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7. 数轴上的两个点 A,B,分别用数 a,b 表示,那么 A,B 两点之间的距离为$|AB|=|a-b|$,反过来,式子$|a-b|$表示的几何意义是:数轴上表示数 a 的点和表示数 b 的点之间的距离. 若代数式$|x-2|+|x+a|$的最小值是 3,则$a=$
-5或1
.答案
7. -5或1 提示:代数式$|x-2|+|x+a|$表示的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数2的点和表示数-a的点的距离之和,其最小值等于表示数2的点与表示数-a的点之间的距离,即$|2-(-a)|=|2+a|$.已知最小值为3,因此$|2+a|=3$,即2+a=3或2+a=-3,解得a=1或a=-5.
解析
【分析】
我们可以借助题目给出的绝对值几何意义来简化求解：首先拆分两个绝对值项，|x-2|对应数轴上动点x到定点2的距离，把|x+a|变形为|x - (-a)|，就能得到它对应动点x到定点-a的距离。两个距离之和的最小值，根据两点之间线段最短的逻辑，当动点x落在两个定点之间时，总距离刚好等于两个定点的间距，这就是能取到的最小距离，不可能比两个定点的间距更小。题目给出最小值为3，因此直接得到两个定点2和-a的距离等于3，列出绝对值方程求解就能得到a的全部取值。
【解析】
1. 转化代数式的几何意义
将代数式变形为$|x-2|+|x+a| = |x-2| + |x - (-a)|$，它的几何意义是：数轴上表示数x的动点，到表示数2的定点、表示数-a的定点的距离之和。
2. 推导最小值的表达式
根据两点之间线段最短的原理，当动点x落在点2和点-a之间（含端点）时，两个距离的和取得最小值，这个最小值就等于两个定点2和-a之间的距离，即$|2 - (-a)| = |a + 2|$。
3. 列方程求解
已知代数式的最小值为3，因此可得方程：
$|a + 2| = 3$
去掉绝对值符号得到两个一元一次方程：
$a + 2 = 3$ 或 $a + 2 = -3$
分别解得：$a=1$，或$a=-5$。
【答案】-5或1
【知识点】绝对值的几何意义；数轴两点间距离；绝对值方程求解
【点评】本题利用绝对值的几何意义规避了分段讨论去绝对值的复杂运算，核心是理解两个绝对值求和的最小值本质是两个固定点的间距，解题时容易忽略绝对值的双解性质漏写其中一个a的取值，需要注意不要丢解。
【难度系数】0.6
我们可以借助题目给出的绝对值几何意义来简化求解：首先拆分两个绝对值项，|x-2|对应数轴上动点x到定点2的距离，把|x+a|变形为|x - (-a)|，就能得到它对应动点x到定点-a的距离。两个距离之和的最小值，根据两点之间线段最短的逻辑，当动点x落在两个定点之间时，总距离刚好等于两个定点的间距，这就是能取到的最小距离，不可能比两个定点的间距更小。题目给出最小值为3，因此直接得到两个定点2和-a的距离等于3，列出绝对值方程求解就能得到a的全部取值。
【解析】
1. 转化代数式的几何意义
将代数式变形为$|x-2|+|x+a| = |x-2| + |x - (-a)|$，它的几何意义是：数轴上表示数x的动点，到表示数2的定点、表示数-a的定点的距离之和。
2. 推导最小值的表达式
根据两点之间线段最短的原理，当动点x落在点2和点-a之间（含端点）时，两个距离的和取得最小值，这个最小值就等于两个定点2和-a之间的距离，即$|2 - (-a)| = |a + 2|$。
3. 列方程求解
已知代数式的最小值为3，因此可得方程：
$|a + 2| = 3$
去掉绝对值符号得到两个一元一次方程：
$a + 2 = 3$ 或 $a + 2 = -3$
分别解得：$a=1$，或$a=-5$。
【答案】-5或1
【知识点】绝对值的几何意义；数轴两点间距离；绝对值方程求解
【点评】本题利用绝对值的几何意义规避了分段讨论去绝对值的复杂运算，核心是理解两个绝对值求和的最小值本质是两个固定点的间距，解题时容易忽略绝对值的双解性质漏写其中一个a的取值，需要注意不要丢解。
【难度系数】0.6
8. 如图,在数轴上,点A,B表示的数分别是-10,6,点M以2个单位长度/s的速度从点A出发沿数轴向点B运动,同时点N以4个单位长度/s的速度从点B出发沿数轴在点B,A之间做往返运动(当M,N中任意一点到达点B时,整个运动停止).当运动时间是
7或3或$\dfrac{7}{3}$
s时,M,N两点相距2个单位长度.答案
8. 7或3或$\dfrac{7}{3}$ 提示:点A,B表示的数分别是-10,6,则点A,B之间的距离为16.由题意可得,点M到达点B时,运动的时间为8 s,点N从点B到点A再到点B,运动的时间也为8 s.设点M的运动时间为t s,当点M,N相遇前,且点N未到达点A,M,N两点相距2个单位长度时,由题意可得,2t+4t+2=16,解得t=$\dfrac{7}{3}$;当点M,N相遇后,且点N未到达点A,M,N两点相距2个单位长度时,由题意可得,2t+4t-2=16,解得t=3;当点N到达点A返回后,M,N两点相距2个单位长度时,由题意可得,4t-16+2=2t,解得t=7.综上所述,当运动时间是7或3或$\dfrac{7}{3}$ s时,M,N两点相距2个单位长度.
解析
【分析】
首先先计算A、B两点的距离：点A为-10，点B为6，可得AB总长度为16。接着确定运动总时长：点M从A到B的总耗时为16÷2=8s，点N从B到A再返回B的总耗时也为8s，符合题目“任意一点到达B就停止”的规则。接下来分三类场景讨论：第一类是N从B向A运动、还未到达A的阶段，找M、N相遇前相距2的等量关系：两者路程和加相距的2等于AB总长16；第二类是同阶段相遇后相距2的等量关系：两者路程和减去多走的2等于AB总长16；第三类是N到达A后掉头返回向B运动的阶段，根据两者位置差列方程求解，最后验证所有解都在对应时间区间内，即可得到全部符合条件的时间。
【解析】
解：由题意可知，点A表示数-10，点B表示数6，因此A、B两点的距离为：
$AB=6-(-10)=16$
点M从A运动到B的总时间为$16÷2=8\ \mathrm{s}$，点N从B到A再返回B的总时间为$16÷4×2=8\ \mathrm{s}$，因此整个运动总时长为8s。设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，分三种情况讨论：
1. N从B向A运动，M、N相遇前相距2个单位
此时两点还未相遇，路程和加上相距的2等于AB总长度，列方程：
$2t+4t+2=16$
解得$t=\frac{7}{3}$，满足$0＜\frac{7}{3}＜4$，符合条件。
2. N从B向A运动，M、N相遇后相距2个单位
此时两点已经相遇，路程和减去多走的2等于AB总长度，列方程：
$2t+4t-2=16$
解得$t=3$，满足$0＜3＜4$，符合条件。
3. N到达A后掉头返回向B运动，M、N相距2个单位
点N走到A的时间为$16÷4=4\ \mathrm{s}$，t＞4时N从A往B运动，此时N的总路程减去AB长度16就是N从A往回走的路程，结合两点相距2列方程：
$4t-16+2=2t$
解得$t=7$，满足$4＜7＜8$，符合条件。
综上所有符合要求的运动时间都已求出。
【答案】
7或3或$\dfrac{7}{3}$
【知识点】
数轴动点问题，一元一次方程应用，分类讨论思想
【点评】
本题是数轴动点的经典易错题，核心陷阱是点N做往返运动，很容易只考虑单向运动的情况出现漏解，解题时要按N的运动阶段拆分场景，结合两点位置关系找等量关系，求出解后还要验证解是否在对应运动的时间区间内，排除不符合的无效解。
【难度系数】
0.4
首先先计算A、B两点的距离：点A为-10，点B为6，可得AB总长度为16。接着确定运动总时长：点M从A到B的总耗时为16÷2=8s，点N从B到A再返回B的总耗时也为8s，符合题目“任意一点到达B就停止”的规则。接下来分三类场景讨论：第一类是N从B向A运动、还未到达A的阶段，找M、N相遇前相距2的等量关系：两者路程和加相距的2等于AB总长16；第二类是同阶段相遇后相距2的等量关系：两者路程和减去多走的2等于AB总长16；第三类是N到达A后掉头返回向B运动的阶段，根据两者位置差列方程求解，最后验证所有解都在对应时间区间内，即可得到全部符合条件的时间。
【解析】
解：由题意可知，点A表示数-10，点B表示数6，因此A、B两点的距离为：
$AB=6-(-10)=16$
点M从A运动到B的总时间为$16÷2=8\ \mathrm{s}$，点N从B到A再返回B的总时间为$16÷4×2=8\ \mathrm{s}$，因此整个运动总时长为8s。设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，分三种情况讨论：
1. N从B向A运动，M、N相遇前相距2个单位
此时两点还未相遇，路程和加上相距的2等于AB总长度，列方程：
$2t+4t+2=16$
解得$t=\frac{7}{3}$，满足$0＜\frac{7}{3}＜4$，符合条件。
2. N从B向A运动，M、N相遇后相距2个单位
此时两点已经相遇，路程和减去多走的2等于AB总长度，列方程：
$2t+4t-2=16$
解得$t=3$，满足$0＜3＜4$，符合条件。
3. N到达A后掉头返回向B运动，M、N相距2个单位
点N走到A的时间为$16÷4=4\ \mathrm{s}$，t＞4时N从A往B运动，此时N的总路程减去AB长度16就是N从A往回走的路程，结合两点相距2列方程：
$4t-16+2=2t$
解得$t=7$，满足$4＜7＜8$，符合条件。
综上所有符合要求的运动时间都已求出。
【答案】
7或3或$\dfrac{7}{3}$
【知识点】
数轴动点问题，一元一次方程应用，分类讨论思想
【点评】
本题是数轴动点的经典易错题，核心陷阱是点N做往返运动，很容易只考虑单向运动的情况出现漏解，解题时要按N的运动阶段拆分场景，结合两点位置关系找等量关系，求出解后还要验证解是否在对应运动的时间区间内，排除不符合的无效解。
【难度系数】
0.4
9. 在数轴上,点 $M,N$ 分别表示数 $m,n$, 则点$M,N$ 之间的距离为 $|m-n|$. 已知点 $A$,$B,C,D$ 在数轴上分别表示数 $a,b,c,d$,且$|a-b|=|c-b|=\dfrac{2}{3}|a-d|=2$, 则$|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|$ 的最小值为
5或9
.答案
9. 5或9 提示:由$|a-b|=|c-b|=2$,得B是线段AC的中点,所以AC=4,AB=BC=2.由$\dfrac{2}{3}|a-d|=2$,得$|a-d|=3$,即AD=3.设点E表示的数为x,当a＜b时,点D在点A的右侧时,CD=AC-AD=1,BD=BC-CD=1.①当点E在点A的左侧时,如图1,$|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|=AE+BE+CE+DE＞AC+BD$;②当点E在点C的右侧时,如图2,$|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|=AE+BE+CE+DE＞AC+BD$;③当点E与点C重合时,如图3,$|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|=AC+CB+CD＞AC+BD$;④当点E与点A重合时,如图4,$|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|=AB+CA+DA＞AC+BD$;⑤当点E在线段AB上时,如图5,$|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|=AE+EB+CE+DE＞AC+BD$;⑥当点E在线段CD上时,如图6,$|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|=AE+EB+CE+DE＞AC+BD$;⑦当点E在线段BD上(包括点C,D)时,如图7,$|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|=AE+EB+CE+DE=AC+BD=4+1=5$,所以$|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|$的最小值为5.当点D在点A的左侧时,同理可得,当点E在线段AB上时,$|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|$取得最小值,如图8,所以$|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|=CD+AB=AD+AC+AB=3+4+2=9$.综上所述,$|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|$的最小值为5或9.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先根据已知的绝对值等式，先计算出点A、B、C之间的距离，以及A、D之间的距离，明确B是AC中点，AC长度为4，AD长度为3。2. 注意|a-d|=3仅表示A、D距离为3，未限定D的位置，因此要分D在A右侧、D在A左侧两种情况讨论。3. 利用多个绝对值和的几何意义：数轴上四个点对应的距离和，当x落在排序后中间两个点的线段上时取得最小值，无需逐段分类讨论即可快速算出两种情况的最小值，最后汇总得到结果。
【解析】
解：
第一步：根据已知条件计算各点间的基础距离
由$|a-b|=2$，$|c-b|=2$，可得$AB=2$，$BC=2$，因此$AC=AB+BC=4$，点B是线段AC的中点。
由$\frac{2}{3}|a-d|=2$，化简得$|a-d|=3$，即A、D两点的距离为3。
第二步：分两种情况讨论点D的位置，计算绝对值和的最小值
$|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|$表示数轴上点x到A、B、C、D四个点的距离之和，对于偶数个点的距离和，当x落在排序后中间两个点构成的线段上时，距离和取得最小值，等于最右端点与最左端点的距离，加上中间两个点的距离差。
情况1：点D在点A的右侧
将四个点按数轴从左到右排序为：$a ＜ b ＜ d ＜ c$，此时最左端点为a，最右端点为c，中间两个点为b和d，因此距离和的最小值为：
$(c-a) + (d-b) = 4 + 1 = 5$
情况2：点D在点A的左侧
将四个点按数轴从左到右排序为：$d ＜ a ＜ b ＜ c$，此时最左端点为d，最右端点为c，中间两个点为a和b，因此距离和的最小值为：
$(c-d) + (b-a) = 7 + 2 = 9$
综上，原式的最小值为5或9。
【答案】
5或9
【知识点】
数轴两点距离，绝对值几何意义，绝对值和最小值
【点评】
本题的易错点是容易遗漏点D的两种位置情况，仅得到其中一个最小值，熟练掌握偶数个绝对值求和的最值规律，先对所有点在数轴上排序，再定位中间区间即可快速求解，避免逐段讨论的繁琐步骤。
【难度系数】
0.3
解题思路如下：1. 先根据已知的绝对值等式，先计算出点A、B、C之间的距离，以及A、D之间的距离，明确B是AC中点，AC长度为4，AD长度为3。2. 注意|a-d|=3仅表示A、D距离为3，未限定D的位置，因此要分D在A右侧、D在A左侧两种情况讨论。3. 利用多个绝对值和的几何意义：数轴上四个点对应的距离和，当x落在排序后中间两个点的线段上时取得最小值，无需逐段分类讨论即可快速算出两种情况的最小值，最后汇总得到结果。
【解析】
解：
第一步：根据已知条件计算各点间的基础距离
由$|a-b|=2$，$|c-b|=2$，可得$AB=2$，$BC=2$，因此$AC=AB+BC=4$，点B是线段AC的中点。
由$\frac{2}{3}|a-d|=2$，化简得$|a-d|=3$，即A、D两点的距离为3。
第二步：分两种情况讨论点D的位置，计算绝对值和的最小值
$|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|$表示数轴上点x到A、B、C、D四个点的距离之和，对于偶数个点的距离和，当x落在排序后中间两个点构成的线段上时，距离和取得最小值，等于最右端点与最左端点的距离，加上中间两个点的距离差。
情况1：点D在点A的右侧
将四个点按数轴从左到右排序为：$a ＜ b ＜ d ＜ c$，此时最左端点为a，最右端点为c，中间两个点为b和d，因此距离和的最小值为：
$(c-a) + (d-b) = 4 + 1 = 5$
情况2：点D在点A的左侧
将四个点按数轴从左到右排序为：$d ＜ a ＜ b ＜ c$，此时最左端点为d，最右端点为c，中间两个点为a和b，因此距离和的最小值为：
$(c-d) + (b-a) = 7 + 2 = 9$
综上，原式的最小值为5或9。
【答案】
5或9
【知识点】
数轴两点距离，绝对值几何意义，绝对值和最小值
【点评】
本题的易错点是容易遗漏点D的两种位置情况，仅得到其中一个最小值，熟练掌握偶数个绝对值求和的最值规律，先对所有点在数轴上排序，再定位中间区间即可快速求解，避免逐段讨论的繁琐步骤。
【难度系数】
0.3
10. 已知在数轴上,点$A,B,C$表示的数分别是$a,b,c$,其中$b$是最小的正整数,且多项式$(a+3)x^{3}+4x^{2}+9x+2$是关于$x$的二次多项式,一次项系数为$c$.
(1) 填空:$a=$
(2) 将数轴折叠,使得点$A$与点$C$重合,点$B$与点$D$重合,则点$D$表示的数是多少?
(3) 若点$A,B,C$分别以每秒$2,1,4$个单位长度的速度同时沿数轴的负方向匀速运动,请判断$BC+3AB$的值是否为定值.若是,请求出相应的定值;若不是,请说明理由.
(1) 填空:$a=$
-3
,$b=$1
,$c=$9
.(2) 将数轴折叠,使得点$A$与点$C$重合,点$B$与点$D$重合,则点$D$表示的数是多少?
(3) 若点$A,B,C$分别以每秒$2,1,4$个单位长度的速度同时沿数轴的负方向匀速运动,请判断$BC+3AB$的值是否为定值.若是,请求出相应的定值;若不是,请说明理由.
答案
10. (1) -3 1 9
(2) 解:因为点A,C表示的数分别为-3,9,所以线段AC的中点表示的数为$\dfrac{-3+9}{2}=3$,所以线段BD的中点表示的数也为3.因为点B表示的数是1,所以点D表示的数是5.
(3) 解:$BC+3AB$的值不是定值.理由如下:
设运动的时间为t s,则点A表示的数是-3-2t,点B表示的数是1-t,点C表示的数是9-4t,所以$BC=|9-4t-(1-t)|=|8-3t|$,$AB=1-t-(-3-2t)=4+t$.当$t＞\dfrac{8}{3}$时,$BC+3AB=3t-8+3(4+t)=6t+4$,不是定值;当$0＜t≤\dfrac{8}{3}$时,$BC+3AB=(8-3t)+3(4+t)=20$.所以$BC+3AB$的值不是定值.
(2) 解:因为点A,C表示的数分别为-3,9,所以线段AC的中点表示的数为$\dfrac{-3+9}{2}=3$,所以线段BD的中点表示的数也为3.因为点B表示的数是1,所以点D表示的数是5.
(3) 解:$BC+3AB$的值不是定值.理由如下:
设运动的时间为t s,则点A表示的数是-3-2t,点B表示的数是1-t,点C表示的数是9-4t,所以$BC=|9-4t-(1-t)|=|8-3t|$,$AB=1-t-(-3-2t)=4+t$.当$t＞\dfrac{8}{3}$时,$BC+3AB=3t-8+3(4+t)=6t+4$,不是定值;当$0＜t≤\dfrac{8}{3}$时,$BC+3AB=(8-3t)+3(4+t)=20$.所以$BC+3AB$的值不是定值.
解析
【分析】
我们可以分三步逐步推导：
1. 解决第一问：首先回忆二次多项式的定义，多项式最高次为2次，说明三次项的系数必须为0，就能求出a；最小的正整数是1，直接得到b；再看给定多项式的一次项系数为9，对应题目条件就能得到c。
2. 解决第二问：数轴折叠后A和C重合，说明折叠轴就是线段AC的中点，折叠后重合的两个点到中点的距离相等，先算出AC的中点对应的数，再利用点B到中点的距离，就能算出和B重合的点D对应的数。
3. 解决第三问：设运动时间为t秒，先写出三个点沿负方向运动t秒后各自对应的数，再用数轴上两点距离公式表示出BC和AB的长度，注意BC的表达式带绝对值，需要分情况讨论绝对值内的正负，代入BC+3AB后就能判断它是不是定值。
【解析】
(1) 已知多项式$(a+3)x^{3}+4x^{2}+9x+2$是关于x的二次多项式，因此三次项系数为0，即$a+3=0$，解得$a=-3$；
b是最小的正整数，因此$b=1$；
多项式的一次项为$9x$，一次项系数为c，因此$c=9$。
(2) 已知点A表示-3，点C表示9，线段AC的中点对应的数为$\frac{-3+9}{2}=3$，即折叠轴对应的数是3。
因为折叠后点B与点D重合，所以BD的中点也为3，设点D表示的数为d，可得$\frac{1+d}{2}=3$，解得$d=5$，即点D表示的数是5。
(3) 设运动时间为t秒，三个点沿数轴负方向运动t秒后：
点A表示的数为$-3-2t$，点B表示的数为$1-t$，点C表示的数为$9-4t$。
计算两点距离：
$AB=(1-t)-(-3-2t)=4+t$，运动过程中A始终在B左侧，可直接去掉绝对值；
$BC=|9-4t-(1-t)|=|8-3t|$，分两种情况讨论：
① 当$0＜t≤\frac{8}{3}$时，$8-3t≥0$，此时$BC=8-3t$，代入得：
$BC+3AB=8-3t + 3(4+t)=8-3t+12+3t=20$
② 当$t＞\frac{8}{3}$时，$8-3t＜0$，此时$BC=3t-8$，代入得：
$BC+3AB=3t-8 + 3(4+t)=3t-8+12+3t=6t+4$，结果随t变化，不是定值。
因此$BC+3AB$的值不是定值。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{9}$；(2) 点D表示的数是$\boldsymbol{5}$；(3) $BC+3AB$的值不是定值。
【知识点】
多项式的次数，数轴折叠对称，数轴动点运算
【点评】
本题是整式基础和数轴性质的综合题，前两问难度较低，第三问的易错点是容易忽略运动时间足够长时，速度更快的点C会运动到点B的左侧，直接去掉绝对值得到定值20，没有对绝对值的正负进行分类讨论导致判断错误，解题时要注意数轴上两点距离的绝对值属性。
【难度系数】
0.5
我们可以分三步逐步推导：
1. 解决第一问：首先回忆二次多项式的定义，多项式最高次为2次，说明三次项的系数必须为0，就能求出a；最小的正整数是1，直接得到b；再看给定多项式的一次项系数为9，对应题目条件就能得到c。
2. 解决第二问：数轴折叠后A和C重合，说明折叠轴就是线段AC的中点，折叠后重合的两个点到中点的距离相等，先算出AC的中点对应的数，再利用点B到中点的距离，就能算出和B重合的点D对应的数。
3. 解决第三问：设运动时间为t秒，先写出三个点沿负方向运动t秒后各自对应的数，再用数轴上两点距离公式表示出BC和AB的长度，注意BC的表达式带绝对值，需要分情况讨论绝对值内的正负，代入BC+3AB后就能判断它是不是定值。
【解析】
(1) 已知多项式$(a+3)x^{3}+4x^{2}+9x+2$是关于x的二次多项式，因此三次项系数为0，即$a+3=0$，解得$a=-3$；
b是最小的正整数，因此$b=1$；
多项式的一次项为$9x$，一次项系数为c，因此$c=9$。
(2) 已知点A表示-3，点C表示9，线段AC的中点对应的数为$\frac{-3+9}{2}=3$，即折叠轴对应的数是3。
因为折叠后点B与点D重合，所以BD的中点也为3，设点D表示的数为d，可得$\frac{1+d}{2}=3$，解得$d=5$，即点D表示的数是5。
(3) 设运动时间为t秒，三个点沿数轴负方向运动t秒后：
点A表示的数为$-3-2t$，点B表示的数为$1-t$，点C表示的数为$9-4t$。
计算两点距离：
$AB=(1-t)-(-3-2t)=4+t$，运动过程中A始终在B左侧，可直接去掉绝对值；
$BC=|9-4t-(1-t)|=|8-3t|$，分两种情况讨论：
① 当$0＜t≤\frac{8}{3}$时，$8-3t≥0$，此时$BC=8-3t$，代入得：
$BC+3AB=8-3t + 3(4+t)=8-3t+12+3t=20$
② 当$t＞\frac{8}{3}$时，$8-3t＜0$，此时$BC=3t-8$，代入得：
$BC+3AB=3t-8 + 3(4+t)=3t-8+12+3t=6t+4$，结果随t变化，不是定值。
因此$BC+3AB$的值不是定值。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-3}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{9}$；(2) 点D表示的数是$\boldsymbol{5}$；(3) $BC+3AB$的值不是定值。
【知识点】
多项式的次数，数轴折叠对称，数轴动点运算
【点评】
本题是整式基础和数轴性质的综合题，前两问难度较低，第三问的易错点是容易忽略运动时间足够长时，速度更快的点C会运动到点B的左侧，直接去掉绝对值得到定值20，没有对绝对值的正负进行分类讨论导致判断错误，解题时要注意数轴上两点距离的绝对值属性。
【难度系数】
0.5
11. 如图,数轴的原点 $O$ 表示学校的位置,超市位于学校正西 $600\ \mathrm{m}$ 的点 $A$ 处,小明家位于学校正东$200\ \mathrm{m}$ 的点 $B$ 处. 小明与妈妈在该超市购物后,同时从超市出发,沿 $AB$ 步行回家,两人的速度大小保持不变. 小明先把部分物品送到家,当小明妈妈行至点 $C$ 处时,小明刚好到家并立即沿原路返回,帮妈妈拿余下的物品. 已知小明妈妈每分钟走$60\ \mathrm{m}.$
（1）小明每分钟走多少米?
（2）两人于何处再次相遇?
（3）从出发到再次相遇前,经过多少分钟时两人相距 $100\ \mathrm{m}?$
（1）小明每分钟走多少米?
（2）两人于何处再次相遇?
（3）从出发到再次相遇前,经过多少分钟时两人相距 $100\ \mathrm{m}?$
答案
11. 解:(1) 由$t=\dfrac{600-120}{60}=8(\min)$可知,小明每分钟走$\dfrac{600+200}{8}=100(\mathrm{m})$.
(2) 设从超市出发x min后两人再次相遇.根据题意,得$60x+100x=2×800$,解得x=10.所以60x=6×10=600(m).所以当妈妈行走了600 m时,两人恰好在学校处再次相遇.
(3) 设从出发到再次相遇前,经过t min时两人相距100 m.同向时,根据题意,得100t-60t=100,解得t=2.5;反向时,根据题意,得$100t+60t=800×2-100$,解得t=9.375.所以从出发到再次相遇前,经过2.5 min或9.375 min时两人相距100 m.
(2) 设从超市出发x min后两人再次相遇.根据题意,得$60x+100x=2×800$,解得x=10.所以60x=6×10=600(m).所以当妈妈行走了600 m时,两人恰好在学校处再次相遇.
(3) 设从出发到再次相遇前,经过t min时两人相距100 m.同向时,根据题意,得100t-60t=100,解得t=2.5;反向时,根据题意,得$100t+60t=800×2-100$,解得t=9.375.所以从出发到再次相遇前,经过2.5 min或9.375 min时两人相距100 m.
解析
【分析】
我们可以按照运动过程逐步梳理解题思路：
1. 第一问求小明速度：两人同时从超市A出发，当妈妈走到C点时小明刚好到家，说明两人这段时间的运动时长完全相等。先算出妈妈从A到C的路程，结合妈妈的速度求出运动时间，再用A到小明家的总路程除以这个相等的时间，就能得到小明的速度。
2. 第二问求相遇位置：小明走到家后立刻原路返回，此时两人相向运动，从出发到相遇两人走过的总路程刚好是2倍的AB总长度，用路程和除以两人的速度和得到总运动时间，再计算妈妈走的总路程，就能确定相遇点的位置。
3. 第三问求相距100m的时间：需要分两类场景讨论：第一类是小明还没走到家，两人同向运动，小明比妈妈多走100m；第二类是小明已经到家掉头返回，两人还没相遇时总路程比2倍AB总长度少100m，分别列方程求解，同时验证解的范围符合运动阶段即可。
【解析】
(1) 先计算妈妈从A点到C点的路程：
$AC=|-120 - (-600)|=480\ \mathrm{m}$
已知妈妈速度为$60\ \mathrm{m/min}$，这段运动的时间为：
$t=\frac{480}{60}=8\ \mathrm{min}$
小明从A点到B点的总路程：
$AB=|200 - (-600)|=800\ \mathrm{m}$
两人运动时间相等，因此小明的速度为：
$v_{\mathrm{明}}=\frac{800}{8}=100\ \mathrm{m/min}$
(2) 设从超市出发$x\ \mathrm{min}$后两人再次相遇，此时两人走过的总路程之和为$2×800=1600\ \mathrm{m}$，列方程：
$60x + 100x = 1600$
解得$x=10$
此时妈妈走过的总路程为$60×10=600\ \mathrm{m}$，从A点向右走600m对应数轴位置为$-600+600=0$，也就是学校的位置。
(3) 设从出发到再次相遇前，经过$t\ \mathrm{min}$两人相距100m，分两种情况：
① 小明尚未到达B点，两人同向运动，路程差为100m：
$100t - 60t = 100$
解得$t=2.5$，满足$t＜8$，符合运动阶段要求。
② 小明已经到达B点掉头返回，两人还未相遇，总路程为$1600-100=1500\ \mathrm{m}$：
$60t + 100t = 1500$
解得$t=9.375$，满足$t＜10$，符合运动阶段要求。
【答案】
(1) 小明每分钟走$\boldsymbol{100\ \mathrm{m}}$；
(2) 两人在学校（数轴原点$O$处）再次相遇；
(3) 经过$\boldsymbol{2.5\ \mathrm{min}}$或$\boldsymbol{9.375\ \mathrm{min}}$时两人相距100m。
【知识点】
数轴应用，一元一次方程行程问题，分类讨论思想
【点评】
本题是结合数轴背景的分段行程实际问题，核心考察用一元一次方程解决运动场景的能力，易错点是第三问相距100m的两类场景容易漏解，需要结合运动的不同阶段逐一分析，同时验证解的取值范围是否符合实际运动过程，能有效锻炼学生的逻辑严谨性。
【难度系数】
0.45
我们可以按照运动过程逐步梳理解题思路：
1. 第一问求小明速度：两人同时从超市A出发，当妈妈走到C点时小明刚好到家，说明两人这段时间的运动时长完全相等。先算出妈妈从A到C的路程，结合妈妈的速度求出运动时间，再用A到小明家的总路程除以这个相等的时间，就能得到小明的速度。
2. 第二问求相遇位置：小明走到家后立刻原路返回，此时两人相向运动，从出发到相遇两人走过的总路程刚好是2倍的AB总长度，用路程和除以两人的速度和得到总运动时间，再计算妈妈走的总路程，就能确定相遇点的位置。
3. 第三问求相距100m的时间：需要分两类场景讨论：第一类是小明还没走到家，两人同向运动，小明比妈妈多走100m；第二类是小明已经到家掉头返回，两人还没相遇时总路程比2倍AB总长度少100m，分别列方程求解，同时验证解的范围符合运动阶段即可。
【解析】
(1) 先计算妈妈从A点到C点的路程：
$AC=|-120 - (-600)|=480\ \mathrm{m}$
已知妈妈速度为$60\ \mathrm{m/min}$，这段运动的时间为：
$t=\frac{480}{60}=8\ \mathrm{min}$
小明从A点到B点的总路程：
$AB=|200 - (-600)|=800\ \mathrm{m}$
两人运动时间相等，因此小明的速度为：
$v_{\mathrm{明}}=\frac{800}{8}=100\ \mathrm{m/min}$
(2) 设从超市出发$x\ \mathrm{min}$后两人再次相遇，此时两人走过的总路程之和为$2×800=1600\ \mathrm{m}$，列方程：
$60x + 100x = 1600$
解得$x=10$
此时妈妈走过的总路程为$60×10=600\ \mathrm{m}$，从A点向右走600m对应数轴位置为$-600+600=0$，也就是学校的位置。
(3) 设从出发到再次相遇前，经过$t\ \mathrm{min}$两人相距100m，分两种情况：
① 小明尚未到达B点，两人同向运动，路程差为100m：
$100t - 60t = 100$
解得$t=2.5$，满足$t＜8$，符合运动阶段要求。
② 小明已经到达B点掉头返回，两人还未相遇，总路程为$1600-100=1500\ \mathrm{m}$：
$60t + 100t = 1500$
解得$t=9.375$，满足$t＜10$，符合运动阶段要求。
【答案】
(1) 小明每分钟走$\boldsymbol{100\ \mathrm{m}}$；
(2) 两人在学校（数轴原点$O$处）再次相遇；
(3) 经过$\boldsymbol{2.5\ \mathrm{min}}$或$\boldsymbol{9.375\ \mathrm{min}}$时两人相距100m。
【知识点】
数轴应用，一元一次方程行程问题，分类讨论思想
【点评】
本题是结合数轴背景的分段行程实际问题，核心考察用一元一次方程解决运动场景的能力，易错点是第三问相距100m的两类场景容易漏解，需要结合运动的不同阶段逐一分析，同时验证解的取值范围是否符合实际运动过程，能有效锻炼学生的逻辑严谨性。
【难度系数】
0.45
