1. (2025·盐城阜宁期末)若 $x=-1$ 是方程 $2x+m-6=0$ 的解,则 $m$ 的值是().

A.$-4$
B.$4$
C.$-8$
D.$8$

1.D

【分析】
本题考查方程解的定义，解题思路是：根据方程的解的含义，将已知的解$x=-1$代入原方程，得到关于$m$的一元一次方程，解该方程即可求出$m$的值，进而选出正确选项。
【解析】
把$x=-1$代入方程$2x+m-6=0$，得：
$2×(-1)+m-6=0$
计算左边：$-2 + m -6 = m -8$，方程转化为：
$m -8=0$
解得：$m=8$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查方程解的基本应用，只要掌握方程解的定义，代入求解即可，难度较低。
【难度系数】
0.9

2. 传统文化 《九章算术》（2024·佛山一模）中国古代以算筹为工具来记数、列式和进行各种数与式的演算.《九章算术》第八章名为“方程”，其中有一例为:从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数$x$,$y$的系数与相应的常数项,即可表示方程$x+4y=23$,则表示的方程是.

2.$x+2y=32$

【分析】首先明确题目中算筹表示方程的规则：从左到右的算筹数依次对应方程中未知数$x$的系数、$y$的系数、常数项。通过已知示例“算筹表示方程$x+4y=23$”，可确定该规则的对应关系，再据此分析插图2对应的$x$系数、$y$系数和常数项，即可写出所求方程。
【解析】根据题意，算筹记数表示方程的规则为：从左到右的算筹数分别是$x$的系数、$y$的系数、常数项。已知示例中$x$系数为1，$y$系数为4，常数项为23，对应方程$x+4y=23$；同理，插图2对应的$x$系数为1，$y$系数为2，常数项为32，因此该方程为$x+2y=32$。
【答案】$x+2y=32$
【知识点】数学文化、二元一次方程的表示
【点评】本题以《九章算术》中的算筹记数为背景，考查二元一次方程的表示，核心是理解算筹与方程系数、常数项的对应关系，题目难度适中，体现了数学文化在解题中的应用。
【难度系数】0.5

3. (2025·广东佛山禅城区期末)小明不小心将墨水滴在试卷上,只能看到“解方程:$10-$$图1$$=4x-$3,$图2$处被污染看不清.若方程的解是$x=3$,则$图3$处的数字应是.

3.1

【分析】
要解决这个问题，需利用方程解的定义：方程的解能使方程左右两边相等。我们设被污染的数字为未知数，将已知解$x=3$代入原方程，转化为求解该未知数的一元一次方程，进而得出结果。
【解析】
设图1处的数字为$a$，因为方程的解是$x=3$，将$x=3$代入方程$10 - a = 4x - 3$中，得：
$10 - a = 4×3 - 3$
计算等式右边：$4×3 - 3 = 12 - 3 = 9$
则方程变为：$10 - a = 9$
解得：$a = 10 - 9 = 1$
【答案】
1
【知识点】
一元一次方程的解；代入法解方程
【点评】
本题考查一元一次方程解的应用，核心是利用方程解的定义，将解代入原方程转化为求未知系数的问题，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.8

4. 教材P110例3·变式 一套仪器由2个A部件和3个B部件构成. 用$1\ \mathrm{m}^3$钢材可做40个A部件或240个B部件. 现要用$6\ \mathrm{m}^3$钢材制作这种仪器,应用多少钢材做A部件,多少钢材做B部件,恰好配成这种仪器多少套? 设应用$x\ \mathrm{m}^3$钢材做A部件,则可列方程为.
(方程不需要化简)

4.$3×40x=240×2(6-x)$

【分析】首先，设用$x\ \mathrm{m}^3$钢材做A部件，则做B部件的钢材为$(6-x)\ \mathrm{m}^3$。先分别计算A、B部件的总数：$x\ \mathrm{m}^3$钢材可做A部件$40x$个，$(6-x)\ \mathrm{m}^3$钢材可做B部件$240(6-x)$个。由于一套仪器需要2个A部件和3个B部件，因此B部件总数与A部件总数满足“$3×$A部件总数$=2×$B部件总数”的关系，据此可列出方程。
【解析】设应用$x\ \mathrm{m}^3$钢材做A部件，则应用$(6-x)\ \mathrm{m}^3$钢材做B部件。$x\ \mathrm{m}^3$钢材制作A部件的数量为$40x$个，$(6-x)\ \mathrm{m}^3$钢材制作B部件的数量为$240(6-x)$个。根据一套仪器需2个A部件和3个B部件的配套要求，可得等式：$3×$A部件总数$=2×$B部件总数，代入数量后方程为$3×40x=240×2(6-x)$。
【答案】$3×40x=240×2(6-x)$
【知识点】一元一次方程的应用
【点评】本题属于一元一次方程应用中的配套问题，核心是抓住“部件数量的配套比例关系”建立等式，理清钢材用量与对应部件数量的关联即可完成列式，难度适中。
【难度系数】0.5

5. 请根据“3 千克水晶梨付钱 10 元,找回 1 元 6 角”这一事件,设出未知数并列方程.

5. 设每千克水晶梨 $x$ 元. 根据题意,得 $3x=10-1.6$.

【分析】首先需明确题目中的等量关系：买3千克水晶梨的总价等于付出的钱数减去找回的钱数。先设出每千克水晶梨的价格为未知数，再依据等量关系列出方程即可。
【解析】设每千克水晶梨$ x $元。已知付出10元，找回1元6角（即1.6元），3千克水晶梨的总价为$ 3x $元，根据“买梨的总价 = 付出的钱 - 找回的钱”的等量关系，可列方程：$ 3x = 10 - 1.6 $。
【答案】设每千克水晶梨$ x $元，根据题意，得$ 3x = 10 - 1.6 $。
【知识点】一元一次方程应用，设未知数列方程
【点评】本题为基础的一元一次方程应用题目，核心是从实际问题中提炼等量关系，适合巩固列方程的基础方法。
【难度系数】0.7

6. (2025·苏州期末)《九章算术》被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”，其中有一题为“今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲乃发长安，问几何日相逢？”其大意如下：甲从长安出发，用5天时间可到达齐国；乙从齐国出发，用7天时间可到达长安，若乙先从齐国出发2天甲才从长安出发，问甲经过多少天与乙相遇？设甲经过$x$天后与乙相遇，则下列方程正确的是().

A.$\frac{1}{5}x+\frac{1}{7}x=1$
B.$\frac{1}{5}x-\frac{1}{7}x=1$
C.$\frac{1}{5}(x+2)+\frac{1}{7}x=1$
D.$\frac{1}{5}x+\frac{1}{7}(x+2)=1$

6.D

【分析】本题是结合古代数学问题的行程相遇类一元一次方程应用题，解题思路如下：①将长安到齐国的总路程看作单位“1”，分别计算甲、乙的速度；②确定相遇时甲、乙的行驶时间：甲出发x天后相遇，故甲行驶时间为x天；乙先出发2天，故乙行驶时间为（x+2）天；③相遇时两人行驶的路程之和等于总路程，据此列出方程即可选出正确选项。
【解析】设长安到齐国的总路程为单位“1”，则甲的速度为$\frac{1}{5}$（单位/天），乙的速度为$\frac{1}{7}$（单位/天）。甲经过x天与乙相遇，此时乙已提前出发2天，故乙的行驶时间为$(x+2)$天。根据“相遇时两人行驶路程之和等于总路程”，可列方程：$\frac{1}{5}x + \frac{1}{7}(x+2) = 1$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】一元一次方程的应用、行程问题
【点评】本题以《九章算术》中的经典问题为背景，考查一元一次方程在行程相遇问题中的实际应用，核心是理清相遇时两人的行驶时间关系及路程和与总路程的等量关系，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6

7. (2025·衡水模拟)观察图,若天平保持平衡,同一种物体的质量都相等,则一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的().


A.8倍
B.6倍
C.4倍
D.2倍

7.C ［解析］设一个羽毛球的质量为 $x$,一个乒乓球质量为 $y$,
由题意,得 $x+9y=3x+y$,$\therefore x=4y$.
$\therefore$ 一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的 4 倍. 故选 C.

【分析】首先观察天平，天平平衡意味着左右两边物体的总质量相等，且同一种物体质量相同。我们可以设一个羽毛球的质量为$x$，一个乒乓球的质量为$y$，数出左右两边羽毛球和乒乓球的数量，根据总质量相等列出方程，再通过等式变形求出$x$与$y$的关系，即可得到倍数。
【解析】设一个羽毛球的质量为$x$，一个乒乓球的质量为$y$。
由图可知，天平左边有1个羽毛球和9个乒乓球，总质量为$x + 9y$；天平右边有3个羽毛球和1个乒乓球，总质量为$3x + y$。
因为天平平衡，所以左右总质量相等，列方程：
$x + 9y = 3x + y$
移项化简：$9y - y = 3x - x$，即$8y = 2x$，两边同时除以2得$x = 4y$。
因此一个羽毛球的质量是一个乒乓球质量的4倍。
【答案】C
【知识点】一元一次方程应用，等量关系
【点评】本题结合天平平衡的实际情境，考查利用等量关系列方程求解的基础能力，关键是准确提取两边物体数量，建立正确等式，难度较低。
【难度系数】0.6

8. (2024·广东广州期末)已知 $x=3$ 是关于 $x$ 的方程
$(\dfrac{x}{3}+1)+\dfrac{m(x-1)}{2}=1$ 的解, $n$ 满足关系式
$|m+n|=2$, 则 $mn$ 的值是.

8. 1 或$-3$

【分析】
先根据方程解的定义，将x=3代入给定方程求出m的值；再利用绝对值的性质，由|m+n|=2得到n的两个可能值；最后分别计算对应的mn的值，注意绝对值的结果有两种情况，需全面考虑避免漏解。
【解析】
解：1. 求m的值：
因为x=3是方程$(\dfrac{x}{3}+1)+\dfrac{m(x-1)}{2}=1$的解，将x=3代入方程得：
$\dfrac{3}{3}+1 + \dfrac{m(3-1)}{2}=1$
化简得：$1+1 + \dfrac{2m}{2}=1$ → $2 + m =1$
解得：$m=-1$
2. 求n的值：
将$m=-1$代入$|m+n|=2$，得$|-1 +n|=2$
根据绝对值的性质，得：
$-1 +n=2$ 或 $-1 +n=-2$
解得：$n=3$ 或 $n=-1$
3. 计算mn的值：
当$m=-1$，$n=3$时，$mn=(-1)×3=-3$；
当$m=-1$，$n=-1$时，$mn=(-1)×(-1)=1$；
综上，mn的值是1或-3。
【答案】
1或-3
【知识点】
方程的解，绝对值，代数式求值
【点评】
本题综合考查方程解的定义、绝对值的性质及代数式求值，解题关键是利用绝对值的性质得到n的两种可能情况，避免漏解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

9. 某课外活动小组中女生人数占全组人数的一半,如果再增加6名女生,那么女生人数就占全组人数的$\dfrac{2}{3}$,求这个课外活动小组的人数.
若设这个课外活动小组有$x$人,根据题意可得方程.

9. $\dfrac{1}{2}x+6=\dfrac{2}{3}(x+6)$

【分析】首先设课外活动小组的人数为$x$，先确定原来的女生人数是全组人数的一半，即$\frac{1}{2}x$；增加6名女生后，女生人数变为$\frac{1}{2}x +6$，同时全组总人数也增加了6，变为$x+6$；题目中“增加6名女生后，女生人数占全组人数的$\frac{2}{3}$”是等量关系，即增加后的女生人数等于增加后总人数的$\frac{2}{3}$，据此可列出方程。
【解析】设这个课外活动小组有$x$人。原来女生人数为全组的一半，即$\frac{1}{2}x$；增加6名女生后，女生人数为$\frac{1}{2}x +6$，此时全组总人数为$x +6$。根据“增加6名女生后，女生人数占全组人数的$\frac{2}{3}$”，可列方程：$\frac{1}{2}x +6 = \frac{2}{3}(x +6)$。
【答案】$\dfrac{1}{2}x+6=\dfrac{2}{3}(x+6)$
【知识点】一元一次方程的应用，列代数式
【点评】本题是一元一次方程应用的基础题型，核心是找准等量关系，需注意增加女生后全组总人数也随之增加，避免忽略总人数的变化，整体难度较低。
【难度系数】0.7

10. 某商店对超过15 000元的物品提供分期付款服务(无息),顾客可以先付3 000元,以后每月付1 500元.王叔叔想用分期付款的形式购买价值为19 500元的电脑,他需要多少时间才能付清全部货款?(只列方程,不求解)

10. 设需 $x$ 个月能付清全部货款.
由题意,可列方程为 $3\ 000+1\ 500x=19\ 500$.

【分析】
要解决该问题，首先明确未知量为付清货款所需的时间，设为$x$个月；接着找到核心等量关系：先付的金额加上后续每月支付的总金额等于电脑的总价值，据此即可列出方程。
【解析】
设王叔叔需要$x$个月才能付清全部货款。根据“先付金额 + 每月支付金额×月数 = 电脑总价值”的等量关系，代入已知数据（先付3000元，每月付1500元，电脑总价值19500元），可列方程：$3000 + 1500x = 19500$。
【答案】
设需$x$个月能付清全部货款，方程为$3000 + 1500x = 19500$。
【知识点】
一元一次方程的应用
【点评】
本题是一元一次方程在实际付款场景中的基础应用，核心是找准等量关系，属于入门级的方程应用题型，适合巩固基础。
【难度系数】
0.8