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10. 当$x=1$时，代数式$ax^{3}+bx+1$的值为2027，当$x=-1$时，代数式$ax^{3}+bx+1$的值为
$-2\ 025$
.答案
10. $-2\ 025$
解析
【分析】
这道题不需要单独算出a、b的具体数值，核心思路是用整体代入法求解。首先把已知的x=1代入给定代数式，就能直接得到a+b的数值；之后将x=-1代入代数式，会发现代入后的式子可以变形为包含-(a+b)的形式，利用x取相反数时奇次幂符号反转的特点，把之前得到的a+b的结果整体代入，就能快速算出最终答案。
【解析】
步骤1：将x=1代入代数式$ax^3 + bx +1$，根据题意可得：
$a×1^3 + b×1 +1 = 2027$
化简后得到：$a + b + 1 = 2027$
移项计算得：$a + b = 2027 -1 = 2026$
步骤2：将x=-1代入代数式$ax^3 + bx +1$：
原式$=a×(-1)^3 + b×(-1) +1$
$= -a -b +1$
对式子提取负号做变形：$= -(a + b) + 1$
将$a+b=2026$整体代入上式：
原式$= -2026 + 1 = -2025$
【答案】$-2025$
【知识点】代数式求值，整体代入法
【点评】本题是代数式求值的典型题型，重点考察整体代换的解题思想，利用奇次项在x取相反数时符号相反的特性，规避了求解a、b具体值的复杂运算，解题时要注意符号处理，很容易出现漏写负号的计算失误。
【难度系数】0.7
这道题不需要单独算出a、b的具体数值，核心思路是用整体代入法求解。首先把已知的x=1代入给定代数式，就能直接得到a+b的数值；之后将x=-1代入代数式，会发现代入后的式子可以变形为包含-(a+b)的形式，利用x取相反数时奇次幂符号反转的特点，把之前得到的a+b的结果整体代入，就能快速算出最终答案。
【解析】
步骤1：将x=1代入代数式$ax^3 + bx +1$，根据题意可得：
$a×1^3 + b×1 +1 = 2027$
化简后得到：$a + b + 1 = 2027$
移项计算得：$a + b = 2027 -1 = 2026$
步骤2：将x=-1代入代数式$ax^3 + bx +1$：
原式$=a×(-1)^3 + b×(-1) +1$
$= -a -b +1$
对式子提取负号做变形：$= -(a + b) + 1$
将$a+b=2026$整体代入上式：
原式$= -2026 + 1 = -2025$
【答案】$-2025$
【知识点】代数式求值，整体代入法
【点评】本题是代数式求值的典型题型，重点考察整体代换的解题思想，利用奇次项在x取相反数时符号相反的特性，规避了求解a、b具体值的复杂运算，解题时要注意符号处理，很容易出现漏写负号的计算失误。
【难度系数】0.7
11. 定义新运算“$*$”：$a*b=\begin{cases}a-b\ (a ≤ 0),\\ -a+b\ (a ＞ 0).\\\end{cases}$ 例如：$-2*5=-2-5=-7$，$3*4=-3+4=1$. 若$x*1=-\dfrac{3}{4}$，则$x$的值为 ______ .
答案
11. $\dfrac{7}{4}$ 解析:当 $x≤0$ 时, $x-1=-\dfrac{3}{4}$, 解得 $x=\dfrac{1}{4}$(不合题意,舍去); 当 $x＞0$ 时, $-x+1=-\dfrac{3}{4}$, 解得 $x=\dfrac{7}{4}$. 综上所述, $x$ 的值是 $\dfrac{7}{4}$.
解析
【分析】
这是分段型的定义新运算问题，解题思路非常清晰：首先明确新运算“*”的规则是根据第一个运算数的取值范围选择不同的运算公式，本题中运算的第一个数是x，第二个数是1，因此需要分两类讨论：
1. 当x≤0时，代入对应的运算规则a-b，得到方程x-1=-3/4，解出x后要验证是否满足x≤0的前提，不符合就直接舍去；
2. 当x＞0时，代入对应的运算规则-a+b，得到方程-x+1=-3/4，解出x后验证是否满足x＞0的前提，符合就保留；
最后汇总所有符合条件的有效解，就能得到x的正确结果。
【解析】
根据新运算的分段规则，分两种情况求解：
① 当x ≤ 0时，代入规则a*b = a - b，可得方程：
$x - 1 = -\dfrac{3}{4}$
解得$x = \dfrac{1}{4}$，该结果不满足x≤0的前提条件，因此舍去该解；
② 当x ＞ 0时，代入规则a*b = -a + b，可得方程：
$-x + 1 = -\dfrac{3}{4}$
移项计算得$-x = -\dfrac{7}{4}$，解得$x = \dfrac{7}{4}$，该结果满足x＞0的前提条件，是有效解。
综上，符合要求的x的值为$\dfrac{7}{4}$。
【答案】
$\dfrac{7}{4}$
【知识点】
定义新运算，分类讨论，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础的分段定义新运算题型，易错点是解出$x=\dfrac{1}{4}$后，忘记验证该解是否符合对应分段的自变量取值范围，误将不符合前提的无效解保留，解题时要牢记所有分段类问题的解，都必须满足对应区间的限定要求。
【难度系数】
0.7
这是分段型的定义新运算问题，解题思路非常清晰：首先明确新运算“*”的规则是根据第一个运算数的取值范围选择不同的运算公式，本题中运算的第一个数是x，第二个数是1，因此需要分两类讨论：
1. 当x≤0时，代入对应的运算规则a-b，得到方程x-1=-3/4，解出x后要验证是否满足x≤0的前提，不符合就直接舍去；
2. 当x＞0时，代入对应的运算规则-a+b，得到方程-x+1=-3/4，解出x后验证是否满足x＞0的前提，符合就保留；
最后汇总所有符合条件的有效解，就能得到x的正确结果。
【解析】
根据新运算的分段规则，分两种情况求解：
① 当x ≤ 0时，代入规则a*b = a - b，可得方程：
$x - 1 = -\dfrac{3}{4}$
解得$x = \dfrac{1}{4}$，该结果不满足x≤0的前提条件，因此舍去该解；
② 当x ＞ 0时，代入规则a*b = -a + b，可得方程：
$-x + 1 = -\dfrac{3}{4}$
移项计算得$-x = -\dfrac{7}{4}$，解得$x = \dfrac{7}{4}$，该结果满足x＞0的前提条件，是有效解。
综上，符合要求的x的值为$\dfrac{7}{4}$。
【答案】
$\dfrac{7}{4}$
【知识点】
定义新运算，分类讨论，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础的分段定义新运算题型，易错点是解出$x=\dfrac{1}{4}$后，忘记验证该解是否符合对应分段的自变量取值范围，误将不符合前提的无效解保留，解题时要牢记所有分段类问题的解，都必须满足对应区间的限定要求。
【难度系数】
0.7
12. 如图,线段$AB$上有$M,D,C,N$四点,$M$是线段$AC$的中点,$N$是线段$DB$的中点,有下列结论:
① $MN=\dfrac{1}{2}(AB-MD)$; ② $MN=\dfrac{1}{2}(AB-CD)$; ③ $DM=\dfrac{1}{2}(DA-DC)$; ④ $AN=\dfrac{1}{2}(MN+AB)$. 其中,
正确的是
① $MN=\dfrac{1}{2}(AB-MD)$; ② $MN=\dfrac{1}{2}(AB-CD)$; ③ $DM=\dfrac{1}{2}(DA-DC)$; ④ $AN=\dfrac{1}{2}(MN+AB)$. 其中,
正确的是
②③
(填序号).答案
12. ②③ 解析:因为 $M$ 是线段 $AC$ 的中点, $N$ 是线段 $DB$ 的中点, 所以 $AM=MC=\dfrac{1}{2}AC$, $DN=NB=\dfrac{1}{2}DB$. 所以 $MN=AB-AM-NB=AB-\dfrac{1}{2}(AC+DB)=AB-\dfrac{1}{2}(AB+CD)=\dfrac{1}{2}(AB-CD)$. 故结论①错误, 结论②正确. $DM=MC-DC=\dfrac{1}{2}AC-DC=\dfrac{1}{2}(AD+DC)-DC=\dfrac{1}{2}(AD-DC)$, 故结论③正确. $AN=AB-BN=AB-\dfrac{1}{2}BD=AB-\dfrac{1}{2}(AB-DA)=\dfrac{1}{2}(AB+DA)$, 故结论④错误.
解析
【分析】
我们要判断四个线段等式是否成立，首先从已知的中点条件入手：M是AC中点、N是DB中点，先得到AM=MC=1/2 AC，DN=NB=1/2 DB。接下来逐个对四个结论，利用线段的和差关系，把等式左右两边都用公共线段AB、CD、AD等表示，对比两边是否相等，就能验证结论的正误。推导时要注意，AC和DB两条线段相加时，重叠部分是CD，因此AC+DB=AB+CD，这个转化是解题的核心关键点。
【解析】
已知M是线段AC的中点，N是线段DB的中点，根据中点定义可得：
$AM=MC=\frac{1}{2}AC$，$DN=NB=\frac{1}{2}DB$。
1. 验证结论①②：
$MN = AB - AM - NB$，将AM和NB代入得：
$MN = AB - \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}DB = AB - \frac{1}{2}(AC+DB)$
注意到$AC+DB = (AD+DC) + (DC+CB) = AB + CD$，代入上式：
$MN = AB - \frac{1}{2}(AB+CD) = \frac{1}{2}(AB - CD)$
因此①$MN=\frac{1}{2}(AB-MD)$不成立，②$MN=\frac{1}{2}(AB-CD)$成立。
2. 验证结论③：
$DM = MC - DC$，代入$MC=\frac{1}{2}AC$得：
$DM = \frac{1}{2}AC - DC$，又因为$AC=AD+DC$，代入得：
$DM = \frac{1}{2}(AD+DC) - DC = \frac{1}{2}(AD - DC)$，因此结论③成立。
3. 验证结论④：
$AN = AB - NB$，代入$NB=\frac{1}{2}DB$得：
$AN = AB - \frac{1}{2}DB$，又因为$DB=AB-AD$，代入得：
$AN = AB - \frac{1}{2}(AB-AD) = \frac{1}{2}(AB + AD)$，和给出的$\frac{1}{2}(MN+AB)$不相等，因此结论④不成立。
综上，正确的是②③。
【答案】②③
【知识点】线段中点定义，线段和差运算
【点评】本题属于线段相关的中档推导题，核心是利用中点性质对线段进行拆分重组，易错点是推导AC+DB的表达式时，容易忽略两条线段的重叠部分CD，导致推导出错，熟练掌握线段的和差转化是解决这类问题的关键。
【难度系数】0.4
我们要判断四个线段等式是否成立，首先从已知的中点条件入手：M是AC中点、N是DB中点，先得到AM=MC=1/2 AC，DN=NB=1/2 DB。接下来逐个对四个结论，利用线段的和差关系，把等式左右两边都用公共线段AB、CD、AD等表示，对比两边是否相等，就能验证结论的正误。推导时要注意，AC和DB两条线段相加时，重叠部分是CD，因此AC+DB=AB+CD，这个转化是解题的核心关键点。
【解析】
已知M是线段AC的中点，N是线段DB的中点，根据中点定义可得：
$AM=MC=\frac{1}{2}AC$，$DN=NB=\frac{1}{2}DB$。
1. 验证结论①②：
$MN = AB - AM - NB$，将AM和NB代入得：
$MN = AB - \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}DB = AB - \frac{1}{2}(AC+DB)$
注意到$AC+DB = (AD+DC) + (DC+CB) = AB + CD$，代入上式：
$MN = AB - \frac{1}{2}(AB+CD) = \frac{1}{2}(AB - CD)$
因此①$MN=\frac{1}{2}(AB-MD)$不成立，②$MN=\frac{1}{2}(AB-CD)$成立。
2. 验证结论③：
$DM = MC - DC$，代入$MC=\frac{1}{2}AC$得：
$DM = \frac{1}{2}AC - DC$，又因为$AC=AD+DC$，代入得：
$DM = \frac{1}{2}(AD+DC) - DC = \frac{1}{2}(AD - DC)$，因此结论③成立。
3. 验证结论④：
$AN = AB - NB$，代入$NB=\frac{1}{2}DB$得：
$AN = AB - \frac{1}{2}DB$，又因为$DB=AB-AD$，代入得：
$AN = AB - \frac{1}{2}(AB-AD) = \frac{1}{2}(AB + AD)$，和给出的$\frac{1}{2}(MN+AB)$不相等，因此结论④不成立。
综上，正确的是②③。
【答案】②③
【知识点】线段中点定义，线段和差运算
【点评】本题属于线段相关的中档推导题，核心是利用中点性质对线段进行拆分重组，易错点是推导AC+DB的表达式时，容易忽略两条线段的重叠部分CD，导致推导出错，熟练掌握线段的和差转化是解决这类问题的关键。
【难度系数】0.4
三、解答题(共52分)
13. (12分)计算：
(1) $48°39'+67°31'-21°17'$；
(2) $23°53'×2-17°43'$；
(3) $90°-(78°36'-13°10'÷4)$；
(4) $72°53'÷2+18°33'×4$.
13. (12分)计算：
(1) $48°39'+67°31'-21°17'$；
(2) $23°53'×2-17°43'$；
(3) $90°-(78°36'-13°10'÷4)$；
(4) $72°53'÷2+18°33'×4$.
答案
13. (1) $94°53'$ (2) $30°3'$ (3) $14°41'30''$ (4) $110°38'30''$
解析
【分析】
这是角度四则运算的基础题型，核心要牢记度、分、秒为60进制，即1°=60'，1'=60''：加减运算时度、分、秒分别对应运算，加法满60向高位进1，减法低位不够减时向高位借1当60；乘除运算时先用乘数/除数分别和度、分、秒运算，满60进位，不够除时把高位的1转化为低位的60再计算。按照四则运算优先级，先算乘除、有括号先算括号内的内容，逐个计算4个小问即可得到结果。
【解析】
(1) 先计算加法部分：
$48°39'+67°31' = (48+67)°+(39+31)' = 115°70' = 116°10'$
再做减法运算，低位分不够减，向度借1当60：
$116°10'-21°17' = 115°70'-21°17' = 94°53'$
(2) 先计算乘法部分：
$23°53'×2 = (23×2)°+(53×2)' = 46°106' = 47°46'$
再做减法运算：
$47°46'-17°43' = (47-17)°+(46-43)' = 30°3'$
(3) 先算括号内的除法：
$13°10'÷4$，13°除以4余1°，将1°转化为60'得70'，70'除以4余2'，将2'转化为120''，最终得$3°17'30''$
再算括号内的减法：
$78°36'-3°17'30'' = 78°35'60''-3°17'30'' = 75°18'30''$
最后用90°做减法：
$90°-75°18'30'' = 89°59'60''-75°18'30'' = 14°41'30''$
(4) 分别计算除法和乘法：
$72°53'÷2$，72°除以2得36°，53'除以2余1'，将1'转化为60''得30''，最终得$36°26'30''$
$18°33'×4 = (18×4)°+(33×4)' =72°132' =74°12'$
最后将两部分相加：
$36°26'30''+74°12' = 110°38'30''$
【答案】
(1) $94°53'$ (2) $30°3'$ (3) $14°41'30''$ (4) $110°38'30''$
【知识点】
度分秒换算，角度四则运算
【点评】
本题是角度运算的常规计算题，核心考察60进制下的度分秒转换规则，易错点集中在除法运算中余数向低位的转化、减法运算的借位操作，计算时需要逐位核对，避免惯性使用十进制换算导致错误。
【难度系数】
0.6
这是角度四则运算的基础题型，核心要牢记度、分、秒为60进制，即1°=60'，1'=60''：加减运算时度、分、秒分别对应运算，加法满60向高位进1，减法低位不够减时向高位借1当60；乘除运算时先用乘数/除数分别和度、分、秒运算，满60进位，不够除时把高位的1转化为低位的60再计算。按照四则运算优先级，先算乘除、有括号先算括号内的内容，逐个计算4个小问即可得到结果。
【解析】
(1) 先计算加法部分：
$48°39'+67°31' = (48+67)°+(39+31)' = 115°70' = 116°10'$
再做减法运算，低位分不够减，向度借1当60：
$116°10'-21°17' = 115°70'-21°17' = 94°53'$
(2) 先计算乘法部分：
$23°53'×2 = (23×2)°+(53×2)' = 46°106' = 47°46'$
再做减法运算：
$47°46'-17°43' = (47-17)°+(46-43)' = 30°3'$
(3) 先算括号内的除法：
$13°10'÷4$，13°除以4余1°，将1°转化为60'得70'，70'除以4余2'，将2'转化为120''，最终得$3°17'30''$
再算括号内的减法：
$78°36'-3°17'30'' = 78°35'60''-3°17'30'' = 75°18'30''$
最后用90°做减法：
$90°-75°18'30'' = 89°59'60''-75°18'30'' = 14°41'30''$
(4) 分别计算除法和乘法：
$72°53'÷2$，72°除以2得36°，53'除以2余1'，将1'转化为60''得30''，最终得$36°26'30''$
$18°33'×4 = (18×4)°+(33×4)' =72°132' =74°12'$
最后将两部分相加：
$36°26'30''+74°12' = 110°38'30''$
【答案】
(1) $94°53'$ (2) $30°3'$ (3) $14°41'30''$ (4) $110°38'30''$
【知识点】
度分秒换算，角度四则运算
【点评】
本题是角度运算的常规计算题，核心考察60进制下的度分秒转换规则，易错点集中在除法运算中余数向低位的转化、减法运算的借位操作，计算时需要逐位核对，避免惯性使用十进制换算导致错误。
【难度系数】
0.6
14.（12分）化简：
(1) $1-3x^{2}+10x+2x^{2}+5x$；
(2) $4x-2y+2(x+5y)$；
(3) $4x^{2}+2(x^{2}-y^{2})-3(x^{2}+y^{2})$；
(4) $3x^{2}-[5x+(4x-5)-9x^{2}]$.
(1) $1-3x^{2}+10x+2x^{2}+5x$；
(2) $4x-2y+2(x+5y)$；
(3) $4x^{2}+2(x^{2}-y^{2})-3(x^{2}+y^{2})$；
(4) $3x^{2}-[5x+(4x-5)-9x^{2}]$.
答案
14. (1) $-x^2+15x+1$ (2) $6x+8y$ (3) $3x^2-5y^2$ (4) $12x^2-9x+5$
解析
【分析】
这是整式加减的化简题，解题思路可以按以下步骤走：1. 先观察式子是否含有括号：如果没有括号，直接找出式子中的同类项（即所含字母相同，相同字母的指数也相同的项）；如果有括号，先依据去括号法则去掉括号，注意括号前有系数的话要把系数乘到括号内的每一项，括号前是负号时括号内所有项都要变号。2. 把找到的同类项的系数相加，字母和对应指数保持不变，完成合并同类项，最终整理得到最简整式即可，按这个逻辑依次处理4个小题就能得到结果。
【解析】
(1) 直接分组合并同类项：
先归类同类项：含$x^2$的项为$-3x^2$、$2x^2$，含$x$的项为$10x$、$5x$，常数项为$1$
原式$=(-3x^2+2x^2)+(10x+5x)+1$
$=-x^2+15x+1$
(2) 先去括号再合并同类项：
将括号前的系数2乘入括号内所有项：
原式$=4x-2y + 2x + 10y$
合并同类项得：
$=(4x+2x)+(-2y+10y)$
$=6x+8y$
(3) 先去括号再合并同类项：
分别将系数2、-3乘入对应括号内的所有项：
原式$=4x^2 + 2x^2 - 2y^2 -3x^2 -3y^2$
合并同类项得：
$=(4x^2+2x^2-3x^2)+(-2y^2-3y^2)$
$=3x^2-5y^2$
(4) 从内到外逐层去括号再合并同类项：
先化简小括号内的部分：
原式$=3x^2 - [5x +4x -5 -9x^2]$
合并中括号内的同类项，再去掉带负号的中括号，括号内所有项变号：
$=3x^2 - [9x -5 -9x^2]$
$=3x^2 -9x +5 +9x^2$
合并同类项得：
$=(3x^2+9x^2)-9x +5$
$=12x^2-9x+5$
【答案】
(1) $-x^2+15x+1$ (2) $6x+8y$ (3) $3x^2-5y^2$ (4) $12x^2-9x+5$
【知识点】
合并同类项，去括号法则，整式加减
【点评】
本题是整式加减的基础运算题，核心考点是去括号和合并同类项，易错点集中在括号前带负号、带非1系数时，容易出现漏乘括号内项、忘记变号的错误，解题时建议分步操作，先去括号再合并，避免跳步出错。
【难度系数】
0.8
这是整式加减的化简题，解题思路可以按以下步骤走：1. 先观察式子是否含有括号：如果没有括号，直接找出式子中的同类项（即所含字母相同，相同字母的指数也相同的项）；如果有括号，先依据去括号法则去掉括号，注意括号前有系数的话要把系数乘到括号内的每一项，括号前是负号时括号内所有项都要变号。2. 把找到的同类项的系数相加，字母和对应指数保持不变，完成合并同类项，最终整理得到最简整式即可，按这个逻辑依次处理4个小题就能得到结果。
【解析】
(1) 直接分组合并同类项：
先归类同类项：含$x^2$的项为$-3x^2$、$2x^2$，含$x$的项为$10x$、$5x$，常数项为$1$
原式$=(-3x^2+2x^2)+(10x+5x)+1$
$=-x^2+15x+1$
(2) 先去括号再合并同类项：
将括号前的系数2乘入括号内所有项：
原式$=4x-2y + 2x + 10y$
合并同类项得：
$=(4x+2x)+(-2y+10y)$
$=6x+8y$
(3) 先去括号再合并同类项：
分别将系数2、-3乘入对应括号内的所有项：
原式$=4x^2 + 2x^2 - 2y^2 -3x^2 -3y^2$
合并同类项得：
$=(4x^2+2x^2-3x^2)+(-2y^2-3y^2)$
$=3x^2-5y^2$
(4) 从内到外逐层去括号再合并同类项：
先化简小括号内的部分：
原式$=3x^2 - [5x +4x -5 -9x^2]$
合并中括号内的同类项，再去掉带负号的中括号，括号内所有项变号：
$=3x^2 - [9x -5 -9x^2]$
$=3x^2 -9x +5 +9x^2$
合并同类项得：
$=(3x^2+9x^2)-9x +5$
$=12x^2-9x+5$
【答案】
(1) $-x^2+15x+1$ (2) $6x+8y$ (3) $3x^2-5y^2$ (4) $12x^2-9x+5$
【知识点】
合并同类项，去括号法则，整式加减
【点评】
本题是整式加减的基础运算题，核心考点是去括号和合并同类项，易错点集中在括号前带负号、带非1系数时，容易出现漏乘括号内项、忘记变号的错误，解题时建议分步操作，先去括号再合并，避免跳步出错。
【难度系数】
0.8
