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13. 如图1,从一张长方形纸片中剪去一个最大的正方形,剩下一个小的长方形,将这个过程称为1次操作.若经过$n$次操作后,剩下的小长方形恰好是正方形,则称原长方形为$n$阶长方形.图2是一个2阶长方形,它的宽与长的比(简称“宽长比”)为$\dfrac{1}{3}$.
思考3阶长方形的宽长比可能是多少?不妨倒过来想,如图3,1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形$(宽长比为\dfrac{1}{2})$,同理2阶长方形的宽长比为$\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{2}{3}$,图中所示的3阶长方形的宽长比为$\dfrac{1}{4}$或$\dfrac{3}{4}$.
(1) 画出另外两种3阶长方形的裁剪示意图并写出对应的宽长比.
(2) 直接写出4阶长方形的宽长比所有可能的值.
(3) 从以下问题中任选一个作答:
①10阶长方形的宽长比共有多少种可能的值?
②图3中“$\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1$”“$\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1$”…是必然的,解释其中道理.
③若一个长方形的宽长比为$\dfrac{105}{2024}$,则它是几阶长方形?
思考3阶长方形的宽长比可能是多少?不妨倒过来想,如图3,1阶长方形就是在正方形外再补一个正方形$(宽长比为\dfrac{1}{2})$,同理2阶长方形的宽长比为$\dfrac{1}{3}$或$\dfrac{2}{3}$,图中所示的3阶长方形的宽长比为$\dfrac{1}{4}$或$\dfrac{3}{4}$.
(1) 画出另外两种3阶长方形的裁剪示意图并写出对应的宽长比.
(2) 直接写出4阶长方形的宽长比所有可能的值.
(3) 从以下问题中任选一个作答:
①10阶长方形的宽长比共有多少种可能的值?
②图3中“$\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1$”“$\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1$”…是必然的,解释其中道理.
③若一个长方形的宽长比为$\dfrac{105}{2024}$,则它是几阶长方形?
答案
13. 解:(1) 另外两种3阶长方形的裁剪示意图如图所示
,对应的宽长比分别是$\dfrac{2}{5},\dfrac{3}{5}$.(2) 当3阶长方形的宽长比为$\dfrac{1}{4}$时,4阶长方形的宽长比是$\dfrac{1}{5}$或$\dfrac{4}{5}$;当3阶长方形的宽长比为$\dfrac{3}{4}$时,4阶长方形的宽长比是$\dfrac{3}{7}$或$\dfrac{4}{7}$;当3阶长方形的宽长比为$\dfrac{3}{5}$时,4阶长方形的宽长比是$\dfrac{3}{8}$或$\dfrac{5}{8}$;当3阶长方形的宽长比为$\dfrac{2}{5}$时,4阶长方形的宽长比是$\dfrac{2}{7}$或$\dfrac{5}{7}$.
(3) 选①,作答如下:因为2阶长方形的宽长比有2种可能,即是$2^1$;3阶长方形的宽长比有4种可能,即是$2^2$;4阶长方形的宽长比有8种可能,即是$2^3$……所以10阶长方形的宽长比共有$2^9$种可能的值.
选②,作答如下:n阶长方形就是在$(n-1)$阶长方形外再补一个正方形,设$(n-1)$阶长方形的宽为x,长为y.若在宽上补一个边长为x的正方形,则得到的n阶长方形宽长比为$\dfrac{x}{x+y}$;若在长上补一个边长为y的正方形,则得到的n阶长方形宽长比为$\dfrac{y}{x+y}$.因为$\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{x+y}=1$,所以“$\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1$”“$\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1$”…是必然的.
选③,作答如下:因为$2\ 024-1\ 105=919$,$1\ 105-919=186$,$919-186×4=175$,$186-175=11$,$175-11×15=10$,$11-10=1$,$10=1×10$,$1+1+4+1+15+1+10-1=32$,所以若一个长方形的宽长比为$\dfrac{1\ 105}{2\ 024}$,则它是32阶长方形.
解析
【分析】
我们从题目给出的n阶长方形定义和逆向构造思路入手梳理解题路径：
1. 先明确规则：正向操作是每次从长方形中剪去最大正方形，剩余小长方形；逆向构造是从正方形出发，每次在已有长方形的任意一条边外侧补一个和该边等长的正方形，即可得到高一阶的长方形，逆向思路能大幅降低推导难度。
2. 解第(1)问：已知2阶长方形的宽长比为$\frac{1}{3}$、$\frac{2}{3}$，其中$\frac{1}{3}$已经生成了题目给出的3阶的$\frac{1}{4}$、$\frac{3}{4}$，剩下的2阶宽长比$\frac{2}{3}$，分别在短边、长边补正方形，就能得到剩余的两种3阶长方形，直接计算对应宽长比即可。
3. 解第(2)问：把所有3阶的4个宽长比，都按照逆向补正方形的规则，分别生成两个新的4阶宽长比，全部枚举即可得到全部结果。
4. 解第(3)问的三个选做问题：①通过统计前几阶的可能数量找递推规律，每高一阶的宽长比数量翻倍，即可得到n阶的数量公式；②从逆向构造的生成规则出发，可直接推导出同阶的两个对应宽长比之和为1；③用辗转相减的方法，计算从给定分数到得到1的操作总次数，就能得到对应的阶数。
【解析】
(1) 对宽长比为$\frac{2}{3}$的2阶长方形（短边为2，长边为3）做逆向补正方形操作：
在短边（长度为2）外侧补边长为2的正方形，新长方形短边为2，长边为$3+2=5$，宽长比为$\frac{2}{5}$；
在长边（长度为3）外侧补边长为3的正方形，新长方形短边为3，长边为$2+3=5$，宽长比为$\frac{3}{5}$，画出对应裁剪示意图即可。
(2) 对全部4个3阶宽长比分别生成4阶宽长比：
由$\frac{1}{4}$生成：$\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$、$\frac{4}{1+4}=\frac{4}{5}$；
由$\frac{3}{4}$生成：$\frac{3}{3+4}=\frac{3}{7}$、$\frac{4}{3+4}=\frac{4}{7}$；
由$\frac{2}{5}$生成：$\frac{2}{2+5}=\frac{2}{7}$、$\frac{5}{2+5}=\frac{5}{7}$；
由$\frac{3}{5}$生成：$\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}$、$\frac{5}{3+5}=\frac{5}{8}$，所有结果即为4阶的全部宽长比。
(3) 三个选项分别推导：
① 归纳规律：1阶长方形宽长比共1种=$2^0$，2阶共2种=$2^1$，3阶共4种=$2^2$，4阶共8种=$2^3$，可得n阶长方形宽长比的可能数量为$2^{n-1}$，因此10阶的数量为$2^{9}=512$种。
② 设$n-1$阶长方形的短边为$x$，长边为$y$，从它生成两个n阶长方形的方式：在短边补边长为$x$的正方形，得到的新长方形宽长比为$\frac{x}{x+y}$；在长边补边长为$y$的正方形，得到的新长方形宽长比为$\frac{y}{x+y}$，显然$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}=1$，因此同组的两个同阶宽长比之和必然为1。
③ 对$\frac{1105}{2024}$做辗转相减操作：$2024-1105=919$，$1105-919=186$，$919-186×4=175$，$186-175=11$，$175-11×15=10$，$11-10=1$，$10=1×10$，求和后减去1得到总阶数为32。
【答案】
(1) 对应的宽长比分别是$\dfrac{2}{5},\dfrac{3}{5}$，裁剪示意图如下：
(2) 4阶长方形的宽长比所有可能的值为$\dfrac{1}{5},\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{7},\dfrac{4}{7},\dfrac{2}{7},\dfrac{5}{7},\dfrac{3}{8},\dfrac{5}{8}$。
(3) 选①：10阶长方形的宽长比共有$2^9$即512种可能的值；
选②：n阶长方形就是在$(n-1)$阶长方形外再补一个正方形，设$(n-1)$阶长方形的宽为x，长为y。若在宽上补一个边长为x的正方形，则得到的n阶长方形宽长比为$\dfrac{x}{x+y}$；若在长上补一个边长为y的正方形，则得到的n阶长方形宽长比为$\dfrac{y}{x+y}$。因为$\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{x+y}=1$，所以“$\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1$”“$\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1$”…是必然的。
选③：宽长比为$\dfrac{1105}{2024}$的长方形是32阶长方形。
【知识点】
新定义探究，递推规律，辗转相除法
【点评】
本题是典型的新定义几何探究题，通过逆向“补正方形”的思路替代正向裁剪，大幅简化了推导难度，分层设置的三个选做题分别从计数、逻辑证明、实际应用三个维度考察学生的归纳推理能力，对思维灵活性要求较高。
【难度系数】
0.3
我们从题目给出的n阶长方形定义和逆向构造思路入手梳理解题路径：
1. 先明确规则：正向操作是每次从长方形中剪去最大正方形，剩余小长方形；逆向构造是从正方形出发，每次在已有长方形的任意一条边外侧补一个和该边等长的正方形，即可得到高一阶的长方形，逆向思路能大幅降低推导难度。
2. 解第(1)问：已知2阶长方形的宽长比为$\frac{1}{3}$、$\frac{2}{3}$，其中$\frac{1}{3}$已经生成了题目给出的3阶的$\frac{1}{4}$、$\frac{3}{4}$，剩下的2阶宽长比$\frac{2}{3}$，分别在短边、长边补正方形，就能得到剩余的两种3阶长方形，直接计算对应宽长比即可。
3. 解第(2)问：把所有3阶的4个宽长比，都按照逆向补正方形的规则，分别生成两个新的4阶宽长比，全部枚举即可得到全部结果。
4. 解第(3)问的三个选做问题：①通过统计前几阶的可能数量找递推规律，每高一阶的宽长比数量翻倍，即可得到n阶的数量公式；②从逆向构造的生成规则出发，可直接推导出同阶的两个对应宽长比之和为1；③用辗转相减的方法，计算从给定分数到得到1的操作总次数，就能得到对应的阶数。
【解析】
(1) 对宽长比为$\frac{2}{3}$的2阶长方形（短边为2，长边为3）做逆向补正方形操作：
在短边（长度为2）外侧补边长为2的正方形，新长方形短边为2，长边为$3+2=5$，宽长比为$\frac{2}{5}$；
在长边（长度为3）外侧补边长为3的正方形，新长方形短边为3，长边为$2+3=5$，宽长比为$\frac{3}{5}$，画出对应裁剪示意图即可。
(2) 对全部4个3阶宽长比分别生成4阶宽长比：
由$\frac{1}{4}$生成：$\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$、$\frac{4}{1+4}=\frac{4}{5}$；
由$\frac{3}{4}$生成：$\frac{3}{3+4}=\frac{3}{7}$、$\frac{4}{3+4}=\frac{4}{7}$；
由$\frac{2}{5}$生成：$\frac{2}{2+5}=\frac{2}{7}$、$\frac{5}{2+5}=\frac{5}{7}$；
由$\frac{3}{5}$生成：$\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}$、$\frac{5}{3+5}=\frac{5}{8}$，所有结果即为4阶的全部宽长比。
(3) 三个选项分别推导：
① 归纳规律：1阶长方形宽长比共1种=$2^0$，2阶共2种=$2^1$，3阶共4种=$2^2$，4阶共8种=$2^3$，可得n阶长方形宽长比的可能数量为$2^{n-1}$，因此10阶的数量为$2^{9}=512$种。
② 设$n-1$阶长方形的短边为$x$，长边为$y$，从它生成两个n阶长方形的方式：在短边补边长为$x$的正方形，得到的新长方形宽长比为$\frac{x}{x+y}$；在长边补边长为$y$的正方形，得到的新长方形宽长比为$\frac{y}{x+y}$，显然$\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}=1$，因此同组的两个同阶宽长比之和必然为1。
③ 对$\frac{1105}{2024}$做辗转相减操作：$2024-1105=919$，$1105-919=186$，$919-186×4=175$，$186-175=11$，$175-11×15=10$，$11-10=1$，$10=1×10$，求和后减去1得到总阶数为32。
【答案】
(1) 对应的宽长比分别是$\dfrac{2}{5},\dfrac{3}{5}$，裁剪示意图如下：
(2) 4阶长方形的宽长比所有可能的值为$\dfrac{1}{5},\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{7},\dfrac{4}{7},\dfrac{2}{7},\dfrac{5}{7},\dfrac{3}{8},\dfrac{5}{8}$。
(3) 选①：10阶长方形的宽长比共有$2^9$即512种可能的值；
选②：n阶长方形就是在$(n-1)$阶长方形外再补一个正方形，设$(n-1)$阶长方形的宽为x，长为y。若在宽上补一个边长为x的正方形，则得到的n阶长方形宽长比为$\dfrac{x}{x+y}$；若在长上补一个边长为y的正方形，则得到的n阶长方形宽长比为$\dfrac{y}{x+y}$。因为$\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{x+y}=1$，所以“$\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=1$”“$\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1$”…是必然的。
选③：宽长比为$\dfrac{1105}{2024}$的长方形是32阶长方形。
【知识点】
新定义探究，递推规律，辗转相除法
【点评】
本题是典型的新定义几何探究题，通过逆向“补正方形”的思路替代正向裁剪，大幅简化了推导难度，分层设置的三个选做题分别从计数、逻辑证明、实际应用三个维度考察学生的归纳推理能力，对思维灵活性要求较高。
【难度系数】
0.3
