12. 根据所学的知识,解答下面的问题.

【情境背景】
(1) 点 A,B 在数轴上的位置如图 1 所示,则 $AB=$.
【知识延伸】
(2) 如图 2,A,B,M,N 是数轴上的点(点 N 在点 M 的右侧,点 B 在点 A的右侧),且 $AB=2MN$. 当点 M 与点 B 重合时,点 N 表示的数为 28;当点 N 与点 A 重合时,点 M 表示的数为 4. 请借助线段示意图求线段MN 的长.
【知识拓展】
(3) 在(2)的条件下,点 M 从点 A 出发,线段 MN 以每秒 3 个单位长度的速度向右匀速运动,同时线段 AB 以每秒 1 个单位长度的速度也向右匀速运动.
①经过多长时间,线段 MN 完全离开线段 AB?
②P 是线段 MN 上一点,当点 N 在点 B 左侧时,若关系式 $BN - MP=2AP$ 成立,求此时线段 PB的长.

12. (1) 5
(2) 解:如图,当点M与点B重合时,点N表示的数为28,当点N与点A重合时,点M表示的数为4,所以$M_2A+AB+BN_1=M_2N_2+AB+M_1N_1=28-4$.因为AB=2MN,所以4MN=24,所以MN=6.
(3) 解:①由(2)可知,点A表示的数是4+6=10,点B表示的数是28-6=22.设运动的时间为t s,则点M表示的数为10+3t,点N表示的数为10+3t+6=16+3t,点A表示的数为10+t,点B表示的数为22+t.当点M表示的数等于点B表示的数时,MN将完全离开AB,即10+3t=22+t,解得t=6.所以经过6 s,线段MN完全离开线段AB.
②当点N与点B重合,即16+3t=22+t时,解得t=3.所以当$0≤ t＜3$时,线段MN在线段AB上,即点N在点B左侧,所以BN=22+t-(16+3t)=6-2t.设点P表示的数为x,则MP=x-(10+3t),AP=x-(10+t).因为BN-MP=2AP,所以6-2t-[x-(10+3t)]=2[x-(10+t)],整理,得x=t+12,所以PB=22+t-x=22+t-(t+12)=10.

【分析】
首先第(1)问，数轴上两点间的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数，直接读取A、B对应的数值做差即可得到AB长度。
第(2)问，先梳理两个给定状态的位置关系：当M与B重合时N在28，说明BN的长度等于MN；当N与A重合时M在4，说明AM的长度等于MN。两个状态下点M在4、点N在28，两点的总距离是28-4=24，这段总距离刚好可以拆分为AM+AB+BN，代入AB=2MN的条件，就能得到总距离等于4MN，直接求解MN即可。
第(3)问①，先根据第(2)问的结论算出初始状态下A、B对应的数值，再设运动时间为t，分别写出运动后M、N、A、B四个点对应的数的表达式，线段MN完全离开AB的临界条件是点M刚好运动到点B的位置，此时MN的左端点刚好和AB的右端点重合，之后MN就完全离开AB，据此列一元一次方程求解t。
第(3)问②，先算出点N和点B重合时的t值，确定N在B左侧时t的取值范围，把BN、MP、AP都用含t和点P坐标的代数式表示，代入给定的等式化简，消去t后就能得到点P的坐标和t的关系，最后计算PB的长度即可得到定值。
【解析】
(1) 由图1可知，点A表示的数是-2，点B表示的数是3，根据数轴两点距离公式：$AB=3 - (-2)=5$。
(2) 当点M与点B重合时，点N表示的数为28，此时$BN=MN$；当点N与点A重合时，点M表示的数为4，此时$AM=MN$。
点M在4的位置到点N在28的位置的总长度为$28-4=24$，该总长度可表示为$AM + AB + BN$，代入$AM=MN$，$BN=MN$，$AB=2MN$，可得：
$MN + 2MN + MN = 24$
即$4MN=24$，解得$MN=6$。
(3) ① 由(2)的结论$MN=6$，可得点A初始表示的数为$4+6=10$，点B初始表示的数为$28-6=22$。
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，运动后：
点M表示的数为$10+3t$，点N表示的数为$10+3t+6=16+3t$；
线段AB向右运动，点A表示的数为$10+t$，点B表示的数为$22+t$。
当线段MN完全离开线段AB时，MN的左端点M刚好到达AB的右端点B，此时两点数值相等：
$10+3t = 22 + t$
移项得$2t=12$，解得$t=6$。
② 先求点N与点B重合时的t值：$16+3t=22+t$，解得$t=3$，因此当$0≤t＜3$时，点N在点B左侧。
此时BN的长度为点B的数值减去点N的数值：$BN=(22+t)-(16+3t)=6-2t$。
设点P表示的数为$x$，则$MP=x-(10+3t)$，$AP=x-(10+t)$。
代入关系式$BN - MP = 2AP$：
$6-2t - [x-(10+3t)] = 2[x-(10+t)]$
展开整理：$6-2t -x +10 +3t = 2x -20 -2t$
合并同类项：$16 + t -x = 2x -20 -2t$
移项得$3x=36+3t$，即$x=t+12$。
因此PB的长度为点B的数值减去点P的数值：$PB=(22+t)-x=22+t-(t+12)=10$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$；(2) $\boldsymbol{MN=6}$；(3) ① 经过$\boldsymbol{6\ \mathrm{s}}$线段MN完全离开线段AB；② 线段PB的长为$\boldsymbol{10}$
【知识点】
数轴两点间距离，数轴动点问题，一元一次方程应用
【点评】
本题是数轴相关的综合题型，从基础的两点距离计算，到线段数量关系推导，再到动点运动的临界分析和定值求解，层层递进。解题的核心是理清不同状态下各点的位置关系，准确用代数式表示动点对应的数值，通过方程或代数化简消去参数得到结果，能有效锻炼学生的数形结合能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.3

13. 数轴上 A,B 两点表示的数分别为 a,b，AB 表示线段 AB 的长度. 对于线段 AB和线段 AB 上的点 C, 给出如下定义：
$F(C,AB)=\begin{cases}\dfrac{CA}{AB}(CA≥ CB),\\\dfrac{CB}{AB}(CA＜CB),\end{cases}$
此时,我们称 $F(C,AB)$ 是点 $C$ 相对线段 $AB$ 的“幸福值”.
例如:数轴上 A,B 两点表示的数分别为$-2,3$,点 $O$ 是原点,因为 $OA=2,OB=3$,且 $OA＜OB$,所以 $F(O,AB)=\dfrac{OB}{AB}=\dfrac{3}{5}$.
如图,数轴上 A,B 两点对应的数分别为$a,b$,且满足 $|a+6|+|b-18|=0$,

(1) 当点 $C$ 对应的数是 1 时,求 $F(C$,$AB)$的值；
(2) 当 $F(C,AB)=\dfrac{2}{3}$ 时,点 $C$ 对应的数是.
(3) 点 $M,N$ 分别从点 $A,B$ 同时出发,相向运动,点 $N$ 到达点 $A$ 时,点 $M,N$都停止运动. 若点 $M$ 和点 $N$ 的运动速度分别为 3 个单位长度/s 和 4 个单位长度/s,则运动 $t$ s 后,是否存在$F(M,AB)+F(N,AB)=\dfrac{5}{4}$? 若存在,求出 $t$ 的值; 若不存在,请说明理由.

13. (1) 解:由$|a+6|+|b-18|=0$,得a=-6,b=18,故AB=18-(-6)=24.当点C对应的数是1时,CA=1-(-6)=7,CB=18-1=17,所以CA＜CB,所以$F(C,AB)=\dfrac{CB}{AB}=\dfrac{17}{24}$.
(2) 10或2 提示:①当$CA≥ CB$时,$\dfrac{CA}{24}=\dfrac{2}{3}$,解得CA=16,所以点C对应的数为-6+16=10;②当$CA＜CB$时,$\dfrac{CB}{24}=\dfrac{2}{3}$,解得CB=16,所以点C对应的数为18-16=2.
(3) 解:运动t s后,点M对应的数为-6+3t,点N对应的数为18-4t,且0＜t≤6.
对于点M:AM=3t,BM=24-3t,当0＜t＜4时,$F(M,AB)=\dfrac{24-3t}{24}=1-\dfrac{t}{8}$;当4≤t≤6时,$F(M,AB)=\dfrac{3t}{24}=\dfrac{t}{8}$.对于点N:AN=24-4t,BN=4t,当0＜t≤3时,$F(N,AB)=\dfrac{24-4t}{24}=1-\dfrac{t}{6}$;当3＜t＜6时,$F(N,AB)=\dfrac{4t}{24}=\dfrac{t}{6}$.
①当0＜t≤3时,$F(M,AB)+F(N,AB)=(1-\dfrac{t}{8})+(1-\dfrac{t}{6})=\dfrac{5}{4}$,化简,得$2-\dfrac{7t}{24}=\dfrac{5}{4}$,解得$t=\dfrac{18}{7}$.
②当3＜t＜4时,$F(M,AB)+F(N,AB)=(1-\dfrac{t}{8})+\dfrac{t}{6}=\dfrac{5}{4}$,化简,得$1+\dfrac{t}{24}=\dfrac{5}{4}$,解得t=6(不符合题意,舍去).
③当4≤t≤6时,$F(M,AB)+F(N,AB)=\dfrac{t}{8}+\dfrac{t}{6}=\dfrac{5}{4}$,化简,得$\dfrac{7t}{24}=\dfrac{5}{4}$,解得$t=\dfrac{30}{7}$.
综上所述,存在满足条件的t,其值为$\dfrac{18}{7}$或$\dfrac{30}{7}$.

【分析】
这是一道新定义结合数轴的综合题型，解题思路如下：
1. 首先利用绝对值的非负性，两个非负数的和为0则各自为0，求出a、b的数值，计算出线段AB的总长度，作为后续所有计算的基础。
2. 第(1)问：先计算点C到A、点C到B的距离，比较两者的大小，匹配题目给出的“幸福值”的分段规则，代入对应公式直接计算即可。
3. 第(2)问：已知幸福值为2/3，反向分两种情况讨论：当CA≥CB时代入CA/AB=2/3，当CA＜CB时代入CB/AB=2/3，分别算出对应线段长度，再结合A、B的坐标推导点C对应的数。
4. 第(3)问：先根据动点的起点、速度写出t秒后M、N对应的数，先确定t的合法取值范围，再分别对点M、点N比较它们到A、B的距离大小，划分不同的t的区间，得到每个区间下两个“幸福值”的表达式，分区间列方程求解，最后检验解是否落在对应区间内，舍去不符合的增根，得到最终符合要求的t值。
【解析】
(1) 由绝对值的非负性可知，|a+6|≥0，|b-18|≥0，两者相加为0则：
a+6=0，b-18=0，解得a=-6，b=18。
因此AB的长度为18 - (-6)=24。
当点C对应数为1时，CA=1 - (-6)=7，CB=18 - 1=17，可得CA＜CB，
代入幸福值定义得：$F(C,AB)=\frac{CB}{AB}=\frac{17}{24}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当CA≥CB时，$\frac{CA}{24}=\frac{2}{3}$，解得CA=16，点C对应的数为-6+16=10；
② 当CA＜CB时，$\frac{CB}{24}=\frac{2}{3}$，解得CB=16，点C对应的数为18-16=2。
因此点C对应的数为2或10。
(3) 运动t秒后，点M对应的数为-6+3t，点N对应的数为18-4t，点N从B到A总路程为24，速度为4，因此总运动时间上限为24÷4=6，即0＜t≤6。
对点M分析：AM=3t，BM=24-3t，当3t≥24-3t即t≥4时，F(M,AB)=$\frac{3t}{24}=\frac{t}{8}$；当0＜t＜4时，F(M,AB)=$\frac{24-3t}{24}=1-\frac{t}{8}$。
对点N分析：AN=24-4t，BN=4t，当4t≥24-4t即t≥3时，F(N,AB)=$\frac{4t}{24}=\frac{t}{6}$；当0＜t≤3时，F(N,AB)=$\frac{24-4t}{24}=1-\frac{t}{6}$。
接下来分三个区间列方程：
① 当0＜t≤3时：
$(1-\frac{t}{8})+(1-\frac{t}{6})=\frac{5}{4}$，化简得$2-\frac{7t}{24}=\frac{5}{4}$，解得$t=\frac{18}{7}$，该值在0＜t≤3范围内，符合要求。
② 当3＜t＜4时：
$(1-\frac{t}{8})+\frac{t}{6}=\frac{5}{4}$，化简得$1+\frac{t}{24}=\frac{5}{4}$，解得t=6，不在3＜t＜4范围内，舍去。
③ 当4≤t≤6时：
$\frac{t}{8}+\frac{t}{6}=\frac{5}{4}$，化简得$\frac{7t}{24}=\frac{5}{4}$，解得$t=\frac{30}{7}$，该值在4≤t≤6范围内，符合要求。
综上存在满足条件的t值。
【答案】
(1) $\frac{17}{24}$；(2) 2或10；(3) 存在，t的值为$\frac{18}{7}$或$\frac{30}{7}$
【知识点】
绝对值非负性，数轴动点问题，分类讨论思想
【点评】
本题是典型的新定义综合题，结合数轴动点考察分类讨论能力，核心要求是先准确理解“幸福值”的分段规则，根据点的位置合理划分讨论区间，列方程求解后必须验证解是否落在对应区间内，避免出现增根，学生容易出现分类遗漏、忘记舍去不符合条件的解的问题。
【难度系数】
0.3