11. (2025·苏州) 如图,一次函数 $y=2x+4$ 的图象与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $A$、$B$ 两点,与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0,x＞0)$ 的图象交于点 $C$,过点 $B$ 作 $x$ 轴的平行线与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(k ≠ 0,x＞0)$ 的图象交于点 $D$,连接 $CD$.
(1)求 $A$、$B$ 两点的坐标.
(2)若 $△ BCD$ 是以 $BD$ 为底边的等腰三角形,求 $k$ 的值.

11. (1)在$y=2x+4$中,令$y=0$,得$2x+4=0$,解得$x=-2$,$\therefore$点$A$的坐标为$(-2,0)$;令$x=0$,得$y=4$,$\therefore$点$B$的坐标为$(0,4)$.
(2)如图,过点$C$作$CE⊥ BD$,垂足为$E$.$\because△ BCD$是以$BD$为底边的等腰三角形,$\therefore CB=CD$.$\because CE⊥ BD$,$\therefore BE=DE$.在$y=\dfrac{k}{x}$中,令$y=4$,得$x=\dfrac{k}{4}$,$\therefore D(\dfrac{k}{4},4)$,$\therefore BE=DE=\dfrac{k}{8}$,在$y=\dfrac{k}{x}$中,令$x=\dfrac{k}{8}$,得$y=8$,$\therefore C(\dfrac{k}{8},8)$.$\because$点$C$在一次函数$y=2x+4$的图象上,$\therefore8=2×\dfrac{k}{8}+4$,解得$k=16$.

【分析】
第(1)问，求一次函数与坐标轴交点，分别令$y=0$、$x=0$，解一元一次方程即可得到A、B两点坐标；第(2)问，利用等腰三角形“三线合一”的性质，过C作$CE⊥BD$得$BE=DE$，结合反比例函数表达式表示出D、C两点坐标，再将C点坐标代入一次函数解析式，解方程求出$k$的值。
【解析】
(1) 在一次函数$y=2x+4$中，
令$y=0$，则$2x+4=0$，解得$x=-2$，故点$A$的坐标为$(-2,0)$；
令$x=0$，则$y=4$，故点$B$的坐标为$(0,4)$。
(2) 过点$C$作$CE⊥BD$，垂足为$E$。
因为$△ BCD$是以$BD$为底边的等腰三角形，所以$CB=CD$，
又$CE⊥BD$，根据等腰三角形三线合一，得$BE=DE$。
因为$BD // x$轴，点$B$坐标为$(0,4)$，所以点$D$的纵坐标为$4$，
将$y=4$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得$x=\dfrac{k}{4}$，故$D( \dfrac{k}{4},4 )$，
因此$BD=\dfrac{k}{4}$，则$BE=DE=\dfrac{k}{8}$，所以点$C$的横坐标为$\dfrac{k}{8}$，
将$x=\dfrac{k}{8}$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得$y=\dfrac{k}{\dfrac{k}{8}}=8$，故$C( \dfrac{k}{8},8 )$。
因为点$C$在一次函数$y=2x+4$的图象上，代入得：
$8=2×\dfrac{k}{8}+4$，解得$k=16$。
【答案】
11. (1) $ A(-2,0) $，$ B(0,4) $；(2) $ k=16 $。
【知识点】
一次函数与坐标轴交点，反比例函数性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题综合考查一次函数、反比例函数与等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形三线合一确定点的坐标，再结合函数解析式建立方程求解，属于常规综合题，需掌握函数上点的坐标满足函数关系式的特点。
【难度系数】
0.5

12. (2025·兰州) 如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $y=-\dfrac{1}{2}x+b$ 与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象相交于点 $A(m,3)$,与 $x$ 轴相交于点 $B(8,0)$,与 $y$ 轴相交于点 $C$.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式.
(2)$P$ 为 $y$ 轴负半轴上一点,连接 $AP$,若 $△ ACP$ 的面积为 6,求点 $P$ 的坐标.

12. (1)由题意可得,$-\dfrac{1}{2}×8+b=0$,解得$b=4$,$\therefore$一次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+4$.将点$A(m,3)$代入$y=-\dfrac{1}{2}x+4$,得$3=-\dfrac{1}{2}× m+4$,解得$m=2$,$\therefore A(2,3)$,$\therefore k=2×3=6$.$\therefore$反比例函数的表达式为$y=\dfrac{6}{x}$.
(2)由一次函数的表达式可知,$C(0,4)$,$B(8,0)$,$A(2,3)$.设点$P(0,t)$,$\therefore PC=4-t$,$\therefore S_{△ PAC}=\dfrac{1}{2}×(4-t)×2=6$,解得$t=-2$,$\therefore P(0,-2)$.

【分析】
要解决本题，首先利用一次函数过点B的坐标求出一次函数解析式，再通过点A在一次函数上求出A点坐标，进而得到反比例函数解析式；对于第二问，先确定y轴上点C的坐标，再结合P点在y轴负半轴，利用三角形面积公式建立方程求解P点坐标。
【解析】
(1) 已知一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+b$过点$B(8,0)$，将$B(8,0)$代入一次函数解析式得：
$-\dfrac{1}{2}×8 + b = 0$，解得$b=4$，
因此一次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x + 4$。
因为点$A(m,3)$在一次函数图象上，将$A(m,3)$代入$y=-\dfrac{1}{2}x + 4$得：
$3 = -\dfrac{1}{2}m + 4$，解得$m=2$，即$A(2,3)$。
又因为点$A$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象上，将$A(2,3)$代入得：
$k=2×3=6$，
所以反比例函数的表达式为$y=\dfrac{6}{x}$。
(2) 对于一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x + 4$，令$x=0$，得$y=4$，即点$C$的坐标为$(0,4)$。
设点$P$的坐标为$(0,t)$，因为$P$在$y$轴负半轴，所以$t＜0$，则线段$PC$的长度为$4 - t$。
$△ ACP$中，以$PC$为底，高为点$A$的横坐标$2$，根据三角形面积公式$S=\dfrac{1}{2}×底×高$，已知$S_{△ ACP}=6$，则：
$\dfrac{1}{2}×(4 - t)×2 = 6$，化简得$4 - t = 6$，解得$t=-2$，
所以点$P$的坐标为$(0,-2)$。
【答案】
(1) 一次函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x + 4$，反比例函数表达式为$y=\dfrac{6}{x}$；
(2) 点$P$的坐标为$(0,-2)$。
【知识点】
一次函数表达式、反比例函数表达式、三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，主要考查函数解析式的求法及坐标系中三角形面积的计算，解题关键是利用函数图象上点的坐标满足解析式，以及坐标系中线段长度、三角形高的确定，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.6