登录
1. 如图,A,B(点B在点A的左侧)是数轴上的两点,点A对应的数为8,且$AB=12$,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动,在点P的运动过程中,M,N始终为AP,BP的中点,设运动时间为$t(t＞0)\mathrm{s}$,则下列结论中正确的有（
①点B对应的数是4；
②点P到达点B时,$t=6$；
③当$BP=2$时,$t=5$；
④在点P的运动过程中,线段MN的长度不变.
A.②④
B.②③④
C.①②
D.①②③④
A
）①点B对应的数是4；
②点P到达点B时,$t=6$；
③当$BP=2$时,$t=5$；
④在点P的运动过程中,线段MN的长度不变.
A.②④
B.②③④
C.①②
D.①②③④
答案
1. A 提示:设点B对应的数是x,因为点A对应的数为8,且AB=12,所以8-x=12,所以x=-4.所以点B对应的数是-4,故①错误.由题意,得12÷2=6(s),所以点P到达点B时,t=6,故②正确.当点P在点B右边时,因为AB=12,BP=2,所以AP=AB-BP=12-2=10,所以10÷2=5(s);当点P在点B左边时,因为AB=12,BP=2,所以AP=AB+BP=12+2=14,所以14÷2=7(s).综上所述,当BP=2时,t=5或7,故③错误.因为M,N始终为AP,BP的中点,所以MP=$\dfrac{1}{2}$AP,NP=$\dfrac{1}{2}$BP.当点P在点B右边时,MN=MP+NP=$\dfrac{1}{2}$AP+$\dfrac{1}{2}$BP=$\dfrac{1}{2}$AB=$\dfrac{1}{2}$×12=6;当点P在点B左边时,MN=MP-NP=$\dfrac{1}{2}$AP-$\dfrac{1}{2}$BP=$\dfrac{1}{2}$AB=$\dfrac{1}{2}$×12=6,所以在点P的运动过程中,线段MN的长度不变,故④正确.
解析
【分析】
我们可以逐个验证四个结论的正确性，解题思路如下：
1. 先求点B对应的数：已知点A对应数值为8，AB长度为12，且B在A左侧，用A的数值减去AB的长度即可得到B的数值，判断结论①是否正确。
2. 验证结论②：点P从A运动到B的总路程就是AB的长度12，已知P的运动速度为每秒2个单位，根据时间=路程÷速度即可算出对应时间，判断结论对错。
3. 验证结论③：当BP=2时，需要分两种情况讨论：第一种是P还未到达B，在B的右侧；第二种是P已经越过B，在B的左侧，分别计算两种情况对应的t值，即可判断结论是否正确。
4. 验证结论④：利用线段中点的性质，M是AP中点、N是BP中点，无论P在AB之间还是B的左侧，MN的长度都可以转化为AB长度的一半，是固定值，即可判断线段MN长度是否不变。最后统计正确结论选出答案。
【解析】
我们逐一分析四个结论：
① 设点B对应的数为x，已知点A对应数为8，B在A左侧，AB=12，根据数轴两点距离公式可得：$8 - x = 12$，解得$x=-4$，即点B对应的数是-4，因此①错误。
② 点P从A出发向左运动到B，总路程为$AB=12$，P的运动速度为每秒2个单位长度，因此运动时间$t=12÷2=6\ \mathrm{s}$，即点P到达点B时$t=6$，②正确。
③ 当$BP=2$时，分两种情况讨论：
情况1：点P在点B右侧，此时$AP = AB - BP = 12 - 2 = 10$，对应运动时间$t=10÷2=5\ \mathrm{s}$；
情况2：点P在点B左侧，此时$AP = AB + BP = 12 + 2 =14$，对应运动时间$t=14÷2=7\ \mathrm{s}$；
因此$BP=2$时$t=5$或7，并非只有$t=5$，③错误。
④ 已知M、N始终为AP、BP的中点，因此$MP=\frac{1}{2}AP$，$NP=\frac{1}{2}BP$：
当点P在点B右侧时，$MN = MP + NP = \frac{1}{2}AP + \frac{1}{2}BP = \frac{1}{2}(AP+BP) = \frac{1}{2}AB = 6$；
当点P在点B左侧时，$MN = MP - NP = \frac{1}{2}AP - \frac{1}{2}BP = \frac{1}{2}(AP-BP) = \frac{1}{2}AB =6$；
因此无论P运动到数轴上哪个位置，MN的长度恒为6，保持不变，④正确。
综上，正确的结论是②④，对应选项A。
【答案】A
【知识点】数轴动点问题，线段中点性质，数轴两点距离
【点评】本题属于数轴动点的基础题型，核心考查动点的分情况讨论思维，易错点是忽略点P运动到点B左侧的情况，误判结论③正确；利用中点性质将MN的长度转化为定值AB的一半，可以避免设动点坐标的复杂计算，快速判断线段长度不变的结论。
【难度系数】0.6
我们可以逐个验证四个结论的正确性，解题思路如下：
1. 先求点B对应的数：已知点A对应数值为8，AB长度为12，且B在A左侧，用A的数值减去AB的长度即可得到B的数值，判断结论①是否正确。
2. 验证结论②：点P从A运动到B的总路程就是AB的长度12，已知P的运动速度为每秒2个单位，根据时间=路程÷速度即可算出对应时间，判断结论对错。
3. 验证结论③：当BP=2时，需要分两种情况讨论：第一种是P还未到达B，在B的右侧；第二种是P已经越过B，在B的左侧，分别计算两种情况对应的t值，即可判断结论是否正确。
4. 验证结论④：利用线段中点的性质，M是AP中点、N是BP中点，无论P在AB之间还是B的左侧，MN的长度都可以转化为AB长度的一半，是固定值，即可判断线段MN长度是否不变。最后统计正确结论选出答案。
【解析】
我们逐一分析四个结论：
① 设点B对应的数为x，已知点A对应数为8，B在A左侧，AB=12，根据数轴两点距离公式可得：$8 - x = 12$，解得$x=-4$，即点B对应的数是-4，因此①错误。
② 点P从A出发向左运动到B，总路程为$AB=12$，P的运动速度为每秒2个单位长度，因此运动时间$t=12÷2=6\ \mathrm{s}$，即点P到达点B时$t=6$，②正确。
③ 当$BP=2$时，分两种情况讨论：
情况1：点P在点B右侧，此时$AP = AB - BP = 12 - 2 = 10$，对应运动时间$t=10÷2=5\ \mathrm{s}$；
情况2：点P在点B左侧，此时$AP = AB + BP = 12 + 2 =14$，对应运动时间$t=14÷2=7\ \mathrm{s}$；
因此$BP=2$时$t=5$或7，并非只有$t=5$，③错误。
④ 已知M、N始终为AP、BP的中点，因此$MP=\frac{1}{2}AP$，$NP=\frac{1}{2}BP$：
当点P在点B右侧时，$MN = MP + NP = \frac{1}{2}AP + \frac{1}{2}BP = \frac{1}{2}(AP+BP) = \frac{1}{2}AB = 6$；
当点P在点B左侧时，$MN = MP - NP = \frac{1}{2}AP - \frac{1}{2}BP = \frac{1}{2}(AP-BP) = \frac{1}{2}AB =6$；
因此无论P运动到数轴上哪个位置，MN的长度恒为6，保持不变，④正确。
综上，正确的结论是②④，对应选项A。
【答案】A
【知识点】数轴动点问题，线段中点性质，数轴两点距离
【点评】本题属于数轴动点的基础题型，核心考查动点的分情况讨论思维，易错点是忽略点P运动到点B左侧的情况，误判结论③正确；利用中点性质将MN的长度转化为定值AB的一半，可以避免设动点坐标的复杂计算，快速判断线段长度不变的结论。
【难度系数】0.6
2. 如图,把周长为3个单位长度的圆放到数轴上,A,B,C三点将圆三等分,将点A与数轴上表示1的点重合,然后将圆沿着数轴正方向做无滑动的滚动,依次为点B与数轴上表示2的点重合,点C与数轴上表示3的点重合,点A与数轴上表示4的点重合……若当圆停止运动时,点B正好落到数轴上,则点B对应的数轴上的数可能为（
A.2 025
B.2 024
C.2 023
D.2 022
B
）A.2 025
B.2 024
C.2 023
D.2 022
答案
2. B 提示:由题意,得圆沿着数轴正方向滚动一次按点A、点B、点C的顺序排列,即圆的滚动规律为3次一个循环,则2025÷3=675,所以此时点C正好落在数轴上;2024÷3=674……2,所以此时点B正好落在数轴上;2023÷3=674……1,所以此时点A正好落在数轴上;2022÷3=674,所以此时点C正好落在数轴上.所以点B对应的数轴上的数可能为2024.
解析
【分析】
我们首先从题目给出的重合示例入手梳理规律：已知圆周长为3，A、B、C将圆三等分，因此每段等分的弧长为1。题目已经给出初始A对应数轴1，滚动后B对应2、C对应3、A对应4，我们可以先总结三个点落在数轴上的数的特征：滚动过程每3次为一个循环，依次对应A、B、C三点落到数轴整数点上。接下来我们只需要得到B点落到数轴上时，对应数的余数特征，再将四个选项分别做除以3的运算，匹配符合B点特征的选项即可快速得到答案。
【解析】
解：根据题意推导规律：
1. 圆周长为3，三等分后每段弧长为1，圆沿数轴正方向无滑动滚动，每滚动3个单位长度就完成一次循环，循环顺序为A、B、C依次落到数轴的整数点上。
2. 总结各点对应数轴数的特征：
点A落在数轴上的数：1、4、7……，该类数除以3余数为1；
点B落在数轴上的数：2、5、8……，该类数除以3余数为2；
点C落在数轴上的数：3、6、9……，该类数能被3整除，余数为0。
3. 逐一验证选项：
选项A：$2025÷3=675$，余数为0，对应点C，不符合要求；
选项B：$2024÷3=674······2$，余数为2，对应点B，符合要求；
选项C：$2023÷3=674······1$，余数为1，对应点A，不符合要求；
选项D：$2022÷3=674$，余数为0，对应点C，不符合要求。
因此符合条件的数是2024。
【答案】B
【知识点】
周期规律探究，数轴应用，有理数除法
【点评】
本题属于数轴上的动点周期类问题，解题核心是从已知的重合案例中提炼出三点对应数值的余数特征，利用3为周期的规律快速筛选选项，整体思路清晰，只要准确对应三点的余数关系就可以轻松解题，要注意不要混淆初始位置对应的点，避免规律推导错误。
【难度系数】
0.7
我们首先从题目给出的重合示例入手梳理规律：已知圆周长为3，A、B、C将圆三等分，因此每段等分的弧长为1。题目已经给出初始A对应数轴1，滚动后B对应2、C对应3、A对应4，我们可以先总结三个点落在数轴上的数的特征：滚动过程每3次为一个循环，依次对应A、B、C三点落到数轴整数点上。接下来我们只需要得到B点落到数轴上时，对应数的余数特征，再将四个选项分别做除以3的运算，匹配符合B点特征的选项即可快速得到答案。
【解析】
解：根据题意推导规律：
1. 圆周长为3，三等分后每段弧长为1，圆沿数轴正方向无滑动滚动，每滚动3个单位长度就完成一次循环，循环顺序为A、B、C依次落到数轴的整数点上。
2. 总结各点对应数轴数的特征：
点A落在数轴上的数：1、4、7……，该类数除以3余数为1；
点B落在数轴上的数：2、5、8……，该类数除以3余数为2；
点C落在数轴上的数：3、6、9……，该类数能被3整除，余数为0。
3. 逐一验证选项：
选项A：$2025÷3=675$，余数为0，对应点C，不符合要求；
选项B：$2024÷3=674······2$，余数为2，对应点B，符合要求；
选项C：$2023÷3=674······1$，余数为1，对应点A，不符合要求；
选项D：$2022÷3=674$，余数为0，对应点C，不符合要求。
因此符合条件的数是2024。
【答案】B
【知识点】
周期规律探究，数轴应用，有理数除法
【点评】
本题属于数轴上的动点周期类问题，解题核心是从已知的重合案例中提炼出三点对应数值的余数特征，利用3为周期的规律快速筛选选项，整体思路清晰，只要准确对应三点的余数关系就可以轻松解题，要注意不要混淆初始位置对应的点，避免规律推导错误。
【难度系数】
0.7
3. 如图,数轴上有A,B,C三点,其中点A,B 表示的数分别是−10,12,现以点 C 为折点,将数轴向右对折,若点 A 的对应点落在射线 CB 上且到点 B 的距离为 4,则点 C 表示的数是（
A.$-2$
B.$3$
C.$-1$或$3$
D.$-2$或$3$
C
）A.$-2$
B.$3$
C.$-1$或$3$
D.$-2$或$3$
答案
3. C 提示:设A'是点A的对应点.当点A'在点B的右侧时,BA'=4,点A'表示的数为12+4=16,那么点C表示的数为(-10+16)÷2=3;当点A'在点B的左侧时,BA'=4,点A'表示的数为12-4=8,那么点C表示的数为(-10+8)÷2=-1.
解析
【分析】
我们拿到这道数轴折叠问题，首先明确折叠的核心性质：以C为折点对折后，点A和它的对应点A'到点C的距离相等，也就是点C是线段AA'的中点。题目说明A的对应点落在射线CB上，且到B的距离为4，这里没有限定A'在B的哪一侧，因此需要分两种情况讨论：第一种是A'在点B的右侧，第二种是A'在点B的左侧，两种情况都满足A'落在射线CB上的条件。我们先分别求出两种情况下A'表示的数，再利用数轴上中点的计算公式，就能算出折点C对应的数值，合并结果即可得到答案。
【解析】
解：设点A折叠后的对应点为A'，已知点A表示的数为-10，点B表示的数为12。
根据题意，点A'落在射线CB上，且到点B的距离为4，分两种情况计算：
1. 当点A'在点B的右侧时：
点A'表示的数为 $12 + 4 = 16$
由折叠性质可知，折点C是线段AA'的中点，根据数轴中点公式：
点C表示的数为 $\frac{-10 + 16}{2} = 3$
2. 当点A'在点B的左侧时：
点A'表示的数为 $12 - 4 = 8$
同理，点C是线段AA'的中点，因此：
点C表示的数为 $\frac{-10 + 8}{2} = -1$
综上，点C表示的数为-1或3。
【答案】C
【知识点】数轴中点计算，折叠性质，分类讨论
【点评】本题的易错点是容易忽略点A'可以落在点B左侧的情况，出现漏解。解题时要注意射线CB的范围是从点C出发向B方向无限延伸，A'在C、B之间也符合落在射线CB上的要求，先完整枚举所有符合条件的对应点，再利用折叠后折点为对应点连线中点的性质计算，即可得到全部正确结果。
【难度系数】0.5
我们拿到这道数轴折叠问题，首先明确折叠的核心性质：以C为折点对折后，点A和它的对应点A'到点C的距离相等，也就是点C是线段AA'的中点。题目说明A的对应点落在射线CB上，且到B的距离为4，这里没有限定A'在B的哪一侧，因此需要分两种情况讨论：第一种是A'在点B的右侧，第二种是A'在点B的左侧，两种情况都满足A'落在射线CB上的条件。我们先分别求出两种情况下A'表示的数，再利用数轴上中点的计算公式，就能算出折点C对应的数值，合并结果即可得到答案。
【解析】
解：设点A折叠后的对应点为A'，已知点A表示的数为-10，点B表示的数为12。
根据题意，点A'落在射线CB上，且到点B的距离为4，分两种情况计算：
1. 当点A'在点B的右侧时：
点A'表示的数为 $12 + 4 = 16$
由折叠性质可知，折点C是线段AA'的中点，根据数轴中点公式：
点C表示的数为 $\frac{-10 + 16}{2} = 3$
2. 当点A'在点B的左侧时：
点A'表示的数为 $12 - 4 = 8$
同理，点C是线段AA'的中点，因此：
点C表示的数为 $\frac{-10 + 8}{2} = -1$
综上，点C表示的数为-1或3。
【答案】C
【知识点】数轴中点计算，折叠性质，分类讨论
【点评】本题的易错点是容易忽略点A'可以落在点B左侧的情况，出现漏解。解题时要注意射线CB的范围是从点C出发向B方向无限延伸，A'在C、B之间也符合落在射线CB上的要求，先完整枚举所有符合条件的对应点，再利用折叠后折点为对应点连线中点的性质计算，即可得到全部正确结果。
【难度系数】0.5
4. 如图,点A,B在数轴上,点B在点A的右侧,$AB=5$,点A表示的数是$-3$.将线段AB沿数轴正方向匀速移动,移动速度为每秒2个单位长度,点A,B移动后的对应点分别是$A',B'$,其中M为线段$AA'$的中点,点N在线段$BB'$上,且$BB'=4BN$.设线段AB移动的时间为t s.若点M与点N表示的两个数互为相反数,则t的值为
$\dfrac{2}{3}$
.答案
4. $\dfrac{2}{3}$ 提示:因为在数轴上点A表示的数是-3,点B在点A的右侧,且AB=5,所以点B表示的数为-3+5=2.当运动时间为t s时,点A'表示的数为-3+2t,点B'表示的数为2+2t.因为M为线段AA'的中点,所以点M表示的数为$\dfrac{-3+(-3+2t)}{2}=-3+t$.因为点N在线段BB'上,且BB'=4BN,所以点N表示的数为$2+\dfrac{2+2t-2}{4}=2+\dfrac{t}{2}$.由题意,得$-3+t=-(2+\dfrac{t}{2})$,解得$t=\dfrac{2}{3}$.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先确定初始状态下点B的数值：已知点A表示-3，AB=5且B在A右侧，用A的数值加上AB长度即可得到B的初始值。2. 分析移动规律：线段沿正方向以每秒2个单位移动t秒，A、B向右移动的总距离均为2t，由此写出移动后A'、B'对应的数。3. 推导M、N的对应数值：M是AA'中点，利用数轴中点坐标公式代入A和A'的数，得到M对应的含t代数式；由BB'=4BN可知BN是BB'的1/4，在B的初始值基础上加上BN长度，得到N对应的含t代数式。4. 利用“互为相反数的两数和为0”的性质建立一元一次方程，求解即可得到t的值。
【解析】
1. 计算初始点B的数值：
已知点A表示的数是-3，点B在点A右侧，AB=5，因此点B表示的数为：$-3 + 5 = 2$。
2. 写出t秒后A'、B'表示的数：
线段移动速度为每秒2个单位，移动时间为t s，因此$AA'=BB'=2t$，点A'表示的数为$-3 + 2t$，点B'表示的数为$2 + 2t$。
3. 计算点M表示的数：
M是线段AA'的中点，根据数轴中点公式，点M表示的数为：
$\frac{-3 + (-3 + 2t)}{2} = -3 + t$
4. 计算点N表示的数：
由$BB'=4BN$可得$BN=\frac{1}{4}BB'=\frac{1}{4}×2t=\frac{t}{2}$，点N在B的右侧，因此点N表示的数为：
$2 + \frac{t}{2}$
5. 根据相反数性质列方程求解：
点M与点N表示的数互为相反数，即两数之和为0，可得：
$(-3 + t) + (2 + \frac{t}{2}) = 0$
整理得$-1 + \frac{3t}{2}=0$，解得$t=\frac{2}{3}$。
【答案】$\dfrac{2}{3}$
【知识点】数轴动点，中点公式，相反数性质
【点评】本题是数轴动点的基础题型，核心是用含参数t的代数式准确表示数轴上动点对应的数值，再结合相反数定义建立方程求解，解题时注意向右移动时点的数值增量为正，避免符号出错。
【难度系数】0.6
解题思路如下：1. 先确定初始状态下点B的数值：已知点A表示-3，AB=5且B在A右侧，用A的数值加上AB长度即可得到B的初始值。2. 分析移动规律：线段沿正方向以每秒2个单位移动t秒，A、B向右移动的总距离均为2t，由此写出移动后A'、B'对应的数。3. 推导M、N的对应数值：M是AA'中点，利用数轴中点坐标公式代入A和A'的数，得到M对应的含t代数式；由BB'=4BN可知BN是BB'的1/4，在B的初始值基础上加上BN长度，得到N对应的含t代数式。4. 利用“互为相反数的两数和为0”的性质建立一元一次方程，求解即可得到t的值。
【解析】
1. 计算初始点B的数值：
已知点A表示的数是-3，点B在点A右侧，AB=5，因此点B表示的数为：$-3 + 5 = 2$。
2. 写出t秒后A'、B'表示的数：
线段移动速度为每秒2个单位，移动时间为t s，因此$AA'=BB'=2t$，点A'表示的数为$-3 + 2t$，点B'表示的数为$2 + 2t$。
3. 计算点M表示的数：
M是线段AA'的中点，根据数轴中点公式，点M表示的数为：
$\frac{-3 + (-3 + 2t)}{2} = -3 + t$
4. 计算点N表示的数：
由$BB'=4BN$可得$BN=\frac{1}{4}BB'=\frac{1}{4}×2t=\frac{t}{2}$，点N在B的右侧，因此点N表示的数为：
$2 + \frac{t}{2}$
5. 根据相反数性质列方程求解：
点M与点N表示的数互为相反数，即两数之和为0，可得：
$(-3 + t) + (2 + \frac{t}{2}) = 0$
整理得$-1 + \frac{3t}{2}=0$，解得$t=\frac{2}{3}$。
【答案】$\dfrac{2}{3}$
【知识点】数轴动点，中点公式，相反数性质
【点评】本题是数轴动点的基础题型，核心是用含参数t的代数式准确表示数轴上动点对应的数值，再结合相反数定义建立方程求解，解题时注意向右移动时点的数值增量为正，避免符号出错。
【难度系数】0.6
5. 点 A,B,C 在数轴上,若点 B 与点 A 之间的距离是点 B 与点 C 之间距离的 3 倍,则称 B 是【A,C】的伙伴点. 如图,点 A,B,C,D 在数轴上,O 是原点,O 是【D,A】的伙伴点,O 也是【D,B】的伙伴点. 若点 A以每秒 1 个单位长度的速度向左运动,同时,点 O,D 分别以每秒 3 个单位长度、1个单位长度的速度向右运动. 设运动时间为 t s,当 O 是【A,D】的伙伴点时,t 的值为
0.8或5
.答案
5. 0.8或5 提示:因为初始时点O在原点,点A在-1处,点D在3处,所以点A以每秒1个单位长度向左运动,运动后对应的数为-1-t;点O以每秒3个单位长度向右运动,运动后对应的数为3t;点D以每秒1个单位长度向右运动,运动后对应的数为3+t.因为O是【A,D】的伙伴点需满足OA=3OD,所以$|3t-(-1-t)|=3|3t-(3+t)|$,化简,得$|4t+1|=3|2t-3|$.当$0≤ t＜\dfrac{3}{2}$时,方程化为4t+1=3(3-2t),解得t=0.8;当$t≥\dfrac{3}{2}$时,方程化为4t+1=3(2t-3),解得t=5.
解析
【分析】
我们可以按照以下思路逐步解题：第一步，先从给定数轴读取初始时刻点A、O、D的对应数值：A在-1处，O在原点0处，D在3处。第二步，结合三个点的运动方向和速度，分别推导出运动t秒后三个点在数轴上对应的数：向左运动的点数值随时间减小，向右运动的点数值随时间增大。第三步，紧扣题目给出的“伙伴点”新定义，O是【A,D】的伙伴点等价于点O到A的距离是点O到D的距离的3倍，也就是OA=3OD。第四步，利用数轴上两点距离等于两数差的绝对值的性质，列出带绝对值的方程，再根据绝对值内代数式的正负性分情况去掉绝对值，求解一元一次方程，验证解的合理性即可得到最终结果。
【解析】
解：
1. 表示运动t秒后各点对应的数：
已知初始位置：点A对应-1，点O对应0，点D对应3
点A以1单位/秒向左运动，t秒后对应数为：$-1 - t$
点O以3单位/秒向右运动，t秒后对应数为：$3t$
点D以1单位/秒向右运动，t秒后对应数为：$3 + t$
2. 根据伙伴点定义列方程：
由O是【A,D】的伙伴点，可得$OA=3OD$，结合数轴两点距离公式：
$|3t - (-1 - t)| = 3|3t - (3 + t)|$
化简后得到：
$|4t + 1| = 3|2t - 3|$
3. 分类去绝对值解方程：
由于运动时间$t≥0$，因此$4t+1＞0$恒成立，只需对$2t-3$的正负分类讨论：
① 当$0≤ t ＜ \frac{3}{2}$时，$2t-3＜0$，方程转化为：
$4t + 1 = 3(3 - 2t)$
整理得$10t=8$，解得$t=0.8$，符合该区间取值要求。
② 当$t≥ \frac{3}{2}$时，$2t-3≥0$，方程转化为：
$4t + 1 = 3(2t - 3)$
整理得$2t=10$，解得$t=5$，符合该区间取值要求。
综上，t的取值为0.8或5。
【答案】0.8或5
【知识点】数轴动点，绝对值方程，新定义理解
【点评】本题是新定义结合数轴动点的经典题型，既考察学生对陌生定义的快速理解能力，也考察数轴两点距离的表示方法和含绝对值方程的分类讨论思路，解题时容易遗漏其中一种情况导致丢解，需要注意分类的完整性。
【难度系数】0.5
我们可以按照以下思路逐步解题：第一步，先从给定数轴读取初始时刻点A、O、D的对应数值：A在-1处，O在原点0处，D在3处。第二步，结合三个点的运动方向和速度，分别推导出运动t秒后三个点在数轴上对应的数：向左运动的点数值随时间减小，向右运动的点数值随时间增大。第三步，紧扣题目给出的“伙伴点”新定义，O是【A,D】的伙伴点等价于点O到A的距离是点O到D的距离的3倍，也就是OA=3OD。第四步，利用数轴上两点距离等于两数差的绝对值的性质，列出带绝对值的方程，再根据绝对值内代数式的正负性分情况去掉绝对值，求解一元一次方程，验证解的合理性即可得到最终结果。
【解析】
解：
1. 表示运动t秒后各点对应的数：
已知初始位置：点A对应-1，点O对应0，点D对应3
点A以1单位/秒向左运动，t秒后对应数为：$-1 - t$
点O以3单位/秒向右运动，t秒后对应数为：$3t$
点D以1单位/秒向右运动，t秒后对应数为：$3 + t$
2. 根据伙伴点定义列方程：
由O是【A,D】的伙伴点，可得$OA=3OD$，结合数轴两点距离公式：
$|3t - (-1 - t)| = 3|3t - (3 + t)|$
化简后得到：
$|4t + 1| = 3|2t - 3|$
3. 分类去绝对值解方程：
由于运动时间$t≥0$，因此$4t+1＞0$恒成立，只需对$2t-3$的正负分类讨论：
① 当$0≤ t ＜ \frac{3}{2}$时，$2t-3＜0$，方程转化为：
$4t + 1 = 3(3 - 2t)$
整理得$10t=8$，解得$t=0.8$，符合该区间取值要求。
② 当$t≥ \frac{3}{2}$时，$2t-3≥0$，方程转化为：
$4t + 1 = 3(2t - 3)$
整理得$2t=10$，解得$t=5$，符合该区间取值要求。
综上，t的取值为0.8或5。
【答案】0.8或5
【知识点】数轴动点，绝对值方程，新定义理解
【点评】本题是新定义结合数轴动点的经典题型，既考察学生对陌生定义的快速理解能力，也考察数轴两点距离的表示方法和含绝对值方程的分类讨论思路，解题时容易遗漏其中一种情况导致丢解，需要注意分类的完整性。
【难度系数】0.5
6. 如图,数轴上线段$AB=2,CD=4$,点$A$在数轴上表示的数是$-10$,点$C$在数轴上表示的数是$16$.若线段$AB$以$6$个单位长度/s 的速度向右匀速运动,同时线段$CD$以$2$个单位长度/s 的速度向左匀速运动.当点$B$运动到线段$CD$上时,$P$是线段$AB$上一点,且有关系式$BD-AP=3PC$成立,则线段$PD$的长为
5或$\dfrac{7}{2}$
.答案
6. 5或$\dfrac{7}{2}$ 提示:由题意得未运动前点B表示的数为-8,点D表示的数为20.设线段AB未运动时点P表示的数为x,点B的运动时间为t s,所以t s后,点C表示的数为16-2t,点D表示的数为20-2t,点A表示的数为-10+6t,点B表示的数为-8+6t,点P表示的数为x+6t,所以BD=20-2t-(-8+6t)=28-8t,AP=x+6t-(-10+6t)=10+x,PC=|16-2t-(x+6t)|=|16-8t-x|,PD=20-2t-(x+6t)=20-(8t+x).因为BD-AP=3PC,所以28-8t-(10+x)=3|16-8t-x|,即18-8t-x=3|16-8t-x|.①当点C在点P右侧时,18-8t-x=3(16-8t-x)=48-24t-3x,所以8t+x=15,所以PD=20-(8t+x)=20-15=5;②当点C在点P左侧时,18-8t-x=-3(16-8t-x)=-48+24t+3x,所以8t+x=$\dfrac{33}{2}$,所以PD=20-(8t+x)=20-$\dfrac{33}{2}$=$\dfrac{7}{2}$.
解析
【分析】
首先我们从题目给出的初始条件，先算出运动前所有点对应的数轴数值：已知点A初始表示-10，AB=2，所以初始点B为-8；点C初始表示16，CD=4，所以初始点D为20。接下来两个线段同时运动，我们设运动时间为t秒，就可以把t时刻A、B、C、D四个点对应的数全部表示出来，再设初始时点P对应的数为x，就能同步表示出t时刻点P对应的数。之后利用数轴上两点距离的计算规则，写出BD、AP、PC的表达式，代入题目给出的等量关系BD-AP=3PC，这里PC是两点距离，带有绝对值，因此需要分两种情况去掉绝对值符号，分别求解得到8t+x的数值，最后代入PD的表达式就能算出PD的长度，两种情况都符合“点B运动到线段CD上”的前提，因此得到两个结果。
【解析】
解：第一步，计算初始状态各点表示的数：
已知A初始表示-10，AB=2，因此初始点B表示的数为$-10+2=-8$；
已知C初始表示16，CD=4，因此初始点D表示的数为$16+4=20$。
设运动时间为t s，线段AB上的点P未运动时表示的数为x，根据运动速度可得t秒后各点表示的数：
点A：$-10+6t$
点B：$-8+6t$
点C：$16-2t$
点D：$20-2t$
点P：$x+6t$
接下来计算各线段长度：
1. $BD = (20-2t) - (-8+6t) = 28-8t$
2. $AP = (x+6t) - (-10+6t) = 10+x$
3. $PC = |(16-2t) - (x+6t)| = |16-8t -x|$
4. $PD = (20-2t) - (x+6t) = 20-(8t+x)$
将上述表达式代入等量关系$BD-AP=3PC$：
$28-8t - (10+x) = 3|16-8t -x|$
化简得：
$18-8t -x = 3|16-8t -x|$
分两种情况去掉绝对值：
① 当点C在点P右侧时，$16-8t -x ≥ 0$，直接去掉绝对值：
$18-8t -x = 3(16-8t -x)$
展开整理得$8t +x =15$，代入PD的表达式：
$PD=20-(8t+x)=20-15=5$
② 当点C在点P左侧时，$16-8t -x ＜0$，去掉绝对值后添负号：
$18-8t -x = -3(16-8t -x)$
展开整理得$8t +x =\frac{33}{2}$，代入PD的表达式：
$PD=20-(8t+x)=20-\frac{33}{2}=\frac{7}{2}$
两个结果均符合题意，因此PD的长为5或$\frac{7}{2}$。
【答案】
5或$\dfrac{7}{2}$
【知识点】
数轴两点距离，绝对值化简，动点行程问题
【点评】
本题是数轴动点的经典题型，核心思路是将运动后各点的坐标用时间参数表示，把线段长度转化为坐标差计算，重点考察分类讨论思想，需要对带绝对值的距离表达式分情况去绝对值，很容易遗漏其中一种情况导致只得到单个解，同时通过整体代换的技巧不需要单独求解t和x的数值，大幅简化了计算过程。
【难度系数】
0.3
首先我们从题目给出的初始条件，先算出运动前所有点对应的数轴数值：已知点A初始表示-10，AB=2，所以初始点B为-8；点C初始表示16，CD=4，所以初始点D为20。接下来两个线段同时运动，我们设运动时间为t秒，就可以把t时刻A、B、C、D四个点对应的数全部表示出来，再设初始时点P对应的数为x，就能同步表示出t时刻点P对应的数。之后利用数轴上两点距离的计算规则，写出BD、AP、PC的表达式，代入题目给出的等量关系BD-AP=3PC，这里PC是两点距离，带有绝对值，因此需要分两种情况去掉绝对值符号，分别求解得到8t+x的数值，最后代入PD的表达式就能算出PD的长度，两种情况都符合“点B运动到线段CD上”的前提，因此得到两个结果。
【解析】
解：第一步，计算初始状态各点表示的数：
已知A初始表示-10，AB=2，因此初始点B表示的数为$-10+2=-8$；
已知C初始表示16，CD=4，因此初始点D表示的数为$16+4=20$。
设运动时间为t s，线段AB上的点P未运动时表示的数为x，根据运动速度可得t秒后各点表示的数：
点A：$-10+6t$
点B：$-8+6t$
点C：$16-2t$
点D：$20-2t$
点P：$x+6t$
接下来计算各线段长度：
1. $BD = (20-2t) - (-8+6t) = 28-8t$
2. $AP = (x+6t) - (-10+6t) = 10+x$
3. $PC = |(16-2t) - (x+6t)| = |16-8t -x|$
4. $PD = (20-2t) - (x+6t) = 20-(8t+x)$
将上述表达式代入等量关系$BD-AP=3PC$：
$28-8t - (10+x) = 3|16-8t -x|$
化简得：
$18-8t -x = 3|16-8t -x|$
分两种情况去掉绝对值：
① 当点C在点P右侧时，$16-8t -x ≥ 0$，直接去掉绝对值：
$18-8t -x = 3(16-8t -x)$
展开整理得$8t +x =15$，代入PD的表达式：
$PD=20-(8t+x)=20-15=5$
② 当点C在点P左侧时，$16-8t -x ＜0$，去掉绝对值后添负号：
$18-8t -x = -3(16-8t -x)$
展开整理得$8t +x =\frac{33}{2}$，代入PD的表达式：
$PD=20-(8t+x)=20-\frac{33}{2}=\frac{7}{2}$
两个结果均符合题意，因此PD的长为5或$\frac{7}{2}$。
【答案】
5或$\dfrac{7}{2}$
【知识点】
数轴两点距离，绝对值化简，动点行程问题
【点评】
本题是数轴动点的经典题型，核心思路是将运动后各点的坐标用时间参数表示，把线段长度转化为坐标差计算，重点考察分类讨论思想，需要对带绝对值的距离表达式分情况去绝对值，很容易遗漏其中一种情况导致只得到单个解，同时通过整体代换的技巧不需要单独求解t和x的数值，大幅简化了计算过程。
【难度系数】
0.3
