13. 对于实数 $a,b$, 我们定义符号 $\max \{a,b\}$ 的意义为当 $a ≥ b$ 时, $\max \{a,b\} = a$; 当 $a ＜ b$ 时, $\max \{a,b\} = b$. 如 $\max \{4,-2\} = 4, \max \{3, 3\} = 3$. 若关于 $x$ 的函数为 $y = \max \{x+3, -x+1\}$, 则该函数的最小值是.

13. 2 解析:由题意得 $\begin{cases} y=x+3,\\ y=-x+1, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=-1,\\ y=2. \end{cases}$ 当 $x＜-1$ 时,$y=\max|x+3,-x+1|=-x+1＞2$; 当 $x≥-1$ 时, $y=\max|x+3$,$-x+1|=x+3≥2,\therefore$ 函数 $y=\max|x+3,-x+1|$ 的最小值是 2。

14. (2025·无锡期中) 如图,在平面直角坐标系中,直线 $y=$$3x+3$ 与坐标轴分别交于 $A$,$B$ 两点,将直线 $AB$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $45°$,则旋转后的直线与 $x$ 轴的交点坐标为.

14. $(\dfrac{3}{2},0)$ 解析:设直线 $y=3x+3$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $45°$ 后为直线 $AC$:$y=kx+b(k≠0)$, 过点 $B$ 作 $BC⊥ AB$ 交$y=kx+b(k≠0)$ 于点 $C$, 过点 $C$ 作 $CD⊥ x$ 轴于 $D$, 如图,$\because$ 直线 $y=3x+3$ 与坐标轴分别交于 $A,B$ 两点, $\therefore$ 当 $x=0$时, $y=3$, 当 $y=0$ 时, $x=-1,\therefore A(0,3),B(-1,0),\therefore OA=3$,$OB=1.\because ∠ BAC=45°,∠ ABC=90°,\therefore △ ABC$ 为等腰直角三角形, $\therefore AB=BC.\because ∠ AOB=∠ ABC=90°,\therefore ∠ BAO+$$∠ ABO=∠ ABO+∠ DBC=90°,\therefore ∠ BAO=∠ DBC.\because ∠ AOB=$$∠ BDC=90°,\therefore △ ABO≌△ BCD\ (\mathrm{AAS}),\therefore OB=DC=1$,$OA=DB=3,\therefore OD=BD-OB=3-1=2,\therefore C(2,-1)$。 将 $A(0$,$3),C(2,-1)$ 代入 $y=kx+b\ (k≠0)$, 得 $\begin{cases} 3=b,\\ -1=2k+b, \end{cases}$$\therefore \begin{cases} k=-2,\\ b=3, \end{cases}\therefore y=-2x+3,\therefore$ 当 $y=0$ 时, $x=\dfrac{3}{2},\therefore$ 旋转后的直线与 $x$ 轴的交点坐标为 $(\dfrac{3}{2},0)$。

三、解答题(共58分)
15. (10 分) 如图,一次函数 $y=kx+b$ 的图象与$x$ 轴交于点 $B(2,0)$, 与 $y$ 轴交于点 $A(0,5)$,与正比例函数 $y=mx$ 的图象交于点 $C$, 且点 $C$的横坐标为$\dfrac{4}{3}$.
(1) 求一次函数 $y=kx+b$ 和正比例函数 $y=mx$的表达式；
(2) 结合图象直接写出不等式 $0＜kx+b＜mx$ 的解集.

15. (1) 将 $A(0,5),B(2,0)$ 代入 $y=kx+b$, 得 $\begin{cases} b=5,\\ 2k+b=0, \end{cases}$解得 $\begin{cases} k=-\dfrac{5}{2},\\ b=5, \end{cases}\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=-\dfrac{5}{2}x+5$。把 $x=\dfrac{4}{3}$ 代入 $y=-\dfrac{5}{2}x+5$, 解得 $y=\dfrac{5}{3}$,$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(\dfrac{4}{3},\dfrac{5}{3})$。 把 $C(\dfrac{4}{3},\dfrac{5}{3})$ 代入 $y=mx$,得 $m=\dfrac{5}{4}$,$\therefore$ 正比例函数的表达式为 $y=\dfrac{5}{4}x$。(2) $\dfrac{4}{3}＜x＜2$。

16. (10分)(2025·烟台中考)2025年6月5日是第54个“世界环境日”,为打造绿色低碳社区,某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域,升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元,购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.
(1)求甲、乙两种路灯的单价;
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏,且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的$\dfrac{1}{3}$,请通过计算设计一种购买方案,使所需费用最少.

16. (1) 设甲、乙两种路灯的单价分别为 $x,y$ 元, 根据题意得,$\begin{cases} x+2y=220,\\ 3x+140=4y, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=60,\\ y=80. \end{cases}$答:甲、乙两种路灯的单价分别为 60 元,80 元。(2) 设购买甲种路灯 $m$ 盏, 则购买乙种路灯 $(40-m)$ 盏, 根据题意得 $m≤\dfrac{1}{3}(40-m)$, 解得 $m≤10$, 设购买费用为$n$ 元, 根据题意得 $n=60m+80(40-m)=-20m+3\ 200$。$\because -20＜0,\therefore$ 当 $m$ 取得最大值时, $n$ 取得最小值, $\therefore m=10$时, $40-m=40-10=30$(盏), 即购买甲种路灯 10 盏, 购买乙种路灯 30 盏, 费用最少。答:购买甲种路灯 10 盏, 购买乙种路灯 30 盏, 费用最少。

17. (10 分) 已知一次函数 $y_1 = ax + 3a + 2$ ($a$ 为常数, $a ≠ 0$) 和 $y_2 = x + 1$.
(1) 当 $a = -1$ 时, 求两个函数图象的交点坐标；
(2) 不论 $a$ 为何值, $y_1 = ax + 3a + 2$ ($a$ 为常数, $a ≠ 0$) 的图象都经过一个定点, 这个定点坐标是；
(3) 若两个函数图象的交点在第三象限, 结合图象, 直接写出 $a$ 的取值范围.

17. (1) $\because y_1=ax+3a+2,\therefore$ 当 $a=-1$ 时, $y_1=-x-1$。 联立$\begin{cases} y_1=-x-1,\\ y_2=x+1, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=-1,\\ y=0, \end{cases}$ 故两个函数图象的交点坐标为$(-1,0)$。(2) $(-3,2)$ 解析:$\because y_1=ax+3a+2$ ($a$ 为常数, $a≠0$),$\therefore y_1-2=a(x+3),\therefore$ 当 $x=-3$ 时, $y_1$ 恒等于 $2,\therefore y_1=ax+$$3a+2$ 的图象过定点 $(-3,2)$。(3) $a＞1$ 或 $a＜-1$。 解析:画出函数图象如图, 点 $B(-1,0)$为直线 $y_2=x+1$ 与 $x$ 轴的交点, 当直线 $y_1=ax+3a+2$ 绕着点 $A(-3,2)$ 旋转, 且经过点 $B$ 时 $0=-a+3a+2$, 解得 $a=-1$。当直线 $y_1=ax+3a+2$ 与直线 $y_2=x+1$ 平行时, 此时 $a=1$,$\therefore$ 当 $a＞1$ 或 $a＜-1$ 时, 两个函数图象的交点在第三象限,故 $a$ 的取值范围是 $a＞1$ 或 $a＜-1$。