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1. 先仔细观察,再根据发现的规律把算式写完整。
$1×3+1=2^{2},2×4+1=3^{2},3×5+1=4^{2},...$
$(\quad\quad)×(\quad\quad)+1=2022^{2}$
$a×(a+2)+1=(\quad\quad)^{2}(a\mathrm{为自然数})$
$1×3+1=2^{2},2×4+1=3^{2},3×5+1=4^{2},...$
$(\quad\quad)×(\quad\quad)+1=2022^{2}$
$a×(a+2)+1=(\quad\quad)^{2}(a\mathrm{为自然数})$
答案
1. 2021 2023 a+1
解析
【分析】首先观察已知算式，总结数字变化规律：每个算式中，等式右边是一个数的平方，左边第一个乘数比该平方数的底数小1，第二个乘数比该平方数的底数大1，且满足“（底数-1）×（底数+1）+1=底数²”。根据此规律，当等式右边为2022²时，可反推左边的两个乘数；对于一般式，直接对应规律即可得出结果。
【解析】观察已知算式：$1×3+1=2^2$（2-1=1，2+1=3），$2×4+1=3^2$（3-1=2，3+1=4），$3×5+1=4^2$（4-1=3，4+1=5），总结规律：若等式右边为$k^2$，则左边为$(k-1)×(k+1)+1$。当$k=2022$时，左边第一个乘数为$2022-1=2021$，第二个乘数为$2022+1=2023$，即$2021×2023+1=2022^2$；对于一般式$a×(a+2)+1$，对应规律中$k=a+1$，故结果为$(a+1)^2$。
【答案】2021 2023 a+1
【知识点】找规律、代数式运算
【点评】本题通过观察算式归纳规律，考查学生的观察能力和归纳总结能力，属于基础规律应用题型，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】观察已知算式：$1×3+1=2^2$（2-1=1，2+1=3），$2×4+1=3^2$（3-1=2，3+1=4），$3×5+1=4^2$（4-1=3，4+1=5），总结规律：若等式右边为$k^2$，则左边为$(k-1)×(k+1)+1$。当$k=2022$时，左边第一个乘数为$2022-1=2021$，第二个乘数为$2022+1=2023$，即$2021×2023+1=2022^2$；对于一般式$a×(a+2)+1$，对应规律中$k=a+1$，故结果为$(a+1)^2$。
【答案】2021 2023 a+1
【知识点】找规律、代数式运算
【点评】本题通过观察算式归纳规律，考查学生的观察能力和归纳总结能力，属于基础规律应用题型，难度适中。
【难度系数】0.5
2.(真题·金华兰溪)观察下列算式,找规律并填空。
12345679×9=111111111
12345679×18=222222222
12345679×27=333333333
12345679×36=(
…
(
12345679×9=111111111
12345679×18=222222222
12345679×27=333333333
12345679×36=(
444444444
)…
(
12345679
)×(81
)=999999999答案
2. 444444444 12345679 81
解析
【分析】
先观察给出的算式，发现第一个乘数固定为12345679，第二个乘数依次是9的1倍、2倍、3倍……，对应的积分别是111111111、222222222、333333333……，由此总结规律：12345679乘9的n倍（n为正整数），所得的积是由n个相同数字组成的9位数，数字为n。再根据规律计算填空即可。
【解析】
1. 计算12345679×36：因为36=9×4，根据规律，n=4，所以积是4个1组成的9位数，即444444444；
2. 找积为999999999的算式：积是9个1，对应n=9，所以第二个乘数是9×9=81，第一个乘数仍为12345679，即12345679×81=999999999。
【答案】
444444444；12345679；81
【知识点】
找规律、乘法运算
【点评】
本题是规律探究类题目，通过观察算式中乘数与积的变化关系总结规律，考查学生的观察、归纳推理能力，题型基础且典型。
【难度系数】
0.3
先观察给出的算式，发现第一个乘数固定为12345679，第二个乘数依次是9的1倍、2倍、3倍……，对应的积分别是111111111、222222222、333333333……，由此总结规律：12345679乘9的n倍（n为正整数），所得的积是由n个相同数字组成的9位数，数字为n。再根据规律计算填空即可。
【解析】
1. 计算12345679×36：因为36=9×4，根据规律，n=4，所以积是4个1组成的9位数，即444444444；
2. 找积为999999999的算式：积是9个1，对应n=9，所以第二个乘数是9×9=81，第一个乘数仍为12345679，即12345679×81=999999999。
【答案】
444444444；12345679；81
【知识点】
找规律、乘法运算
【点评】
本题是规律探究类题目，通过观察算式中乘数与积的变化关系总结规律，考查学生的观察、归纳推理能力，题型基础且典型。
【难度系数】
0.3
3.(真题·衢州衢江、常山)$1!=1;2!=1×2;3!=1×2×3;4!=1×2×3×4$,那么$\dfrac{2023!}{2024!}=(\quad\quad)$。
答案
3. $\dfrac{1}{2024}$
解析:观察可知$\dfrac{2023!}{2024!}=\dfrac{1×2×3×4×\dots×2022×2023}{1×2×3×4×\dots×2022×2023×2024}=\dfrac{1}{2024}$。
解析:观察可知$\dfrac{2023!}{2024!}=\dfrac{1×2×3×4×\dots×2022×2023}{1×2×3×4×\dots×2022×2023×2024}=\dfrac{1}{2024}$。
解析
【分析】首先明确阶乘的定义：$n!$表示从1开始连续乘到$n$的所有正整数的乘积。观察所求分式的分子和分母，可将$2024!$转化为$2023!×2024$，通过约分公共因子快速计算结果。
【解析】根据阶乘定义：
$2023! = 1×2×3×\dots×2022×2023$
$2024! = 1×2×3×\dots×2022×2023×2024$
则$\dfrac{2023!}{2024!} = \dfrac{1×2×3×\dots×2022×2023}{1×2×3×\dots×2022×2023×2024}$，分子分母中从1到2023的部分完全相同，约分后得$\dfrac{1}{2024}$。
【答案】$\dfrac{1}{2024}$
【知识点】阶乘的概念、分式约分
【点评】本题考查对阶乘定义的基础应用，属于简单运算题，只要理解阶乘的含义即可轻松解答。
【难度系数】0.9
【解析】根据阶乘定义：
$2023! = 1×2×3×\dots×2022×2023$
$2024! = 1×2×3×\dots×2022×2023×2024$
则$\dfrac{2023!}{2024!} = \dfrac{1×2×3×\dots×2022×2023}{1×2×3×\dots×2022×2023×2024}$，分子分母中从1到2023的部分完全相同，约分后得$\dfrac{1}{2024}$。
【答案】$\dfrac{1}{2024}$
【知识点】阶乘的概念、分式约分
【点评】本题考查对阶乘定义的基础应用，属于简单运算题，只要理解阶乘的含义即可轻松解答。
【难度系数】0.9
4.(真题·温州永嘉)$17×14$我们可以借助长方形模型帮助计算,如右图,$17×14=10×10+10×7+(\_\_\_\_\_\_)+7×4$。
答案
4. $4×10$
解析
【分析】这道题借助长方形模型计算两位数乘两位数，核心是利用多项式乘法分配律（数形结合思想）。首先把17拆成10+7，14拆成10+4，整个大长方形的面积等于四个小长方形面积之和，对应展开式的四项，对比已知的三项即可找出缺失项。
【解析】将17分解为10+7，14分解为10+4，根据多项式乘法分配律：$(10+7)×(10+4)=10×10 +10×4 +7×10 +7×4$，对比题目给出的式子$10×10+10×7+( )+7×4$，可知缺失的项是$10×4$，即$4×10$。
【答案】$4×10$
【知识点】多项式乘法分配律，数形结合
【点评】本题通过长方形面积模型直观展示两位数乘两位数的计算原理，将抽象的乘法分配律转化为具体的几何面积，帮助学生理解算理，是数形结合的典型基础题，能巩固乘法分配律的应用。
【难度系数】0.6
【解析】将17分解为10+7，14分解为10+4，根据多项式乘法分配律：$(10+7)×(10+4)=10×10 +10×4 +7×10 +7×4$，对比题目给出的式子$10×10+10×7+( )+7×4$，可知缺失的项是$10×4$，即$4×10$。
【答案】$4×10$
【知识点】多项式乘法分配律，数形结合
【点评】本题通过长方形面积模型直观展示两位数乘两位数的计算原理，将抽象的乘法分配律转化为具体的几何面积，帮助学生理解算理，是数形结合的典型基础题，能巩固乘法分配律的应用。
【难度系数】0.6
5.(真题·衢州江山、开化)如图,用小棒摆五边形,按照这样的方法继续摆下去,摆第6幅图需要(
25
)根小棒,摆第n幅图需要(4n+1
)根小棒。答案
5. 25 $4n+1$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先数出每幅图的小棒数量，对比相邻图形的小棒数变化，归纳出通用规律，再代入计算第6幅图的小棒数。
【解析】
步骤1：统计每幅图的小棒数
第1幅图：1个五边形，小棒数为5；
第2幅图：2个五边形共用1根小棒，小棒数为5 + 4 =9；
第3幅图：3个五边形，比第2幅多1个五边形，新增4根小棒，小棒数为9 +4=13；
步骤2：总结规律
观察数量：第1幅5=4×1 +1，第2幅9=4×2 +1，第3幅13=4×3 +1，可得第n幅图的小棒数为4n +1；
步骤3：计算第6幅图的小棒数
当n=6时，代入公式得4×6 +1=25；
【答案】
25；4n+1
【知识点】
图形规律探索、代数式表示规律
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，通过观察相邻图形的小棒数量变化，归纳出线性规律，难度适中，考查学生的观察与归纳能力。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，我们需要先数出每幅图的小棒数量，对比相邻图形的小棒数变化，归纳出通用规律，再代入计算第6幅图的小棒数。
【解析】
步骤1：统计每幅图的小棒数
第1幅图：1个五边形，小棒数为5；
第2幅图：2个五边形共用1根小棒，小棒数为5 + 4 =9；
第3幅图：3个五边形，比第2幅多1个五边形，新增4根小棒，小棒数为9 +4=13；
步骤2：总结规律
观察数量：第1幅5=4×1 +1，第2幅9=4×2 +1，第3幅13=4×3 +1，可得第n幅图的小棒数为4n +1；
步骤3：计算第6幅图的小棒数
当n=6时，代入公式得4×6 +1=25；
【答案】
25；4n+1
【知识点】
图形规律探索、代数式表示规律
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，通过观察相邻图形的小棒数量变化，归纳出线性规律，难度适中，考查学生的观察与归纳能力。
【难度系数】
0.5
6.(真题·台州温岭)如下图所示,将一些○按一定的规律摆放,所得到的各图形中○的个数依次是 6,10,16,24,…。
(1)第6个图形中有(
(2)如果有 424 个○,则它是第(
(1)第6个图形中有(
46
)个○。(2)如果有 424 个○,则它是第(
20
)个图形。答案
6. (1)46 (2)20
解析:图形中四周四个不变,中间摆成矩形的图片行、列数都比前一个图形多1。第n个图形圆片数为$n·(n+1)+4$。
解析:图形中四周四个不变,中间摆成矩形的图片行、列数都比前一个图形多1。第n个图形圆片数为$n·(n+1)+4$。
解析
【分析】
先观察各图形中○的数量，第1个图形有6个，第2个有10个，第3个有16个，第4个有24个。通过对比图形序号n与对应○的个数，可归纳出规律：第n个图形的○个数为$n(n+1)+4$。利用该规律，第(1)问直接代入n=6计算即可；第(2)问将总个数424代入公式，通过解方程求出对应的n值。
【解析】
推导规律：
当n=1时，$1×(1+1)+4=6$，符合第1个图形的○个数；
当n=2时，$2×(2+1)+4=10$，符合第2个图形的○个数；
当n=3时，$3×(3+1)+4=16$，符合第3个图形的○个数；
当n=4时，$4×(4+1)+4=24$，符合第4个图形的○个数；
因此，第n个图形中○的个数公式为：$a_n = n(n+1)+4$。
(1) 求第6个图形的○个数：
将n=6代入公式，得$a_6 = 6×(6+1)+4 = 42+4=46$；
(2) 求○个数为424对应的图形序号：
令$n(n+1)+4=424$，整理得$n^2 +n -420=0$，
解此一元二次方程，判别式$\Delta=1^2 +4×420=1681=41^2$，
正根为$n=\frac{-1+41}{2}=20$（负根舍去，图形序号为正整数）。
【答案】
(1)46；(2)20
【知识点】
图形规律、一元二次方程应用
【点评】
本题是图形规律探究题，核心是通过观察归纳出通项公式，再结合公式解决问题，需掌握一元二次方程的求解方法，难度适中。
【难度系数】
0.5
先观察各图形中○的数量，第1个图形有6个，第2个有10个，第3个有16个，第4个有24个。通过对比图形序号n与对应○的个数，可归纳出规律：第n个图形的○个数为$n(n+1)+4$。利用该规律，第(1)问直接代入n=6计算即可；第(2)问将总个数424代入公式，通过解方程求出对应的n值。
【解析】
推导规律：
当n=1时，$1×(1+1)+4=6$，符合第1个图形的○个数；
当n=2时，$2×(2+1)+4=10$，符合第2个图形的○个数；
当n=3时，$3×(3+1)+4=16$，符合第3个图形的○个数；
当n=4时，$4×(4+1)+4=24$，符合第4个图形的○个数；
因此，第n个图形中○的个数公式为：$a_n = n(n+1)+4$。
(1) 求第6个图形的○个数：
将n=6代入公式，得$a_6 = 6×(6+1)+4 = 42+4=46$；
(2) 求○个数为424对应的图形序号：
令$n(n+1)+4=424$，整理得$n^2 +n -420=0$，
解此一元二次方程，判别式$\Delta=1^2 +4×420=1681=41^2$，
正根为$n=\frac{-1+41}{2}=20$（负根舍去，图形序号为正整数）。
【答案】
(1)46；(2)20
【知识点】
图形规律、一元二次方程应用
【点评】
本题是图形规律探究题，核心是通过观察归纳出通项公式，再结合公式解决问题，需掌握一元二次方程的求解方法，难度适中。
【难度系数】
0.5
