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三、解答题
11.把下列各数分别填入相应的横线上(只填序号):
①15;②$3-π$;③$\sqrt[3]{3}$;④$-\frac{1}{3}$;⑤$-0.273\ 273\ 273···$;⑥$-|-3|$;⑦0;⑧$\sqrt{5}$;
⑨$\sqrt[3]{-125}$;⑩1.101 001 000 1……(相邻两个1之间依次多一个0).
(1)自然数:
(2)负整数:
(3)有理数:
(4)无理数:
(5)非负实数:
11.把下列各数分别填入相应的横线上(只填序号):
①15;②$3-π$;③$\sqrt[3]{3}$;④$-\frac{1}{3}$;⑤$-0.273\ 273\ 273···$;⑥$-|-3|$;⑦0;⑧$\sqrt{5}$;
⑨$\sqrt[3]{-125}$;⑩1.101 001 000 1……(相邻两个1之间依次多一个0).
(1)自然数:
①⑦
;(2)负整数:
⑥⑨
;(3)有理数:
①④⑤⑥⑦⑨
;(4)无理数:
②③⑧⑩
;(5)非负实数:
①③⑦⑧⑩
.答案
11.解:(1)①⑦ (2)⑥⑨ (3)①④⑤⑥⑦⑨
(4)②③⑧⑩ (5)①③⑦⑧⑩
(4)②③⑧⑩ (5)①③⑦⑧⑩
解析
【分析】
解题时首先对题目中含有绝对值、开方运算的数进行化简，再逐一回忆各数集的定义：①自然数是指非负整数（0和正整数）；②负整数是小于0的整数；③有理数包含整数和分数（有限小数、无限循环小数都属于分数）；④无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的代数式、开方开不尽的数、有规律但不循环的无限小数；⑤非负实数是指大于等于0的所有实数。最后将每个数对应到符合的分类中即可。
【解析】
首先化简带运算的数：⑥$-|-3|=-3$，⑨$\sqrt[3]{-125}=-5$。
逐个分析各数属性：
①15：正整数，属于自然数、有理数、非负实数；
②$3-π$：$π$是无限不循环小数，故$3-π$是无限不循环小数，属于无理数；
③$\sqrt[3]{3}$：开立方开不尽，是正的无限不循环小数，属于无理数、非负实数；
④$-\frac{1}{3}$：负分数，属于有理数；
⑤$-0.273273273···$：无限循环小数，属于有理数；
⑥$-|-3|=-3$：负整数，属于有理数；
⑦0：非负整数，属于自然数、有理数、非负实数；
⑧$\sqrt{5}$：开平方开不尽，是正的无限不循环小数，属于无理数、非负实数；
⑨$\sqrt[3]{-125}=-5$：负整数，属于有理数；
⑩$1.1010010001···$（相邻两个1之间依次多一个0）：无限不循环小数，属于无理数、非负实数。
据此分类：
(1)自然数：①⑦
(2)负整数：⑥⑨
(3)有理数：①④⑤⑥⑦⑨
(4)无理数：②③⑧⑩
(5)非负实数：①③⑦⑧⑩
【答案】
(1)①⑦ (2)⑥⑨ (3)①④⑤⑥⑦⑨ (4)②③⑧⑩ (5)①③⑦⑧⑩
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题重点考查实数的分类标准，解题的关键是先化简含有运算的数，再准确匹配各类数的定义，尤其要注意：无限循环小数是有理数，有规律但不循环的无限小数属于无理数，避免出现概念混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先对题目中含有绝对值、开方运算的数进行化简，再逐一回忆各数集的定义：①自然数是指非负整数（0和正整数）；②负整数是小于0的整数；③有理数包含整数和分数（有限小数、无限循环小数都属于分数）；④无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的代数式、开方开不尽的数、有规律但不循环的无限小数；⑤非负实数是指大于等于0的所有实数。最后将每个数对应到符合的分类中即可。
【解析】
首先化简带运算的数：⑥$-|-3|=-3$，⑨$\sqrt[3]{-125}=-5$。
逐个分析各数属性：
①15：正整数，属于自然数、有理数、非负实数；
②$3-π$：$π$是无限不循环小数，故$3-π$是无限不循环小数，属于无理数；
③$\sqrt[3]{3}$：开立方开不尽，是正的无限不循环小数，属于无理数、非负实数；
④$-\frac{1}{3}$：负分数，属于有理数；
⑤$-0.273273273···$：无限循环小数，属于有理数；
⑥$-|-3|=-3$：负整数，属于有理数；
⑦0：非负整数，属于自然数、有理数、非负实数；
⑧$\sqrt{5}$：开平方开不尽，是正的无限不循环小数，属于无理数、非负实数；
⑨$\sqrt[3]{-125}=-5$：负整数，属于有理数；
⑩$1.1010010001···$（相邻两个1之间依次多一个0）：无限不循环小数，属于无理数、非负实数。
据此分类：
(1)自然数：①⑦
(2)负整数：⑥⑨
(3)有理数：①④⑤⑥⑦⑨
(4)无理数：②③⑧⑩
(5)非负实数：①③⑦⑧⑩
【答案】
(1)①⑦ (2)⑥⑨ (3)①④⑤⑥⑦⑨ (4)②③⑧⑩ (5)①③⑦⑧⑩
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题重点考查实数的分类标准，解题的关键是先化简含有运算的数，再准确匹配各类数的定义，尤其要注意：无限循环小数是有理数，有规律但不循环的无限小数属于无理数，避免出现概念混淆。
【难度系数】
0.7
12.计算：
(1) $\sqrt{59}(\sqrt{59}-\dfrac{2}{\sqrt{59}})$；
(2) $\sqrt{16^3}+\sqrt{16}+\sqrt[3]{-13}×\sqrt[3]{13}×(-\sqrt[3]{13})$。
(1) $\sqrt{59}(\sqrt{59}-\dfrac{2}{\sqrt{59}})$；
(2) $\sqrt{16^3}+\sqrt{16}+\sqrt[3]{-13}×\sqrt[3]{13}×(-\sqrt[3]{13})$。
答案
12.解:(1)57 (2)81
解析
【分析】
第(1)题可利用乘法分配律展开计算，避免通分的繁琐，展开后根据二次根式的性质$\sqrt{a} · \sqrt{a}=a(a≥0)$分别计算两项再求差即可；第(2)题将式子拆分为三个部分分别计算，先处理二次根式的开方运算，再利用立方根的运算性质计算三次根式的乘积，注意先判断符号，最后将各部分结果相加得到最终答案。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{59} × \sqrt{59} - \sqrt{59} × \frac{2}{\sqrt{59}}\\&=59 - 2\\&=57\end{aligned}$
(2) 分别计算每一项后求和：
① 计算$\sqrt{16^3}$：$\sqrt{16^3}=\sqrt{16^2 × 16}=16 × 4=64$
② 计算$\sqrt{16}$：$\sqrt{16}=4$
③ 计算立方根乘积项：
$\begin{aligned}\sqrt[3]{-13} × \sqrt[3]{13} × (-\sqrt[3]{13})&=(-1) × (-1) × (\sqrt[3]{13} × \sqrt[3]{13} × \sqrt[3]{13})\\&=1 × \sqrt[3]{13^3}\\&=13\end{aligned}$
将三项相加：$64+4+13=81$
【答案】
(1) $\boldsymbol{57}$；(2) $\boldsymbol{81}$
【知识点】
乘法分配律、二次根式运算、立方根运算
【点评】
本题属于根式基础运算题，熟练运用运算律和根式的性质能大幅简化计算过程，运算时要注意符号判断，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
第(1)题可利用乘法分配律展开计算，避免通分的繁琐，展开后根据二次根式的性质$\sqrt{a} · \sqrt{a}=a(a≥0)$分别计算两项再求差即可；第(2)题将式子拆分为三个部分分别计算，先处理二次根式的开方运算，再利用立方根的运算性质计算三次根式的乘积，注意先判断符号，最后将各部分结果相加得到最终答案。
【解析】
(1) 利用乘法分配律展开：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{59} × \sqrt{59} - \sqrt{59} × \frac{2}{\sqrt{59}}\\&=59 - 2\\&=57\end{aligned}$
(2) 分别计算每一项后求和：
① 计算$\sqrt{16^3}$：$\sqrt{16^3}=\sqrt{16^2 × 16}=16 × 4=64$
② 计算$\sqrt{16}$：$\sqrt{16}=4$
③ 计算立方根乘积项：
$\begin{aligned}\sqrt[3]{-13} × \sqrt[3]{13} × (-\sqrt[3]{13})&=(-1) × (-1) × (\sqrt[3]{13} × \sqrt[3]{13} × \sqrt[3]{13})\\&=1 × \sqrt[3]{13^3}\\&=13\end{aligned}$
将三项相加：$64+4+13=81$
【答案】
(1) $\boldsymbol{57}$；(2) $\boldsymbol{81}$
【知识点】
乘法分配律、二次根式运算、立方根运算
【点评】
本题属于根式基础运算题，熟练运用运算律和根式的性质能大幅简化计算过程，运算时要注意符号判断，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
13. 在数轴上标出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“＞”连接：$|-\sqrt{2}|,-\sqrt{3},5,-(-\sqrt{8}),-\sqrt{13},π.$ 
答案
13.解:$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2},-(-\sqrt{8})=\sqrt{8}$,如图所示.
则 $5＞π＞-(-\sqrt{8})＞|-√2|＞-√3＞-√13$.
解析
【分析】
解题时按三步思考即可：第一步，先化简题目中含有绝对值、多重负号的数，得到最简形式；第二步，估算每个无理数的大致取值范围，确定它们在数轴上对应的位置，按要求标注在数轴上；第三步，根据数轴上“右边的数总比左边的数大”的规律，将所有数从大到小排列即可。
【解析】
1. 化简各数：
根据绝对值的性质可得$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$，根据多重符号化简规则可得$-(-\sqrt{8})=\sqrt{8}$。
2. 估算各无理数的取值范围，确定数轴位置：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，所以$3＜\sqrt{13}＜4$，即$-4＜-\sqrt{13}＜-3$；
因为$1^2=1$，$2^2=4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$，即$-2＜-\sqrt{3}＜-1$；
因为$1^2=1$，$2^2=4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$，即$1＜|-\sqrt{2}|＜2$；
因为$2^2=4$，$3^2=9$，所以$2＜\sqrt{8}＜3$，即$2＜-(-\sqrt{8})＜3$；
$π\approx3.14$，即$3＜π＜4$；5对应数轴上刻度5的位置。
3. 将各数标注在数轴上后，根据数轴上右侧的数大于左侧的数的性质，即可得到大小排序。
【答案】
解:$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2},-(-\sqrt{8})=\sqrt{8}$,如图所示.
则 $5＞π＞-(-\sqrt{8})＞|-√2|＞-√3＞-√13$.
【知识点】
实数与数轴，实数大小比较，绝对值的性质
【点评】
本题是实数章节的基础典型题，解题核心是先正确化简含绝对值、多重符号的数，再准确估算无理数的取值范围，结合数轴的性质即可完成排序。
【难度系数】
0.7
解题时按三步思考即可：第一步，先化简题目中含有绝对值、多重负号的数，得到最简形式；第二步，估算每个无理数的大致取值范围，确定它们在数轴上对应的位置，按要求标注在数轴上；第三步，根据数轴上“右边的数总比左边的数大”的规律，将所有数从大到小排列即可。
【解析】
1. 化简各数：
根据绝对值的性质可得$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$，根据多重符号化简规则可得$-(-\sqrt{8})=\sqrt{8}$。
2. 估算各无理数的取值范围，确定数轴位置：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，所以$3＜\sqrt{13}＜4$，即$-4＜-\sqrt{13}＜-3$；
因为$1^2=1$，$2^2=4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$，即$-2＜-\sqrt{3}＜-1$；
因为$1^2=1$，$2^2=4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$，即$1＜|-\sqrt{2}|＜2$；
因为$2^2=4$，$3^2=9$，所以$2＜\sqrt{8}＜3$，即$2＜-(-\sqrt{8})＜3$；
$π\approx3.14$，即$3＜π＜4$；5对应数轴上刻度5的位置。
3. 将各数标注在数轴上后，根据数轴上右侧的数大于左侧的数的性质，即可得到大小排序。
【答案】
解:$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2},-(-\sqrt{8})=\sqrt{8}$,如图所示.
则 $5＞π＞-(-\sqrt{8})＞|-√2|＞-√3＞-√13$.
【知识点】
实数与数轴，实数大小比较，绝对值的性质
【点评】
本题是实数章节的基础典型题，解题核心是先正确化简含绝对值、多重符号的数，再准确估算无理数的取值范围，结合数轴的性质即可完成排序。
【难度系数】
0.7
14.某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间 t(h)可以用公式 $t^2=\frac{d^3}{900}$ 来估计，其中d(km)是雷雨区域的直径。
(1)如果某场雷雨区域的直径是10 km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？(结果保留根号)
(2)如果某场雷雨持续了20 min，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？(结果精确到0.1 km；参考数据：$\sqrt[3]{100}\approx4.64$)
(1)如果某场雷雨区域的直径是10 km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？(结果保留根号)
(2)如果某场雷雨持续了20 min，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？(结果精确到0.1 km；参考数据：$\sqrt[3]{100}\approx4.64$)
答案
14.解:(1)把 $d=10$ 代入 $t^2=\frac{d^3}{900}$,
得 $t^2=\frac{10^3}{900}=\frac{1\ 000}{900},\therefore t=\sqrt{\frac{1\ 000}{900}}=\frac{\sqrt{10}}{3}(\mathrm{h}).$
答:这场雷雨大约能持续 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ h.
(2)$20\ \mathrm{min}=\frac{1}{3}\mathrm{h}$,把 $t=\frac{1}{3}$代入 $t^2=\frac{d^3}{900}$,
得 $(\frac{1}{3})^2=\frac{d^3}{900},\therefore d=\sqrt[3]{100}\approx4.64\approx4.6(\mathrm{km}).$
答:这场雷雨区域的直径大约是 4.6 km.
得 $t^2=\frac{10^3}{900}=\frac{1\ 000}{900},\therefore t=\sqrt{\frac{1\ 000}{900}}=\frac{\sqrt{10}}{3}(\mathrm{h}).$
答:这场雷雨大约能持续 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ h.
(2)$20\ \mathrm{min}=\frac{1}{3}\mathrm{h}$,把 $t=\frac{1}{3}$代入 $t^2=\frac{d^3}{900}$,
得 $(\frac{1}{3})^2=\frac{d^3}{900},\therefore d=\sqrt[3]{100}\approx4.64\approx4.6(\mathrm{km}).$
答:这场雷雨区域的直径大约是 4.6 km.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：(1)第一问已知雷雨区域直径d，求持续时间t，只需将d的数值直接代入给定公式，由于时间t为正数，对计算出的t²开算术平方根，再化简为最简二次根式即可；(2)第二问已知雷雨持续时间，首先要统一单位，将分钟换算为小时，再把t的数值代入公式，变形求出d³的值，最后开立方结合参考数据按精度要求取近似值即可，注意实际问题中直径d也取正数。
【解析】
(1) 将$d=10$代入公式$t^2=\frac{d^3}{900}$，可得：
$t^2=\frac{10^3}{900}=\frac{1000}{900}$
因为雷雨持续时间t为正数，所以：
$t=\sqrt{\frac{1000}{900}}=\frac{\sqrt{10}}{3}(\mathrm{h})$
(2) 先统一单位：$20\ \mathrm{min}=\frac{20}{60}\mathrm{h}=\frac{1}{3}\mathrm{h}$
将$t=\frac{1}{3}$代入公式$t^2=\frac{d^3}{900}$，可得：
$(\frac{1}{3})^2=\frac{d^3}{900}$
即$\frac{1}{9}=\frac{d^3}{900}$，变形得$d^3=100$
因为雷雨区域直径d为正数，所以：
$d=\sqrt[3]{100}\approx4.64\approx4.6(\mathrm{km})$
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{10}}{3}$ h；
(2) 4.6 km。
【知识点】
代数式求值、二次根式化简、立方根计算
【点评】
本题结合气象生活场景考察代数公式的实际运用，解题时需要注意两个易错点：一是第二问要先统一时间单位，避免直接用分钟代入计算出错；二是开方时要结合实际意义取正根，近似计算要符合题目要求的精度。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：(1)第一问已知雷雨区域直径d，求持续时间t，只需将d的数值直接代入给定公式，由于时间t为正数，对计算出的t²开算术平方根，再化简为最简二次根式即可；(2)第二问已知雷雨持续时间，首先要统一单位，将分钟换算为小时，再把t的数值代入公式，变形求出d³的值，最后开立方结合参考数据按精度要求取近似值即可，注意实际问题中直径d也取正数。
【解析】
(1) 将$d=10$代入公式$t^2=\frac{d^3}{900}$，可得：
$t^2=\frac{10^3}{900}=\frac{1000}{900}$
因为雷雨持续时间t为正数，所以：
$t=\sqrt{\frac{1000}{900}}=\frac{\sqrt{10}}{3}(\mathrm{h})$
(2) 先统一单位：$20\ \mathrm{min}=\frac{20}{60}\mathrm{h}=\frac{1}{3}\mathrm{h}$
将$t=\frac{1}{3}$代入公式$t^2=\frac{d^3}{900}$，可得：
$(\frac{1}{3})^2=\frac{d^3}{900}$
即$\frac{1}{9}=\frac{d^3}{900}$，变形得$d^3=100$
因为雷雨区域直径d为正数，所以：
$d=\sqrt[3]{100}\approx4.64\approx4.6(\mathrm{km})$
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{10}}{3}$ h；
(2) 4.6 km。
【知识点】
代数式求值、二次根式化简、立方根计算
【点评】
本题结合气象生活场景考察代数公式的实际运用，解题时需要注意两个易错点：一是第二问要先统一时间单位，避免直接用分钟代入计算出错；二是开方时要结合实际意义取正根，近似计算要符合题目要求的精度。
【难度系数】
0.8
