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11. 水资源短缺令人担忧,为鼓励节约用水,某市制定了居民用水标准,标准依据一户的人口数而定,超过标准部分加价收费. 设三口之家在用水标准内的部分每立方米水费为 1.3 元,超过标准的部分每立方米水费为 2.9 元. 某三口之家某月用水 12 立方米,交水费 22 元,为求该市三口之家每月的标准用水量,请列出方程.
答案
11. $\because 22÷ 12≠ 1.3$,
$\therefore$ 该三口之家此月用水量超过了标准用水量.
设该市三口之家每月的标准用水量为 $x$ 立方米,
由题意,得 $1.3x+2.9(12-x)=22$.
$\therefore$ 该三口之家此月用水量超过了标准用水量.
设该市三口之家每月的标准用水量为 $x$ 立方米,
由题意,得 $1.3x+2.9(12-x)=22$.
解析
【分析】首先判断该三口之家的用水量是否超过标准：若12立方米都按标准内单价1.3元计算，水费为1.3×12=15.6元，小于实际缴纳的22元，说明用水量超过了标准。接着设标准用水量为未知数，分别计算标准内水费和超标部分水费，根据总水费等于两部分之和的关系列方程。
【解析】先验证用水量是否超标：若12立方米均按标准内单价收费，水费为1.3×12=15.6元，15.6元＜22元，因此该月用水量超过标准用水量。设该市三口之家每月的标准用水量为$x$立方米，标准内水费为$1.3x$元，超标部分水量为$(12-x)$立方米，超标部分水费为$2.9(12-x)$元，根据总水费的组成可列方程：$1.3x + 2.9(12 - x) = 22$。
【答案】设该市三口之家每月的标准用水量为$x$立方米，由题意得$1.3x + 2.9(12 - x) = 22$。
【知识点】一元一次方程应用、分段计费问题
【点评】本题是一元一次方程在分段计费场景的实际应用，核心是先判断用水量是否超标，再拆分水费计算，属于基础应用题，重点考查学生将实际问题转化为数学方程的能力。
【难度系数】0.6
【解析】先验证用水量是否超标：若12立方米均按标准内单价收费，水费为1.3×12=15.6元，15.6元＜22元，因此该月用水量超过标准用水量。设该市三口之家每月的标准用水量为$x$立方米，标准内水费为$1.3x$元，超标部分水量为$(12-x)$立方米，超标部分水费为$2.9(12-x)$元，根据总水费的组成可列方程：$1.3x + 2.9(12 - x) = 22$。
【答案】设该市三口之家每月的标准用水量为$x$立方米，由题意得$1.3x + 2.9(12 - x) = 22$。
【知识点】一元一次方程应用、分段计费问题
【点评】本题是一元一次方程在分段计费场景的实际应用，核心是先判断用水量是否超标，再拆分水费计算，属于基础应用题，重点考查学生将实际问题转化为数学方程的能力。
【难度系数】0.6
12. 我们在前面章节的学习中已经知道,单独的一个数可以用一个字母来表示,例如,可以用 $a$ 表示 $3$,$b$ 表示 $5$,$x$ 表示 $56$ 等等,但对于一个几位数,用组成它的各个数位上的数字来表示它却不是这样简单的事,比如,用 $a,b,c$ 分别表示三位数 $123$ 的百位、十位和个位上的数,不能写成 $abc$,这样会误认为是三个字母所表示的数相乘,而要表示成$100a+10b+c$.
阅读以上材料,请解答下面的问题:
一个两位数,十位数字比个位数字小3,若把这个两位数的十位数字与个位数字交换,所得的两位数与原两位数的和为165,求原两位数.设原两位数的十位数字为$x$,请列出方程.
精题详解
阅读以上材料,请解答下面的问题:
一个两位数,十位数字比个位数字小3,若把这个两位数的十位数字与个位数字交换,所得的两位数与原两位数的和为165,求原两位数.设原两位数的十位数字为$x$,请列出方程.
精题详解
答案
12. 由题意,得 $10x+(x+3)+10(x+3)+x=165$.
解析
【分析】首先，根据题目要求设原两位数的十位数字为x，由“十位数字比个位数字小3”可推出个位数字为x+3；接着，明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字，据此分别写出原两位数和交换后的两位数；最后根据“所得两位数与原两位数的和为165”的条件，将两个数相加列出方程。
【解析】设原两位数的十位数字为x，因为十位数字比个位数字小3，所以个位数字为x+3。原两位数的十位是x、个位是x+3，因此原两位数为10x + (x+3)；交换十位与个位数字后，新两位数的十位是x+3、个位是x，所以新两位数为10(x+3) + x。根据两数之和为165，可列出方程：10x+(x+3)+10(x+3)+x=165。
【答案】10x+(x+3)+10(x+3)+x=165
【知识点】两位数的数位表示、一元一次方程的应用
【点评】本题重点考查两位数的正确表示方法，需注意区分数位上的数字与数的组成，避免将两位数错误表示为数字的乘积，是一元一次方程应用的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】设原两位数的十位数字为x，因为十位数字比个位数字小3，所以个位数字为x+3。原两位数的十位是x、个位是x+3，因此原两位数为10x + (x+3)；交换十位与个位数字后，新两位数的十位是x+3、个位是x，所以新两位数为10(x+3) + x。根据两数之和为165，可列出方程：10x+(x+3)+10(x+3)+x=165。
【答案】10x+(x+3)+10(x+3)+x=165
【知识点】两位数的数位表示、一元一次方程的应用
【点评】本题重点考查两位数的正确表示方法，需注意区分数位上的数字与数的组成，避免将两位数错误表示为数字的乘积，是一元一次方程应用的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8
13. 传统文化 《孙子算经》 （2024·无锡中考）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺.别立一表，长一尺五寸，影得五寸.问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短.在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺.同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈=10尺；1尺=10寸）.设竿的长度为$x$尺，则下列方程正确的是（
A.$\dfrac{x}{15}=\dfrac{1.5}{0.5}$
B.$\dfrac{x}{15}=\dfrac{0.5}{1.5}$
C.$x+15=1.5+0.5$
D.$x-15=1.5-0.5$
A
）.A.$\dfrac{x}{15}=\dfrac{1.5}{0.5}$
B.$\dfrac{x}{15}=\dfrac{0.5}{1.5}$
C.$x+15=1.5+0.5$
D.$x-15=1.5-0.5$
答案
13.A
解析
【分析】本题是相似三角形在实际问题中的应用，解题思路为：首先统一题目中的长度单位，再利用“同一时刻，阳光下物体的高度与影长的比值相等”这一原理列比例方程，进而选出正确选项。具体步骤：①将所有长度单位统一为尺；②根据物高与影长的正比关系，建立竿长、竿影长、标杆长、标杆影长的比例式；③代入数据得到方程，匹配选项。
【解析】首先统一单位：
1丈=10尺，故竿的影长1丈5尺=15尺；
1尺=10寸，故标杆长1尺5寸=1.5尺，标杆影长5寸=0.5尺。
同一时刻，阳光下物体的高度与影长的比值相等，因此可得：
$\frac{竿的长度}{竿的影长} = \frac{标杆的长度}{标杆的影长}$
设竿的长度为$x$尺，代入数据得方程：
$\frac{x}{15} = \frac{1.5}{0.5}$
对应选项A，故答案为A。
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用，比例线段
【点评】本题结合古代数学问题考查相似三角形的实际应用，核心是理解同一时刻物高与影长成正比的关系，需注意单位统一，属于中考基础题型，难度适中，能较好考查学生对相似应用的掌握情况。
【难度系数】0.6
【解析】首先统一单位：
1丈=10尺，故竿的影长1丈5尺=15尺；
1尺=10寸，故标杆长1尺5寸=1.5尺，标杆影长5寸=0.5尺。
同一时刻，阳光下物体的高度与影长的比值相等，因此可得：
$\frac{竿的长度}{竿的影长} = \frac{标杆的长度}{标杆的影长}$
设竿的长度为$x$尺，代入数据得方程：
$\frac{x}{15} = \frac{1.5}{0.5}$
对应选项A，故答案为A。
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用，比例线段
【点评】本题结合古代数学问题考查相似三角形的实际应用，核心是理解同一时刻物高与影长成正比的关系，需注意单位统一，属于中考基础题型，难度适中，能较好考查学生对相似应用的掌握情况。
【难度系数】0.6
