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15.阅读下列材料,解决相关任务:
祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家,他是第一个将圆周率$π$精确到小数点后第六位的人,他给出$π$的两个分数形式的近似值:$\frac{22}{7}$(约率)和$\frac{355}{113}$(密率).同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数$x$的不足近似值和过剩近似值分别为$\frac{b}{a}$和$\frac{d}{c}$(即有$\frac{b}{a}＜x＜\frac{d}{c}$,其中$a,b,c,d$为正整数),则$\frac{b+d}{a+c}$是$x$的更为精确的近似值.
例如:已知$\frac{157}{50}＜π＜\frac{22}{7}$,则利用一次“调日法”后可得到$π$的一个更为精确的近似分数为$\frac{157+22}{50+7}=\frac{179}{57}$;由于$\frac{179}{57}\approx3.1404＜π$,则由$\frac{179}{57}＜π＜\frac{22}{7}$,可以再次使用“调日法”得到$π$的更为精确的近似分数.
任务:(1)约率$\frac{22}{7}$是 (
A.无理数 B.有限小数 C.整数 D.有理数
(2)已知$\frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$,请使用两次“调日法”,求$\sqrt{2}$的近似分数.
祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家,他是第一个将圆周率$π$精确到小数点后第六位的人,他给出$π$的两个分数形式的近似值:$\frac{22}{7}$(约率)和$\frac{355}{113}$(密率).同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数$x$的不足近似值和过剩近似值分别为$\frac{b}{a}$和$\frac{d}{c}$(即有$\frac{b}{a}＜x＜\frac{d}{c}$,其中$a,b,c,d$为正整数),则$\frac{b+d}{a+c}$是$x$的更为精确的近似值.
例如:已知$\frac{157}{50}＜π＜\frac{22}{7}$,则利用一次“调日法”后可得到$π$的一个更为精确的近似分数为$\frac{157+22}{50+7}=\frac{179}{57}$;由于$\frac{179}{57}\approx3.1404＜π$,则由$\frac{179}{57}＜π＜\frac{22}{7}$,可以再次使用“调日法”得到$π$的更为精确的近似分数.
任务:(1)约率$\frac{22}{7}$是 (
D
)A.无理数 B.有限小数 C.整数 D.有理数
(2)已知$\frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$,请使用两次“调日法”,求$\sqrt{2}$的近似分数.
答案
15.解:(1)D
(2)$\because \frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{3}{2},\therefore$首次利用“调日法”后得到$\sqrt{2}$的一个更为精确的近似分数为$\frac{7+3}{5+2}=\frac{10}{7}.$
$\because \frac{10}{7}=\sqrt{\frac{100}{49}}$且$\frac{100}{49}＞2,\therefore \frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{10}{7},$
$\therefore$再次利用“调日法”后得到$\sqrt{2}$的一个更为精确的近似分数为$\frac{7+10}{5+7}=\frac{17}{12},$
$\therefore \sqrt{2}$的近似分数为$\frac{17}{12}.$
(2)$\because \frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{3}{2},\therefore$首次利用“调日法”后得到$\sqrt{2}$的一个更为精确的近似分数为$\frac{7+3}{5+2}=\frac{10}{7}.$
$\because \frac{10}{7}=\sqrt{\frac{100}{49}}$且$\frac{100}{49}＞2,\therefore \frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{10}{7},$
$\therefore$再次利用“调日法”后得到$\sqrt{2}$的一个更为精确的近似分数为$\frac{7+10}{5+7}=\frac{17}{12},$
$\therefore \sqrt{2}$的近似分数为$\frac{17}{12}.$
解析
【分析】
（1）第一问考查有理数的分类，解题时先回忆有理数的定义：整数和分数统称为有理数，明确$\frac{22}{7}$是分数，对应判断选项即可；
（2）第二问考查新定义“调日法”的应用，解题步骤为：①第一次运用调日法，将已知的不足近似值$\frac{7}{5}$和过剩近似值$\frac{3}{2}$的分子相加、分母相加，得到第一次近似分数；②判断所得近似分数和$\sqrt{2}$的大小关系，确定新的不足和过剩近似值范围；③第二次运用调日法，对新的两个近似值做分子分母求和运算，即可得到最终的近似分数。
【解析】
（1）根据有理数的定义：整数和分数统称为有理数，$\frac{22}{7}$是分数，因此属于有理数，故选D。
（2）第一次使用“调日法”：
已知$\frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$，根据调日法规则，得到近似分数为$\frac{7+3}{5+2}=\frac{10}{7}$；
判断$\frac{10}{7}$和$\sqrt{2}$的大小：$(\frac{10}{7})^2=\frac{100}{49}$，$(\sqrt{2})^2=2=\frac{98}{49}$，因此$\frac{100}{49}＞\frac{98}{49}$，即$\frac{10}{7}＞\sqrt{2}$，可得新的范围$\frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{10}{7}$；
第二次使用“调日法”：
对新的范围应用调日法规则，得到近似分数为$\frac{7+10}{5+7}=\frac{17}{12}$，即为$\sqrt{2}$的近似分数。
【答案】
(1)D；(2)$\frac{17}{12}$
【知识点】
有理数的概念；新定义运算；实数大小比较
【点评】
本题结合古代数学史料设置问题，既考查了基础概念的识记，又考查了对新规则的理解应用能力，解题时只要准确读懂“调日法”的运算规则，按步骤计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
（1）第一问考查有理数的分类，解题时先回忆有理数的定义：整数和分数统称为有理数，明确$\frac{22}{7}$是分数，对应判断选项即可；
（2）第二问考查新定义“调日法”的应用，解题步骤为：①第一次运用调日法，将已知的不足近似值$\frac{7}{5}$和过剩近似值$\frac{3}{2}$的分子相加、分母相加，得到第一次近似分数；②判断所得近似分数和$\sqrt{2}$的大小关系，确定新的不足和过剩近似值范围；③第二次运用调日法，对新的两个近似值做分子分母求和运算，即可得到最终的近似分数。
【解析】
（1）根据有理数的定义：整数和分数统称为有理数，$\frac{22}{7}$是分数，因此属于有理数，故选D。
（2）第一次使用“调日法”：
已知$\frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$，根据调日法规则，得到近似分数为$\frac{7+3}{5+2}=\frac{10}{7}$；
判断$\frac{10}{7}$和$\sqrt{2}$的大小：$(\frac{10}{7})^2=\frac{100}{49}$，$(\sqrt{2})^2=2=\frac{98}{49}$，因此$\frac{100}{49}＞\frac{98}{49}$，即$\frac{10}{7}＞\sqrt{2}$，可得新的范围$\frac{7}{5}＜\sqrt{2}＜\frac{10}{7}$；
第二次使用“调日法”：
对新的范围应用调日法规则，得到近似分数为$\frac{7+10}{5+7}=\frac{17}{12}$，即为$\sqrt{2}$的近似分数。
【答案】
(1)D；(2)$\frac{17}{12}$
【知识点】
有理数的概念；新定义运算；实数大小比较
【点评】
本题结合古代数学史料设置问题，既考查了基础概念的识记，又考查了对新规则的理解应用能力，解题时只要准确读懂“调日法”的运算规则，按步骤计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
