞-1$，分情况讨论：
1. 当$a＞0$时，不等式两边乘正数$a$，不等号方向不变，得$1＞-a$，解得$a＞-1$，结合$a＞0$，得$a＞0$；
2. 当$a＜0$时，不等式两边乘负数$a$，不等号方向改变，得$1＜-a$，解得$a＜-1$，结合$a＜0$，得$a＜-1$。
综上，$a$的取值范围是$a＜-1$或$a＞0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，分式不等式的解法
【点评】
本题考查反比例函数上点的坐标特征及分式不等式的求解，核心是运用分类讨论思想处理分式不等式，需注意分母符号对不等式变形的影响，避免因忽略不等号方向改变而出错，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5

3. (2025·连云港)如图,正比例函数$y_{1}=k_{1}x(k_{1}＜0)$的图象与反比例函数$y_{2}=\dfrac{k_{2}}{x}(k_{2}＜0)$的图象交于A、B两点,点A的横坐标为-1.当$y_{1}＜y_{2}$时,x的取值范围是（）

A.$x＜-1$或$x＞1$
B.$x＜-1$或$0＜x＜1$
C.$-1＜x＜0$或$x＞1$
D.$-1＜x＜0$或$0＜x＜1$

3. C 解析:由函数图象的对称性可知,点B的横坐标为1,$\therefore$当$y_1＜y_2$时,$x$的取值范围为$-1＜x＜0$或$x＞1$.

【分析】首先，正比例函数和反比例函数的图象都关于原点对称，因此它们的交点A、B关于原点对称，已知点A的横坐标为-1，可推出点B的横坐标为1。接下来，要确定$y_1＜y_2$时x的取值范围，只需观察图象中，正比例函数图象在反比例函数图象下方的部分对应的x区间，结合函数图象的分布分区间分析即可得出结果。
【解析】因为正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称，所以它们的交点A、B关于原点对称。已知点A的横坐标为-1，因此点B的横坐标为1。观察函数图象：当$-1＜x＜0$时，正比例函数$y_1$的图象在反比例函数$y_2$的图象下方，即$y_1＜y_2$；当$x＞1$时，正比例函数$y_1$的图象也在反比例函数$y_2$的图象下方，即$y_1＜y_2$；其余区间（$x＜-1$、$0＜x＜1$）时，$y_1＞y_2$。因此，当$y_1＜y_2$时，x的取值范围是$-1＜x＜0$或$x＞1$。
【答案】C
【知识点】反比例函数对称性、函数图象比较大小
【点评】本题考查利用函数图象的对称性和数形结合思想求解不等式，核心是利用函数对称性确定交点B的坐标，再通过观察图象位置关系得到解集，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.5

4. (2025·无锡) 如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,$\mathrm{Rt}△ OBA$ 的直角边 OB 在 x 轴上,AO、AB 分别与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$ 的图象相交于点 C、D,且 C 为 AO 的中点,过点 C 作 x 轴的垂线,垂足为 E,连接 DE. 若 $△ BDE$ 的面积为 $\dfrac{5}{4}$,则 k 的值为 （）

A.$\dfrac{5}{4}$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.5
D.10

4. C 解析:设点$C$的坐标为$(a,\dfrac{k}{a})$.$\because C$是$AO$的中点,且$CE⊥ x$轴,$AB⊥ x$轴,$\therefore CE$是$△ AOB$的中位线,$\therefore OE=EB=a$,$\therefore OB=OE+EB=2a$,$CE=\dfrac{1}{2}AB$.又$\because CE=\dfrac{k}{a}$,$\therefore AB=2×\dfrac{k}{a}=\dfrac{2k}{a}$,$\therefore$点$A$的坐标为$(2a,\dfrac{2k}{a})$,将$x=2a$代入$y=\dfrac{k}{x}$,得$y=\dfrac{k}{2a}$,$\therefore$点$D$的坐标为$(2a,\dfrac{k}{2a})$.$\because EB=a$,$BD=\dfrac{k}{2a}$,$\therefore S_{△ BDE}=\dfrac{1}{2}EB· BD$,即$\dfrac{5}{4}=\dfrac{1}{2}× a×\dfrac{k}{2a}$,解得$k=5$.

【分析】
要解决本题，需先设出反比例函数上点C的坐标，利用“C是AO中点且CE、AB均垂直x轴”的条件，得出CE是△AOB的中位线，进而推导各点坐标，再结合△BDE的面积公式建立关于k的方程，最终求解k的值。
【解析】
设点$C$的坐标为$(a,\dfrac{k}{a})$。
因为$C$是$AO$的中点，且$CE⊥ x$轴，$AB⊥ x$轴，所以$CE$是$△ AOB$的中位线，根据中位线性质可得：$OE=EB=a$，$CE=\dfrac{1}{2}AB$。
由此可得$OB=OE+EB=2a$，又因为$CE=\dfrac{k}{a}$，所以$AB=2×\dfrac{k}{a}=\dfrac{2k}{a}$，因此点$A$的坐标为$(2a,\dfrac{2k}{a})$。
将$x=2a$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$y=\dfrac{k}{2a}$，即点$D$的坐标为$(2a,\dfrac{k}{2a})$，故$BD=\dfrac{k}{2a}$。
已知$△ BDE$的面积为$\dfrac{5}{4}$，根据三角形面积公式$S=\dfrac{1}{2}×底×高$，这里底为$EB=a$，高为$BD=\dfrac{k}{2a}$，则：
$\dfrac{5}{4}=\dfrac{1}{2}× a×\dfrac{k}{2a}$，化简得$\dfrac{5}{4}=\dfrac{k}{4}$，解得$k=5$。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数、三角形中位线、坐标与图形性质
【点评】
本题将反比例函数与三角形中位线知识结合，通过坐标与几何性质的关联推导求解，需要学生具备数形结合的思维，综合性适中。
【难度系数】
0.5

5. (2025·南京)已知反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$，则当$1 ≤ x ≤ 3$时，$\dfrac{y}{x}$的最小值是.

5. $\dfrac{2}{3}$ 解析:将$y=\dfrac{6}{x}$代入$\dfrac{y}{x}$,得$\dfrac{y}{x}=\dfrac{6}{x^2}$.$\because1≤ x≤3$,当$x$增大时,$x^2$也随之增大,则$\dfrac{6}{x^2}$随之减小,$\therefore\dfrac{6}{x^2}$在$x=3$时取得最小值,最小值为$\dfrac{6}{3^2}=\dfrac{2}{3}$.

【分析】
要解决这个问题，首先将反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$代入$\dfrac{y}{x}$，把目标式转化为关于$x$的表达式；再根据$x$的取值范围，分析该表达式的单调性，找到最小值对应的$x$值，进而计算出结果。
【解析】
1. 代入转化：将$y=\dfrac{6}{x}$代入$\dfrac{y}{x}$，可得$\dfrac{y}{x}=\dfrac{\dfrac{6}{x}}{x}=\dfrac{6}{x^2}$；
2. 分析单调性：已知$1≤ x≤3$，当$x$在该范围内增大时，$x^2$随之增大，因此$\dfrac{6}{x^2}$会随之减小，即$\dfrac{6}{x^2}$在$1≤ x≤3$上单调递减；
3. 计算最小值：由于表达式单调递减，当$x$取最大值$3$时，$\dfrac{6}{x^2}$取得最小值，代入得$\dfrac{6}{3^2}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
反比例函数的性质、代数式的变形
【点评】
本题考查反比例函数的性质及代数式的转化，核心是通过代入将目标式转化为关于$x$的函数，结合自变量范围分析单调性求最值，属于基础题型，需掌握基本的函数变化规律。
【难度系数】
0.7

6. (2025·徐州)若点$A(6,y_1)$、$B(5,y_2)$都在函数$y=\dfrac{-2}{x}$的图象上，则$y_1\_\_\_\_\_\_y_2$。(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)

6. $＞$ 解析:$\because$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{-2}{x}$,$\therefore$反比例函数的图象位于第二、四象限,且在每个象限内,$y$随$x$的增大而增大.又$\because$点$A(6,y_1)$、$B(5,y_2)$都在该反比例函数的图象上,且$6＞5＞0$,$\therefore y_1＞y_2$.

【分析】
要比较反比例函数上两点的函数值大小，需先分析反比例函数的性质：首先确定函数的k值，判断图象所在象限；再明确同一象限内y随x的变化规律；最后根据两点的横坐标判断所在象限，结合增减性比较y值。具体步骤：1. 由函数$y=\dfrac{-2}{x}$得$k=-2$，确定图象在第二、四象限；2. 点A、B的横坐标6和5均为正数，故两点都在第四象限；3. 第四象限内y随x增大而增大，因$6＞5$，所以$y_1＞y_2$。
【解析】
∵反比例函数为$y=\dfrac{-2}{x}$，其中$k=-2＜0$，
∴该函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
又
∵点$A(6,y_1)$、$B(5,y_2)$的横坐标$6＞5＞0$，
∴两点都在第四象限，
根据第四象限内$y$随$x$的增大而增大，且$6＞5$，
可得$y_1＞y_2$。
【答案】
＞
【知识点】
反比例函数的性质
【点评】
本题考查反比例函数的基本性质，核心是利用同一象限内的增减性比较函数值，属于基础题型，需熟练掌握反比例函数k值与图象、增减性的关系。
【难度系数】
0.4

7. (2025·连云港)某气球内充满了一定质量的气体,在温度不变的条件下,气球内气体的压强$p$(单位:$\mathrm{Pa}$)是气球体积$V$(单位:$\mathrm{m}^{3}$)的反比例函数.当$V=1.2\ \mathrm{m}^{3}$时,$p=20\ 000\ \mathrm{Pa}$,则当$V=1.5\ \mathrm{m}^{3}$时,$p=\_\_\_\_\_\_\mathrm{Pa}$.

7. 16000 解析:设$p$与$V$之间的函数关系式为$p=\dfrac{k}{V}$($k$为常数,且$k≠0$).将$V=1.2$,$p=20000$代入$p=\dfrac{k}{V}$,得$20000=\dfrac{k}{1.2}$,解得$k=24000$,$\therefore p$与$V$之间的函数关系式为$p=\dfrac{24000}{V}$.当$V=1.5$时,$p=\dfrac{24000}{1.5}=16000$,$\therefore$当$V=1.5\ \mathrm{m^3}$时,$p=16000\ \mathrm{Pa}$.

【分析】
首先根据题目中“压强p是体积V的反比例函数”，设出反比例函数的一般形式；再利用已知的V和p的值，通过待定系数法求出常数k，确定函数解析式；最后将目标体积V代入解析式，计算对应的压强p即可。
【解析】
设压强$ p $与体积$ V $之间的反比例函数关系式为$ p=\frac{k}{V} $（$ k $为常数，且$ k≠0 $）。
将$ V=1.2 $，$ p=20000 $代入关系式，得：
$ 20000=\frac{k}{1.2} $
解得：$ k=20000×1.2=24000 $
因此，$ p $与$ V $的函数关系式为$ p=\frac{24000}{V} $。
当$ V=1.5 $时，代入得：
$ p=\frac{24000}{1.5}=16000 $
【答案】
16000
【知识点】
反比例函数应用、待定系数法
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，核心是利用待定系数法确定函数解析式后求值，属于常规基础题，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.7