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15. (12 分)某购物平台准备在春节期间举行年货节活动,此次年货节活动特别准备了 A,B 两种商品进行特价促销,已知 A 种商品每件的进价比 B 种商品每件的进价多 40 元,购进 A 种商品2 件与购进 B 种商品 3 件的进价相同.
(1) 求 A,B 两种商品每件的进价分别是多少元.
(2) 该购物平台从厂家购进了 A,B 两种商品共 60 件,所用资金为 5 800 元,出售时,A 种商品在进价的基础上加价 20%进行标价;B 种商品按标价出售每件可获利 20 元. 若按标价出售 A,B 两种商品,则全部售完共可获利多少元?
(1) 求 A,B 两种商品每件的进价分别是多少元.
(2) 该购物平台从厂家购进了 A,B 两种商品共 60 件,所用资金为 5 800 元,出售时,A 种商品在进价的基础上加价 20%进行标价;B 种商品按标价出售每件可获利 20 元. 若按标价出售 A,B 两种商品,则全部售完共可获利多少元?
答案
15. (1) 设 A 种商品每件的进价是 $x$ 元,则 B 种商品每件的进价是 $(x-40)$ 元. 由题意,得 $2x=3(x-40)$, 解得 $x=120$, 所以 $x-40=120-40=80$. 答:A 种商品每件的进价是 120 元,B 种商品每件的进价是 80 元 (2) 设购进 A 种商品 $a$ 件,则购进 B 种商品 $(60-a)$ 件. 由题意,得 $120a+80(60-a)=5\ 800$, 解得 $a=25$, 所以 $60-a=35$. 所以 $120×20\%×25+20×35=1\ 300$(元). 答:全部售完共可获利 1 300 元
解析
【分析】
这道题是典型的一元一次方程在商品销售场景的实际应用题，解题思路可以分两小问逐步梳理：
1. 第一问求A、B的单件进价，题干给出两个明确条件：①A的进价比B多40元；②2件A的总进价和3件B的总进价相等。我们可以设A的进价为x元，用第一个条件把B的进价表示为(x-40)元，再代入第二个等量关系列一元一次方程，直接求解就能得到两类商品的进价。
2. 第二问计算总获利，需要先求出购进的A、B商品各自的数量：已知总进货数是60件、总进货资金是5800元，结合第一问算出的A、B进价，设A的进货量为a件，B的进货量自然就是(60-a)件，根据总进货成本列方程求出两类商品的进货数。之后分别计算两类商品的总利润：A的总利润是单件进价的20%乘以A的总件数，B的总利润是单件获利20元乘以B的总件数，两者相加就是全部售完的总获利。
【解析】
(1) 设A种商品每件的进价是$x$元，由A的进价比B多40元，可得B种商品每件的进价为$(x-40)$元。
根据“购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同”列方程：
$2x=3(x-40)$
展开移项得：$2x=3x-120$
解得：$x=120$
代入得B商品的进价：$x-40=120-40=80$元。
(2) 设购进A种商品$a$件，由总进货数为60件，可得购进B种商品的数量为$(60-a)$件。
根据总进货资金为5800元，结合A、B的进价列方程：
$120a+80(60-a)=5800$
展开整理得：$40a+4800=5800$
解得：$a=25$
因此购进B商品的数量为：$60-a=60-25=35$件。
计算总获利：
$120×20\%×25+20×35=600+700=1300 \mathrm{元}$
【答案】
(1) A种商品每件的进价是120元，B种商品每件的进价是80元；(2) 全部售完共可获利1300元
【知识点】
一元一次方程应用，销售利润计算
【点评】
本题是初中数学销售类一元一次方程实际应用的基础常考题，难度较低，核心是准确提取题干中的等量关系，解题时要注意区分进价、总成本、单件利润、总利润的概念，不要混淆两类商品的利润计算规则，是巩固该类题型解题思路的典型习题。
【难度系数】
0.8
这道题是典型的一元一次方程在商品销售场景的实际应用题，解题思路可以分两小问逐步梳理：
1. 第一问求A、B的单件进价，题干给出两个明确条件：①A的进价比B多40元；②2件A的总进价和3件B的总进价相等。我们可以设A的进价为x元，用第一个条件把B的进价表示为(x-40)元，再代入第二个等量关系列一元一次方程，直接求解就能得到两类商品的进价。
2. 第二问计算总获利，需要先求出购进的A、B商品各自的数量：已知总进货数是60件、总进货资金是5800元，结合第一问算出的A、B进价，设A的进货量为a件，B的进货量自然就是(60-a)件，根据总进货成本列方程求出两类商品的进货数。之后分别计算两类商品的总利润：A的总利润是单件进价的20%乘以A的总件数，B的总利润是单件获利20元乘以B的总件数，两者相加就是全部售完的总获利。
【解析】
(1) 设A种商品每件的进价是$x$元，由A的进价比B多40元，可得B种商品每件的进价为$(x-40)$元。
根据“购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同”列方程：
$2x=3(x-40)$
展开移项得：$2x=3x-120$
解得：$x=120$
代入得B商品的进价：$x-40=120-40=80$元。
(2) 设购进A种商品$a$件，由总进货数为60件，可得购进B种商品的数量为$(60-a)$件。
根据总进货资金为5800元，结合A、B的进价列方程：
$120a+80(60-a)=5800$
展开整理得：$40a+4800=5800$
解得：$a=25$
因此购进B商品的数量为：$60-a=60-25=35$件。
计算总获利：
$120×20\%×25+20×35=600+700=1300 \mathrm{元}$
【答案】
(1) A种商品每件的进价是120元，B种商品每件的进价是80元；(2) 全部售完共可获利1300元
【知识点】
一元一次方程应用，销售利润计算
【点评】
本题是初中数学销售类一元一次方程实际应用的基础常考题，难度较低，核心是准确提取题干中的等量关系，解题时要注意区分进价、总成本、单件利润、总利润的概念，不要混淆两类商品的利润计算规则，是巩固该类题型解题思路的典型习题。
【难度系数】
0.8
16. (16分)同学们刚学完有理数的相关运算后,老师又定义了一种新的"※(加乘)"运算,以下算式就是按照"※(加乘)"运算法则进行的运算: $(+3) ※ (+4)=+7$; $(-6) ※ (-3)=+9$; $(+4) ※ (-3)=-7$; $(-1) ※ (+1)=-2$; $0 ※ (+8)=+8$; $(-9) ※ 0=+9$; $0 ※ 0=0$.
(1) 综合以上情形,有如下有理数"※(加乘)"运算法则:两数进行"※(加乘)"运算,同号
(2) 计算:$(-7) ※ (-4)=$
(3) 若$(1-a) ※ (b-3)=0$,求
的值.
(1) 综合以上情形,有如下有理数"※(加乘)"运算法则:两数进行"※(加乘)"运算,同号
取正
,异号取负
,并把绝对值相加
;特别地,一个数与0进行"※(加乘)"运算,都得绝对值
.(2) 计算:$(-7) ※ (-4)=$
$+11$
.(3) 若$(1-a) ※ (b-3)=0$,求
的值.答案
16. (1) 取正 取负 相加 绝对值
(2) $+11$
(3) 因为 $(1-a)※(b-3)=0$, 所以 $1-a=0,b-3=0$, 解得 $a=1,b=3$. 原式 $=\dfrac{1}{1×3}+\dfrac{1}{3×5}+\dfrac{1}{5×7}+\dfrac{1}{7×9}=\dfrac{1}{2}×(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9})=\dfrac{1}{2}×(1-\dfrac{1}{9})=\dfrac{4}{9}$
(2) $+11$
(3) 因为 $(1-a)※(b-3)=0$, 所以 $1-a=0,b-3=0$, 解得 $a=1,b=3$. 原式 $=\dfrac{1}{1×3}+\dfrac{1}{3×5}+\dfrac{1}{5×7}+\dfrac{1}{7×9}=\dfrac{1}{2}×(1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9})=\dfrac{1}{2}×(1-\dfrac{1}{9})=\dfrac{4}{9}$
解析
【分析】
我们可以分步骤思考解题：
1. 先处理第(1)问：对照给出的所有运算示例，先观察同号两数的运算结果：(+3)※(+4)=+7，(-6)※(-3)=+9，发现同号运算结果符号为正，数值是两数绝对值相加；再观察异号两数的运算：(+4)※(-3)=-7，(-1)※(+1)=-2，发现异号运算结果符号为负，数值同样是两数绝对值相加；最后观察和0相关的运算：0※(+8)=+8，(-9)※0=+9，0※0=0，可总结出一个数和0做该运算的结果就是这个数的绝对值。
2. 第(2)问直接套用总结出的运算法则，(-7)和(-4)同号，取正号，将绝对值7和4相加即可得到结果。
3. 第(3)问：根据运算法则，两个数做※运算的结果是两数绝对值相加后带上对应符号，结果为0的话，只能是两个数的绝对值相加等于0，因此两个数必须都为0，即可求出a、b的值，再代入待求的分式算式，利用裂项相消的技巧抵消中间项，快速算出最终结果。
【解析】
(1) 观察给出的运算示例：
同号两数运算：结果符号为正，绝对值相加，因此同号取正；
异号两数运算：结果符号为负，绝对值相加，因此异号取负；
所有运算都满足把两数的绝对值相加；
一个数与0进行该运算时，结果等于这个数的绝对值。
(2) 计算$(-7) ※ (-4)$：两数同号，取正号，绝对值相加$7+4=11$，因此结果为$+11$。
(3) 根据运算法则，$(1-a) ※ (b-3)=0$，说明两数的绝对值相加等于0，因此：
$1-a=0$，$b-3=0$，
解得$a=1$，$b=3$。
将$a=1$，$b=3$代入待求算式：
原式 = $\frac{1}{1×3} + \frac{1}{3×5} + \frac{1}{5×7} + \frac{1}{7×9}$
利用裂项公式$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$变形：
原式 = $\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}-\frac{1}{5} + \frac{1}{5}-\frac{1}{7} + \frac{1}{7}-\frac{1}{9})$
中间项全部抵消，得到：
原式 = $\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{9}) = \frac{1}{2}×\frac{8}{9} = \frac{4}{9}$
【答案】
(1) 取正；取负；相加；绝对值
(2) $+11$
(3) $\frac{4}{9}$
【知识点】
新定义运算，裂项相消，有理数运算
【点评】
本题属于新定义类综合题，首先考察学生从示例中归纳总结运算法则的信息提取能力，后续结合了分式裂项相消的常用求和技巧，既巩固了有理数运算的基础，也考察了学生的代数化简能力，整体梯度分明，适合锻炼学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
我们可以分步骤思考解题：
1. 先处理第(1)问：对照给出的所有运算示例，先观察同号两数的运算结果：(+3)※(+4)=+7，(-6)※(-3)=+9，发现同号运算结果符号为正，数值是两数绝对值相加；再观察异号两数的运算：(+4)※(-3)=-7，(-1)※(+1)=-2，发现异号运算结果符号为负，数值同样是两数绝对值相加；最后观察和0相关的运算：0※(+8)=+8，(-9)※0=+9，0※0=0，可总结出一个数和0做该运算的结果就是这个数的绝对值。
2. 第(2)问直接套用总结出的运算法则，(-7)和(-4)同号，取正号，将绝对值7和4相加即可得到结果。
3. 第(3)问：根据运算法则，两个数做※运算的结果是两数绝对值相加后带上对应符号，结果为0的话，只能是两个数的绝对值相加等于0，因此两个数必须都为0，即可求出a、b的值，再代入待求的分式算式，利用裂项相消的技巧抵消中间项，快速算出最终结果。
【解析】
(1) 观察给出的运算示例：
同号两数运算：结果符号为正，绝对值相加，因此同号取正；
异号两数运算：结果符号为负，绝对值相加，因此异号取负；
所有运算都满足把两数的绝对值相加；
一个数与0进行该运算时，结果等于这个数的绝对值。
(2) 计算$(-7) ※ (-4)$：两数同号，取正号，绝对值相加$7+4=11$，因此结果为$+11$。
(3) 根据运算法则，$(1-a) ※ (b-3)=0$，说明两数的绝对值相加等于0，因此：
$1-a=0$，$b-3=0$，
解得$a=1$，$b=3$。
将$a=1$，$b=3$代入待求算式：
原式 = $\frac{1}{1×3} + \frac{1}{3×5} + \frac{1}{5×7} + \frac{1}{7×9}$
利用裂项公式$\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}×(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$变形：
原式 = $\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{3} + \frac{1}{3}-\frac{1}{5} + \frac{1}{5}-\frac{1}{7} + \frac{1}{7}-\frac{1}{9})$
中间项全部抵消，得到：
原式 = $\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{9}) = \frac{1}{2}×\frac{8}{9} = \frac{4}{9}$
【答案】
(1) 取正；取负；相加；绝对值
(2) $+11$
(3) $\frac{4}{9}$
【知识点】
新定义运算，裂项相消，有理数运算
【点评】
本题属于新定义类综合题，首先考察学生从示例中归纳总结运算法则的信息提取能力，后续结合了分式裂项相消的常用求和技巧，既巩固了有理数运算的基础，也考察了学生的代数化简能力，整体梯度分明，适合锻炼学生的知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
